運(yùn)用表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，讓數(shù)感清晰可見

閆云梅 趙燕

【摘 要】“數(shù)感”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中十個(gè)核心概念之一，是基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有關(guān)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)一直是教育的難點(diǎn)。本文依據(jù)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)理論，采用水平評(píng)價(jià)的方式，開發(fā)設(shè)計(jì)了低年級(jí)學(xué)生“數(shù)感”發(fā)展水平測(cè)評(píng)工具。通過調(diào)研，對(duì)區(qū)域低年級(jí)學(xué)生數(shù)感發(fā)展的優(yōu)勢(shì)和存在的問題有了清晰的認(rèn)識(shí)，為探討培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略提供了客觀的依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】表現(xiàn)性評(píng)價(jià) 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)感

一、問題的提出

“數(shù)感”具有一定的內(nèi)隱性，致使很多人對(duì)數(shù)感的評(píng)價(jià)望而卻步?；诖?，筆者與課題組成員一起，依據(jù)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)理論，開發(fā)設(shè)計(jì)了低年級(jí)學(xué)生“數(shù)感”發(fā)展水平測(cè)評(píng)工具。通過設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)，將看不見的“數(shù)感”轉(zhuǎn)化為具體可見的行為表現(xiàn)，并采用水平評(píng)價(jià)的方式，根據(jù)學(xué)生的作答情況（表現(xiàn)）先進(jìn)行水平判定，再賦予相應(yīng)的分值，以期對(duì)低年級(jí)學(xué)生“數(shù)感”發(fā)展的優(yōu)勢(shì)和不足有清晰的認(rèn)識(shí)，為探討培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略提供客觀的依據(jù)。

二、用行為詮釋內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。綜合課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中數(shù)感的主要表現(xiàn)以及不同學(xué)者的觀點(diǎn)，對(duì)數(shù)感測(cè)評(píng)內(nèi)容維度框架設(shè)計(jì)如下：

這樣設(shè)計(jì)的意義及具體計(jì)分情況見《小學(xué)教學(xué)研究》（教學(xué)版）2021年第9期《小學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平測(cè)評(píng)工具的設(shè)計(jì)與分析》一文。利用測(cè)評(píng)工具，對(duì)某區(qū)域8個(gè)教育學(xué)區(qū)的9所小學(xué)共300名三年級(jí)學(xué)生（原二年級(jí)學(xué)生，因特殊原因測(cè)試推遲至2020年11月，學(xué)生升入三年級(jí)）進(jìn)行了正式測(cè)試。

三、低年級(jí)學(xué)生數(shù)感發(fā)展整體情況

（一）不同學(xué)校低年級(jí)學(xué)生數(shù)感發(fā)展已有顯著差異

在參加測(cè)試的9所學(xué)校中，各個(gè)學(xué)校學(xué)生總分的均值呈顯著差異（見圖1）。

由此，我們可以得出以下幾個(gè)結(jié)論：

（1）通過水平測(cè)試的方式，可以清楚地反映學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平的現(xiàn)狀;

（2）盡管數(shù)感有先天的成分，但和學(xué)校教育有密切的關(guān)系，數(shù)感是可以通過后天培養(yǎng)來提高的;

（3）低年級(jí)是促進(jìn)學(xué)生數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵期;

（4）通過與這些學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)關(guān)聯(lián)發(fā)現(xiàn)，數(shù)感水平的高低與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有密切關(guān)系，數(shù)感水平高的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)更好。

（二）學(xué)生具有一定的數(shù)感，但在高水平發(fā)展方面尚顯不足

學(xué)生在各個(gè)水平題目得分的均值如下：

從上表可以看出：對(duì)于水平一的題目，學(xué)生得分的均值約為0.83（滿分為1），水平二題目得分的均值約為1.40（滿分為2），水平三題目得分的均值約為1.63（滿分為3）?？梢?，隨著題目難度的增加，學(xué)生的得分率呈下降趨勢(shì)，且從水平二到水平三下降得更為明顯。整體看來，該區(qū)域低年級(jí)學(xué)生具有一定的數(shù)感，但整體發(fā)展尚處于中等水平，在數(shù)感的高水平發(fā)展方面還有很大的成長(zhǎng)空間。這反映出教師日常的教學(xué)對(duì)于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)具有一定的促進(jìn)作用，但在數(shù)感的高水平發(fā)展方面，還需要有意識(shí)、有系統(tǒng)、有策略地培養(yǎng)。

