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    圖的corona積的局部反魔幻著色數(shù)

    2022-04-08 12:44:02于海征丁吉麗
    關(guān)鍵詞:標(biāo)號奇數(shù)偶數(shù)

    楊 雪,邊 紅*,于海征, 丁吉麗

    (1.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830017;2.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046)

    1 預(yù)備知識

    令G=(V(G),E(G))是一個沒有孤立點的有限簡單無向圖.稱一個雙射f:E(G)→{1,2,…,|E(G)|}為圖G的反魔幻標(biāo)號,如果f滿足對于圖G的任意兩個頂點u和v都有w(u)≠w(v),其中w(u)=∑e∈E(u)f(e),E(u)是與頂點u相關(guān)聯(lián)的邊的集合.一個圖G稱為反魔幻的,如果圖G有一個反魔幻標(biāo)號.

    圖的反魔幻標(biāo)號的定義是由Hartsfield等[1]在1994年提出的, 他們還提出“除了K2以外的所有連通簡單圖都有一個反魔幻標(biāo)號”的猜想,但至今這個猜想尚未完全解決.

    近幾年,Arumugam等[2]和Bensmail等[3]分別獨立地提出了一個比反魔幻標(biāo)號相對較弱的定義:局部反魔幻標(biāo)號,并且也都提出“除了K2以外的所有連通簡單圖都有一個局部反魔幻標(biāo)號”的猜想.這個猜想已由Haslegrave[4]得到完全解決.稱一個雙射f:E(G)→{1,2,…,|E(G)|}是圖G的一個局部反魔幻標(biāo)號,如果對于圖G的任何兩個相鄰的頂點u和v都有w(u)≠w(v),其中w(u)=∑e∈E(u)f(e),E(u)是與點u相關(guān)聯(lián)的邊的集合.一個圖G稱為局部反魔幻的,如果圖G有一個局部反魔幻標(biāo)號.若對圖G的點v著顏色w(v),顯然圖G的任一個局部反魔幻標(biāo)號自然地導(dǎo)出圖G的一個正常點著色.同時Arumugam等[2]提出了局部反魔幻著色數(shù)的定義:圖G的局部反魔幻著色數(shù)是其局部反魔幻標(biāo)號中所使用的最少顏色數(shù),記為χla(G),他們還給出了路、圈、友誼圖、輪圖等一些特殊圖類的局部反魔幻著色數(shù)的確切值.

    圖1 圖

    2.1 圖Fn○K1的局部反魔幻著色數(shù)

    友誼圖Fn的頂點集V(Fn)={v1,v2,…,v2n,v2n+1},其中v2n+1是友誼圖Fn中的n個三角形的公共頂點;邊集E(Fn)={vivi+1:1≤i≤2n,i是奇數(shù)}∪{v2n+1vi:1≤i≤2n}.圖Fn○K1中K1的2n+1個拷貝點記為{d1,d2,…,d2n,d2n+1},如圖2所示.

    圖2 圖Fn○K1Fig.2Graph Fn○K1

    下面的引理1和引理2分別給出了圖Fn○K1的局部反魔幻著色數(shù)的上、下界,由此可以得到圖Fn○K1的局部反魔幻著色數(shù)的確切值.

    證明令f(e)表示圖Fn○K1中邊e上的局部反魔幻標(biāo)號.對于圖Fn○K1的邊{v2n+1vi:1≤i≤2n}和邊{vivi+1:i是奇數(shù)},給出如下標(biāo)號:

    f(v2n+1vi)=4n+2-i,當(dāng)1≤i≤2n且i是偶數(shù)時;

    對于邊{vidi:1≤i≤2n},給如下標(biāo)號:

    最后,令f(v2n+1d2n+1)=5n+1.對于1≤i≤2n,根據(jù)i的奇偶性,對圖Fn○K1中的點vi的標(biāo)號和w(vi)(即點vi所著顏色)進(jìn)行分類討論.

    當(dāng)i是奇數(shù)且i≠2n+1時,點vi所著顏色

    w(vi)=5n+1,

    當(dāng)i是偶數(shù)時,點vi所著顏色是

    w(vi)=8n+2,

    而點v2n+1所著顏色是

    易知這3類點所著顏色互不相同.而圖Fn○K1中的點dj(1≤j≤2n+1)所著顏色顯然互不相同,故這2n+1個點共著了2n+1個不同顏色.點d2n+1所著顏色是

    w(d2n+1)=5n+1,

    若對中心點v2n+1相關(guān)聯(lián)的邊使用最小標(biāo)號,有

    w(v2n+1)=1+2+…+2n+1>5n+1≥w(dj),

    根據(jù)引理1和引理2可以得到圖Fn○K1的局部反魔幻著色數(shù)的確切值,有

    若對中心點相關(guān)聯(lián)的邊使用最小標(biāo)號,有

    w(v2n+1)=1+2+…+2n+m>m(2n+1)+3n,

    而任意一個懸掛點dj所著顏色

    w(dj)≤m(2n+1)+3n,(1≤j≤m(2n+1)),

    即可,其中a∈{1,2}.

    w(vi)=w(dj)≤m(2n+1)+3n,i≠j, 1≤i≤

    2n, 1≤j≤m(2n+1).

