歐氏環(huán)中兩元的最大公因式及其性質(zhì)

阿布都瓦克·玉奴司，張四保

(喀什師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，新疆 喀什 844007)

1 基本定義與引理

定義1［1］一個(gè)整環(huán)I叫做歐氏環(huán)，假如l:

(1)從I*到非負(fù)整數(shù)集合N的映射Φ存在;

(2)?b∈I，都有q，r∈I，使得b=aq+r，其中r=0 或 Φ(r)＜ Φ(a)(叫做帶余除法［2］).

引理1 設(shè)I是一個(gè)歐氏環(huán)，如果?a∈I*，使得Φ(a)=0，那么a整除I的每一個(gè)元.

證明 因?yàn)?a∈I*，使得 Φ(a)=0.取b∈I，若b=0;則a|b;若b≠0，則由定義 1 可知，?q，r∈I，使得b=aq+r，其中r=0或Φ(r)＜Φ(a)?r=0;否則Φ(r)＜Φ(a)=0?Φ(r)＜0，這是一個(gè)矛盾，從而r=0，于是a整除I的任意一個(gè)元.

推論1［3］若I是一個(gè)歐氏環(huán)，并且a是使 Φ(a)=0的I*的一元，那么I={aq|q∈I}.

推論2 若I是一個(gè)歐氏環(huán)，并且a是使Φ(a)=0的I*的一元，那么a是I的可逆元(單位).

證明 由推論1知I={aq|q∈I}.因?yàn)?∈I，所以?q∈I使得aq=1，即a是可逆的.

引理 2［4］設(shè)I是歐氏環(huán)，如果I中有b=aq+r，那么(a，b)=(a，r).

證明 設(shè)a與b的一個(gè)最大公因式為d，記為(a，b)～d.因?yàn)閐|a，b?d|b-aq=r，所以d|a，r;另一方面，對(duì)?c|a，r?c|aq+r=b，即c|a，b，因?yàn)閐是a與b的一個(gè)最大公因式，所以c|d，這樣d也是(a，r)的一個(gè)值，即(a，r)～d，從而(a，b)=(a，r).

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)I是一個(gè)歐氏環(huán)，那么對(duì)?a，b∈I來(lái)說(shuō)，存在a與b的最大公因式(a，b)，并且?u，v∈I，使得au+bv～(a，b).

證明 若a，b∈I有一個(gè)為0，不妨假定b=0，那么a是a與b的一個(gè)最大公因式，即(a，b)～a.若a，b∈I都不為0，由歐氏環(huán)的定義知，?q1，r1∈I，使得a=bq1+r1，則有下列諸等式:

這個(gè)過(guò)程稱之為輾轉(zhuǎn)相除法.在此過(guò)程中一定存在rs=0，否則任何rs≠0，這時(shí)得到以下不等式鏈:Φ(b)＞Φ(r1)＞Φ(r2)＞…＞Φ(rs)＞…，其中Φ(b)是一個(gè)有限正整數(shù)，有?rn∈I使得 Φ(rn)=0，由引理1得知rn整除I的每一元，所以rn|rn-1，從而rn+1=0，與任何rs≠0矛盾.于是輾轉(zhuǎn)相除法過(guò)程中有一等式rs-2=rs-1qs+rs中rs=0，有(rs-2，rs-1)=(rs-1，rs)～rs-1.再由引理 2 ，(rs-2，rs-1)=(rs-3，rs-2)= … =(r2，r1)=(a，b)，有(a，b)～rs-1，即rs-1是a與b的一個(gè)最大公因式，這樣就證明了在歐氏環(huán)中最大公因式的存在性.

即最后可以消去所有rs，所以(a，b)～rs-1=au+bv.

推論 3a，b是歐氏環(huán)I的兩元，那么(a，b)～1??u，v∈I使得au+bv～1.

證明 充分性可由定理1直接得出.

必要性:設(shè)?u，v∈I使得au+bv～1.因?yàn)閷?duì)?c|a，b?c|au+bv，即c|ε(ε∈UI)，所以(a，b)～1.

定理 2 若歐氏環(huán)I中(a，b)～1，則對(duì)?c∈I，都有(a，bc)=(a，c).

證明 因?yàn)?a，b)～1，所以 1是a，b的最大公因式.所以?u，v∈I，使得au+bv=1，對(duì)?c∈I都有，由此可知a，bc與a，c相同公因式，從而(a，bc)=(a，c).

推論 4 在歐氏環(huán)I中若(a，b)～1，則(an，bm)～1，?n，m∈N*.

推論 5 歐氏環(huán)中若(ai，bj)～1(i=1，2，…，n;j=1，2，…，m)，那么(a1a2…an，b1b2…bm)～1.

證明 由定理 2 得(ai，b1b2…bm)=(ai，b2b3…bm)= … =(ai，bm)～1，即(ai，b1b2…bm)～1(*)(i=1，2，…，n).同樣可得(a1a2…an，b1b2…bm)=(b1b2…bm，a1a2…an)(b1b2…bm，a2a3…an)= … =(b1b2…bm，an)～1.

總之，一個(gè)歐氏環(huán)中既可以明確地看到最大公因式的存在性，又可以給出具體求法，另外歐氏環(huán)中討論問(wèn)題比較方便，其很有實(shí)用性的特殊主理想環(huán)，又是一個(gè)唯一分解環(huán).

［1］張和瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)(修訂本)［M］.高等教育出版社，1978

［2］吳品三.近世代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1979

［3］陣立中.歐氏環(huán)定義引發(fā)的一例錯(cuò)誤［J］.臺(tái)州師專學(xué)報(bào)，1998，20(6):72-74

［4］王丹華，楊海文，劉詠梅.初等數(shù)論［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2008

［5］李冰.關(guān)于歐氏環(huán)定義中單位元的討論［J］.唐山師專學(xué)報(bào)，1993，21(2):6-8