（三）學(xué)生對(duì)“數(shù)量及數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識(shí)比較片面

通過統(tǒng)計(jì)學(xué)生不同維度試題滿分率的平均值，整理后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在“數(shù)及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系”各題滿分率的平均值是61.48%，在“數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系”各題滿分率的平均值是53.01%，在“問題解決”各題滿分率的平均值是37.38%。

“問題解決”的滿分率最低，顯然這是意料之中的。一是由于這部分內(nèi)容都是水平二和水平三的試題，有一定難度;二是由于采用水平評(píng)價(jià)的方式，不但要評(píng)價(jià)學(xué)生作答的結(jié)果，還要評(píng)價(jià)作答的過程，學(xué)生在實(shí)踐中對(duì)數(shù)字之間關(guān)聯(lián)的意識(shí)以及靈活地解決數(shù)字問題的能力還有待提高。

比較發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在“數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系”滿分率低于“數(shù)及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系”的滿分率，這與測(cè)試之前的預(yù)期不符。反思我國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師更加注重抽象的“數(shù)”的意義的教學(xué)，過早進(jìn)行“數(shù)”概念的抽象及數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，對(duì)“數(shù)量”的現(xiàn)實(shí)意義以及“數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識(shí)還比較片面，不能從多角度發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系;另外，教師往往忽視了“情境”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，大多將現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行“加工”簡(jiǎn)化之后呈現(xiàn)給學(xué)生，當(dāng)他們回到真實(shí)的情境中時(shí)，往往不能排除無關(guān)因素的干擾，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系。這些問題都嚴(yán)重影響了學(xué)生數(shù)感的發(fā)展。

四、低年級(jí)學(xué)生數(shù)感發(fā)展具體表現(xiàn)及分析

將學(xué)生在每個(gè)二級(jí)指標(biāo)各題滿分率的平均值表示出來（見圖2），我們可以更清楚地看出學(xué)生在數(shù)感的哪些方面表現(xiàn)良好，哪些方面有待提高。

結(jié)合圖2及對(duì)背后數(shù)據(jù)的分析，我們可以得出以下結(jié)論：

1.學(xué)生用多模型表示數(shù)方面表現(xiàn)突出，但用不同模式表示數(shù)的能力有待提高

多種方法表示數(shù)既是理解數(shù)的意義的行為表現(xiàn)，又是形成數(shù)感的基本特征。

結(jié)果顯示，學(xué)生能借助多種直觀模型表示數(shù)，對(duì)十進(jìn)制、計(jì)數(shù)單位、位值等概念有比較清楚的認(rèn)識(shí)，能用“幾個(gè)千、幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)一”說明數(shù)的組成。

在用多種不同模式表示數(shù)的測(cè)試中，如讓學(xué)生用不同方式表示“50”，半數(shù)以上的學(xué)生處于水平一的階段，也就是只能從一個(gè)角度來表示50（見圖3）。

盡管學(xué)生寫出的答案很多，但想法比較單一，只能根據(jù)給出的示例進(jìn)行單純模仿，不能從多個(gè)數(shù)連加、減法或乘法、除法的角度進(jìn)行思考，這是因?yàn)閷W(xué)生平時(shí)很少進(jìn)行這方面的訓(xùn)練。同時(shí)也反映出學(xué)生對(duì)數(shù)的多種組成模式和數(shù)的結(jié)構(gòu)特征缺少認(rèn)識(shí)，對(duì)“50”這個(gè)數(shù)沒有特別的感覺。今后在學(xué)習(xí)數(shù)的整除知識(shí)、計(jì)算和解決實(shí)際問題時(shí)，都難以應(yīng)用數(shù)的多模式表征進(jìn)行數(shù)的特征判斷、簡(jiǎn)算和根據(jù)數(shù)的特征靈活解決問題。事實(shí)表明，數(shù)的多模式表征方式越多越靈活，在解決問題時(shí)，學(xué)生才能根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)靈活選擇某種形式解決問題。

