一道“推理”與“運(yùn)算”并重的好題*

浙江大學(xué)附屬中學(xué)丁蘭校區(qū) (310021) 陳作國(guó) 施剛良

1.試題呈現(xiàn)

圖1

如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD⊥BC，M,N分別為AB,AC的中點(diǎn).

-6，求|BC|；

分析：這是一道“推理”和“運(yùn)算”并重的高質(zhì)量解答題，考察的內(nèi)容非常多，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，對(duì)數(shù)量積的四種形式(數(shù)量積的定義、數(shù)量積幾何意義、極化恒等式、數(shù)量積坐標(biāo)化)都有考察，學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，對(duì)數(shù)量積概念的理解稍有不慎就會(huì)出錯(cuò)，能有效地檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.由于學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力較薄弱，數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)不容樂(lè)觀，涉及到要想想或轉(zhuǎn)幾個(gè)彎的問(wèn)題往往選擇“跳過(guò)去”，這是導(dǎo)致此題得分率偏低的原因.

2.解法探究

下面介紹幾種解法：

圖2

評(píng)注：建坐標(biāo)系是學(xué)生處理向量問(wèn)題的“殺手锏”，但是學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)又往往難達(dá)要求，本題主要的“攔路虎”是怎么利用bc+h2=-24，b2+h2=64，c2+h2=36這三個(gè)式子.其實(shí)，單個(gè)的解b,c,h還是有困難，通過(guò)整體消元的思想解決相對(duì)運(yùn)算量下降.而且要達(dá)到這個(gè)目的，還要將BC=c-b平方(這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力提出了很高的要求).從而通過(guò)整體消元，求得結(jié)果.

筆者在試卷講評(píng)時(shí)，有學(xué)生還提出可以用極化恒等式加以解決，這種解法筆者事先沒(méi)想到過(guò).于是，就讓他說(shuō)說(shuō)具體的解決過(guò)程：

圖3

圖4

受上述利用向量等式求DP的長(zhǎng)度的啟發(fā)，課后筆者想到更加簡(jiǎn)潔的方法：

此題原來(lái)為填空題，筆者將之改為解答題，屬于“小題大作”.主要想考察學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力.所以，在平常的教學(xué)實(shí)踐中，要將提高學(xué)生的推理和運(yùn)算能力擺在中心地位，讓學(xué)生多轉(zhuǎn)幾個(gè)彎或自己努力將結(jié)果算出來(lái)，這是我們?cè)谡n堂實(shí)踐中要舍得花時(shí)間做的.

3.教學(xué)反思

數(shù)學(xué)運(yùn)算是邏輯推理的基礎(chǔ)，同時(shí)邏輯推理的完成往往要借助數(shù)學(xué)運(yùn)算.數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，我們?cè)谄匠５膹?fù)習(xí)實(shí)踐中要合理地處理好兩者之間的關(guān)系,這樣才可以提高復(fù)習(xí)的有效性.

章建躍先生也認(rèn)為，“推理是數(shù)學(xué)的‘命根子’，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的‘童子功’，推理與運(yùn)算是數(shù)學(xué)的‘兩個(gè)車輪子’”.所以，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，要通過(guò)習(xí)題將推理與運(yùn)算落實(shí)到位，要舍得花時(shí)間，這樣做才可能讓兩個(gè)車輪子“齊頭并進(jìn)”，我們的教學(xué)才是有效的.同時(shí)也能提高學(xué)生的理性思維，這是數(shù)學(xué)育人的目的.