明確數(shù)列通項(xiàng)的特征，尋找求數(shù)列和的思路

殷晨曦

數(shù)列求和問(wèn)題是高考中的重要考查內(nèi)容，側(cè)重于考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式.此類問(wèn)題的難度適中，對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力以及邏輯思維能力有較高的要求.本文主要談一談如何根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特征，求解數(shù)列求問(wèn)題.

一、采用公式法求和

我們知道，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn = n（a1+an）=na1+ n（n -1）d ;等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)的和公式為采用公式法求數(shù)列的和，需先判定數(shù)列的類型，如等差數(shù)列、等比數(shù)列，然后求得數(shù)列的首項(xiàng)、公差、公比等基本量，就可以根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求和.

例1.將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)正方形，依次類推，得到第 n 個(gè)正方形.設(shè)這n正方形的面積構(gòu)成數(shù)列{Sn}，求 Si .

解：

解答本題，需先弄懂題意，明確n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，求得 Sn的表達(dá)式，根據(jù)等比數(shù)列的定義判定{Sn}為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求得問(wèn)題的答案.

二、通過(guò)裂項(xiàng)相消求和

運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，需先明確數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)：一般為分式，且可裂為兩項(xiàng)之差的形式，然后將各項(xiàng)相加，絕對(duì)值相同而符號(hào)相反的項(xiàng)便會(huì)相互抵消，化簡(jiǎn)所得的結(jié)果即可求得數(shù)列的和.

例2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an = è（?） ?（?）n -2，若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為 bn =? ，求數(shù)列{b2n -1b2n +1}的前 n 項(xiàng)和.

解：

通過(guò)化簡(jiǎn)得到b2n -1b2n +1的表達(dá)式后，便可發(fā)現(xiàn)該式為分式且可裂為兩項(xiàng)之差的形式 è（?）- ?（?），于是采用裂項(xiàng)相消的方法來(lái)求和.

三、通過(guò)分組轉(zhuǎn)化求和

有些數(shù)列由多個(gè)等差、等比、常數(shù)列的和構(gòu)成，此時(shí)可運(yùn)用分組轉(zhuǎn)化法來(lái)求數(shù)列的和.在發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律，明確數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)后，可將數(shù)列中的各項(xiàng)進(jìn)行合理的拆分，再將其重新組合成幾個(gè)等差、等比、常數(shù)列，分組對(duì)每組數(shù)列求和，最后綜合所得的結(jié)果即可.

例3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an=3n -1 +（-1）n2n， 求該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

解：由題意得

①當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，

②當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，

在用分組轉(zhuǎn)化法求和時(shí)，要仔細(xì)觀察數(shù)列中的各項(xiàng)，合理進(jìn)行拆分，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差、等比、常數(shù)列的求和問(wèn)題，分組進(jìn)行求和，便能快速求得原數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

綜上所述，求數(shù)列和的方法雖然各有特色，但只要了解數(shù)列通項(xiàng)的特征，明確數(shù)列各項(xiàng)之間的規(guī)律，對(duì)其進(jìn)行合理的變形、轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式，就能使數(shù)列求和問(wèn)題迎刃而解.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）