2.學(xué)生喜歡從“差”的角度描述數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)數(shù)自身的結(jié)構(gòu)特征缺少認(rèn)識(shí)

調(diào)研結(jié)果顯示，學(xué)生在辨認(rèn)數(shù)與數(shù)之間關(guān)系方面表現(xiàn)突出，主要是因?yàn)樗麄儗?duì)數(shù)與數(shù)之間大小關(guān)系有清晰的感覺，能借助找標(biāo)準(zhǔn)、推理等方法，較為準(zhǔn)確地表述數(shù)與數(shù)之間的相差關(guān)系。但學(xué)生對(duì)數(shù)自身特征的認(rèn)識(shí)還比較欠缺，以找規(guī)律一題為例（如圖4），數(shù)據(jù)表明，60%的學(xué)生能找到規(guī)律并正確填出括號(hào)里的數(shù)，但有一半多學(xué)生是通過尋找相鄰兩個(gè)數(shù)的差去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的，沒有意識(shí)到這些數(shù)自身的特點(diǎn)——都是兩個(gè)相同數(shù)的乘積（平方數(shù)），這也致使部分學(xué)生沒有正確填出后面的數(shù)，這一點(diǎn)恰恰印證了前面所述“數(shù)的多模式表征”的重要作用。

3.學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度的估測(cè)好于對(duì)質(zhì)量的估測(cè)，估計(jì)的意識(shí)與能力還需進(jìn)一步提高

由于長(zhǎng)度是可視的，學(xué)生對(duì)一些常見物品的長(zhǎng)度有一定的了解，在掌握長(zhǎng)度單位和估測(cè)方法的基礎(chǔ)上，能合理估測(cè)出物品的長(zhǎng)度。而對(duì)物體質(zhì)量的估測(cè)，僅有質(zhì)量單位和估測(cè)方法是不夠的，還需要更多經(jīng)驗(yàn)的積累。因此，讓學(xué)生多關(guān)注生活中物品的質(zhì)量，多掂一掂、估一估，在實(shí)踐中才能不斷提高估測(cè)能力。

在估計(jì)數(shù)量時(shí)，對(duì)于一些整齊排列的物品，大多數(shù)學(xué)生還是習(xí)慣用準(zhǔn)確計(jì)算的方式獲得結(jié)果，缺乏估計(jì)的意識(shí)。對(duì)于大數(shù)量的估計(jì)，學(xué)生的估計(jì)方法比較單一。如讓學(xué)生估計(jì)一堆棋子大約有多少顆時(shí)，學(xué)生的估計(jì)方法有以下三種情況（見圖5、圖6、圖7）。

從圖中可以看出，圖4的學(xué)生用給出的標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)一個(gè)進(jìn)行圈畫，當(dāng)數(shù)量較多時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)逐漸發(fā)生變化，致使估的結(jié)果誤差較大;圖5的學(xué)生則抓住整體形狀的特點(diǎn)，利用乘法得出標(biāo)準(zhǔn)的個(gè)數(shù)，再估計(jì)結(jié)果;圖6的學(xué)生采用了根據(jù)給出的標(biāo)準(zhǔn)，找到一個(gè)更大的標(biāo)準(zhǔn)，利用較大的標(biāo)準(zhǔn)減少估的次數(shù)，從而更快估出結(jié)果。調(diào)研結(jié)果表明，90%的學(xué)生都采用了圖4的方法。因此要加強(qiáng)估計(jì)方法的交流，減少估計(jì)的誤差，提高估計(jì)能力。