    顯然與這2n個頂點不相關(guān)聯(lián)的邊有m條,則與這2n個頂點相關(guān)聯(lián)的邊有2mn+3n條.令這2n個頂點的著色總和為σ,則有

    σ≤2n[m(2n+1)+3n].

    此外,若對與這2n個點相關(guān)聯(lián)的2mn+3n條邊使用最小的標(biāo)號,有

    σ≥1+2+…+(2mn+3n),

    2n[m(2n+1)+3n]≥1+2+…+(2mn+3n).

    又因為

    1+2+…+(2mn+3n)-2n[m(2n+1)+3n]=

    4m2n2+4mn2-3n2-2mn+3n>0,

    這與2n[m(2n+1)+3n]≥1+2+…+(2mn+3n)是矛盾的.

    σ≤k[m(2n+1)+3n].

    此外,若與這k個點相關(guān)聯(lián)的n+(m+1)k條邊使用最小標(biāo)號,則

    a≥1+2+…+n+(m+1)k.

    1+2+…+n+(m+1)k≤k[m(2n+1)+3n].

    1+2+…+n+(m+1)k-k[m(2n+1)+3n]=

    1≤j≤m}.

    w(vi)=5n+1,

    當(dāng)i是偶數(shù)時,點vi相關(guān)聯(lián)的部分邊標(biāo)號和是

    w(vi)=8n+2,

    點v2n+1相關(guān)聯(lián)的部分邊標(biāo)號和是

    通過計算可知:當(dāng)i是奇數(shù)且i≠2n+1時,點vi著顏色

    當(dāng)i是偶數(shù)時,點vi著顏色

    點v2n+1著顏色

    因此得到了3個互異的顏色且這3個顏色不同于懸掛點著的顏色,得證.

    通過計算可得:當(dāng)i是奇數(shù)且i≠2n+1時,點vi所著顏色是

    當(dāng)i是偶數(shù)時,點vi所著顏色是

    點v2n+1所著顏色是

    由此得到3種互異的顏色且這3種顏色不同于懸掛點所著顏色,得證.

    m},

    n,1≤j≤m}.

    本節(jié)將根據(jù)星圖Sn的頂點個數(shù)給出圖Sn○K1的局部反魔幻著色數(shù)的確切值.

    n}.

    圖3 圖Sn○K1Fig.3Graph Sn○K1

    當(dāng)n≥2時,圖Sn○K1有n+1個葉子點,則由定理3易知圖Sn○K1的局部反魔幻著色數(shù)的下界.

    下面給出圖Sn○K1的局部反魔幻著色數(shù)的上界.

    證明根據(jù)圖Sn○K1中邊的分布情況,將邊如下標(biāo)號(其中1≤i≤n,x為中心點):

    f(xui)=i,

    f(xd1)=2n+1.

    可以得到

    w(ui)=2n+1,

    w(d1)=2n+1,

    根據(jù)引理6和引理7,可以得到圖Sn○K1的局部反魔幻著色數(shù)的確切值.

    m},

    n,1≤j≤m}.

    即可.

    w(x)=1+2+…+n+m>m(n+1)+n,

    而每個懸掛點所著顏色都不超過m(n+1)+n,所以剩余的n個點必定與某些懸掛點著相同顏色.

    與點ui(1≤i≤n)相關(guān)聯(lián)的邊有n(m+1)條.令σ為這剩余的n個點所著顏色的總和.若對與這n個點相關(guān)聯(lián)的邊用最小標(biāo)號,則有

    σ≥1+2+…+n(m+1).

    另一方面,每個點ui(1≤i≤n)所著顏色必與某個懸掛點所著顏色相同,而每個懸掛點所著顏色都不超過m(n+1)+n,則有

    σ≤n[m(n+1)+n].

    n[m(n+1)+n]≥1+2+…+n(m+1).

    事實上,

    [1+2+…+n(m+1)]-n[m(n+1)+n]=

    m2n+1>0,

    因此,n[m(n+1)+n]≥1+2+…+n(m+1)是不可能的,矛盾.

    m},

    n,1≤j≤m}.

    f(xui)=i,

    f(xd1)=2n+1.

    f(xdj)=mn+n+j,當(dāng)j≠1時.

    綜上可得,當(dāng)1≤i≤n時,ui所著顏色

    中心點x所著顏色

    f(xdj)=2n+j.

    f(xdj)=nm+n+j,當(dāng)3≤j≤m時.

    綜上可知,點ui所著顏色

    點x所著顏色

    容易看出這是兩個互異的顏色,且不同于懸掛點所著的顏色,得證.

    f(xd1)=n+1,

    f(xdj)=nm+n+j,當(dāng)3≤j≤m時.

    綜上可知,點ui所著顏色

    點x所著顏色

    容易看出這是兩個互異的顏色,且不同于懸掛點著的顏色,得證.

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