4.學(xué)生對(duì)數(shù)量間相差關(guān)系感知準(zhǔn)確，對(duì)數(shù)量之間多種關(guān)系不敏感

數(shù)量關(guān)系部分主要測(cè)試低年級(jí)學(xué)生能否根據(jù)具體情境來判斷數(shù)量之間相差多少的程度，發(fā)現(xiàn)并描述兩個(gè)（三個(gè)）數(shù)量間的關(guān)系。調(diào)研結(jié)果表明，學(xué)生能清楚地比較兩個(gè)數(shù)量的多少，并能用多一些、少得多等語言描述數(shù)量間相差的程度，對(duì)數(shù)量間相差多少的感覺還是比較準(zhǔn)確的。但學(xué)生對(duì)于數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)比較單一，對(duì)于和的關(guān)系、用倍數(shù)或幾倍多幾等不同方式描述數(shù)量關(guān)系的意識(shí)還很欠缺。史寧中教授指出：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系，在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)之間的關(guān)系。小學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解能力、對(duì)數(shù)量之間多種關(guān)系的敏感程度還有待提高。

5.學(xué)生具有用數(shù)表達(dá)與交流信息的意識(shí)，但交流的水平有待提高

生活中數(shù)學(xué)信息隨處可見，能主動(dòng)用數(shù)表達(dá)和交流信息是一個(gè)人具有數(shù)感的重要表現(xiàn)。調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能從情境圖中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，具有用數(shù)表達(dá)與交流信息的意識(shí)。但交流的內(nèi)容往往停留在直接讀取到的數(shù)據(jù)層面，沒有關(guān)注到數(shù)量之間的關(guān)系，更不能超越數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后的信息。

6.學(xué)生習(xí)慣于按程序計(jì)算，不能根據(jù)情境和數(shù)據(jù)特征選擇合適的方法

從圖2可以看出，學(xué)生在“為解決問題選擇適當(dāng)?shù)乃惴ā狈矫娓黝}滿分率的均值最低，學(xué)生不是不會(huì)解決問題，而是不能根據(jù)問題情境和數(shù)的特點(diǎn)，采用合適的方法解決問題，把計(jì)算當(dāng)作解決問題的唯一辦法，忽視了估算、簡(jiǎn)算、推理等方法的合理運(yùn)用。以“198+35”為例，題目要求學(xué)生用自己喜歡的方法求出答案。從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，大約85%的學(xué)生都是列豎式計(jì)算，只有13.7%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)數(shù)的特點(diǎn)，將題目轉(zhuǎn)化為“200+33”或“200+35-2”等，用簡(jiǎn)便的方法解決問題。由此可見，學(xué)生往往是在有明確簡(jiǎn)算要求的情況下才簡(jiǎn)算，缺少主動(dòng)選擇合適算法的意識(shí)。只有當(dāng)學(xué)生根據(jù)情境和數(shù)的特點(diǎn)，自覺采用靈活的方法解決問題時(shí)，才是良好數(shù)感的行為特征。

7.學(xué)生對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)較好，但還缺少自覺估算的意識(shí)

對(duì)于有明確估算要求的題目，學(xué)生對(duì)算式結(jié)果的估計(jì)都比較準(zhǔn)確，估計(jì)的方法也很多，能把參與運(yùn)算的數(shù)看作相應(yīng)的整十?dāng)?shù)，從而判斷結(jié)果大約是多少，數(shù)感好的同學(xué)也能通過確定某些數(shù)的上界和下界，判斷運(yùn)算結(jié)果大致在什么范圍等。但在沒有估算要求，卻可以用估算解決的實(shí)際題目中，72.7%的學(xué)生還是習(xí)慣用準(zhǔn)確計(jì)算的方法，沒有估算的意識(shí);14.3%的學(xué)生有估算的意識(shí)，但不能根據(jù)情境和數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)捷的估算方法。這說明學(xué)生的估算意識(shí)亟待加強(qiáng)，估算的策略與方法還需進(jìn)一步培養(yǎng)。

總之，運(yùn)用表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，將學(xué)生在數(shù)感不同維度的表現(xiàn)外顯出來，可以清楚地了解學(xué)生在不同方面的優(yōu)勢(shì)與不足，為探討培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略提供客觀依據(jù)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

注：本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度一般課題“基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)，小學(xué)生‘?dāng)?shù)感發(fā)展的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)與促進(jìn)研究”（課題編號(hào)：CDEB17318）成果之一。