基于銜接教學的一元二次不等式含參數(shù)討論

曹彬

摘要：一元二次不等式的解法是初高中數(shù)學銜接課程中的重要內(nèi)容之一，其中含參數(shù)討論是學生普遍認為困難的，容易產(chǎn)生邏輯思維混亂和解題心理不佳的情況.本文探索解決一元二次不等式含參數(shù)討論的一般步驟，通過四個問題：是否是二次不等式？對應函數(shù)圖象開口如何？對應方程是否有根？根的大小如何？指引學生完成討論，并形成規(guī)范的解題思路，而且這種思路推廣到解決含參數(shù)分式不等式、絕對值不等式依然適用.

關鍵詞：銜接教學;一元二次不等式;解題思路

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）09-0011-02

關于x的一元二次不等式ax+bx+c>0（a≠0）的解法是初高中數(shù)學銜接課程中的重要內(nèi)容之一，而含參數(shù)一元二次不等式解集討論是這一節(jié)中同學們普遍感到困難的部分，這類題融合了分類討論和數(shù)形結合思想，考查直觀想象、數(shù)學運算等能力.同學們做這類題時，容易出現(xiàn)方向不明、思路不清、敘述不對、討論不全等問題.柏佳楠老師通過調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)同學們在討論含參數(shù)一元二次不等式的解集時出現(xiàn)解題過程邏輯混亂以及解題心理不佳等情況，也提出了一些切實可行的解決策略，但沒有提出討論的具體步驟.

對于剛剛升入高中的學生，怎么討論含參數(shù)一元二次不等式的解集呢？當然，不等式ax+bx+c>0不一定是一元二次不等式，顯然這一步是討論過程中的第一步.若滿足a≠0，求一元二次不等式的解集的常用步驟是：解對應一元二次方程的根;畫對應一元二次函數(shù)的圖像;寫一元二次不等式的解（其實這也是求其他類型不等式的常用步驟）.根據(jù)上述步驟，在討論含參數(shù)一元二次不等式的解集時，心里默默地詢問自己如下四個問題，問題解答過程就是分類討論過程，這四個問題是：①是否是二次不等式？②對應函數(shù)圖象開口如何？③對應方程是否有根？④根的大小如何？推動繼續(xù)分類討論的理由就是答案的“不確定”.接下來展示一下解題過程.

1 解題過程

例1已知a為常數(shù)，解關于x的不等式：ax-2（a-1）x-4≤0.

解析①是否是二次不等式？答：不一定，需要討論a是否為0.

當a=0時，原不等式化為2x-4≤0，此時解集為{x|x≤2}.

當a≠0時，②對應函數(shù)圖象開口如何？答：不確定，需要討論a的正負.

原不等式轉(zhuǎn)化為：（ax+2）（x-2）≤0

若a>0時，

③對應方程是否有根？答：有.

對應方程的根為2，-2/a，

④根的大小如何？答：2>-2/a

因為-2/a<0<2，

所以此時不等式的解集為：{x|-2/a≤x≤2}

若a<0時，對應方程的根為2，-2/a，

④根的大小如何？答：此時要討論a與-1的大小.

令2>-2/a，可得a<-1

當a<-1時，不等式的解集為：{x|x≤-2/a或x≥2}

當a=-1時，不等式的解集為：{x|x=2}

當a>-1時，不等式的解集為：{x|x≤2或x≥-2/a}

綜上所述略過.

2 方法推廣

解決一道題的目的是為了解決一類題.在初高中數(shù)學銜接教學階段，還會遇到含參數(shù)分式不等式、絕對值不等式，上述解題思路還能用嗎？其實，稍作變化仍然適用.

例2解關于x的不等式ax+1/（x-1）（x+2）<0.

解析原不等式等價于（ax+1）（x-1）（x+2）<0

①是否是三次不等式？答：不一定，需要討論a是否為0.

當a=0時，不等式轉(zhuǎn)化為：（x-1）（x+2）<0

所以解集為：{x|-2<x<1}

當a≠0時，

②對應函數(shù)圖象如何？答：采用“數(shù)軸穿根法”畫函數(shù)的簡圖，圖象與a的正負有關.

當a>0時

③對應方程是否有根？答：有.

對應方程的根為-1/a，-2，1

④根的大小如何？答：此時要討論-1/a，-2，1的大小.

若0<a<1/2時，-1/a<-2<1，解集為：{x|x<-1/a或-2<x<1}，

若a=1/2時，-1/a=-2<1，解集為：{x|x<1且x≠-2}，若a>1/2時，-2<-1/a<1，解集為：{x|x<-2或-1/a<x<1}，當a<0時的討論過程類似.

例3解關于x的不等式|2x-1|≤ax（a>0）.

解析①是否能拆開絕對值符號？答：能，ax的正負不影響解集.

原不等式等價于-ax≤2x-1≤ax.

即等價于不等式組（a+2）x≥1（a-2）x≥-1

②是否是一次不等式組？答：不一定，需要討論a是否為2.

當a=2時，不等式組的解集為{x|x≥1/4}

當a≠2時

③對應函數(shù)圖象如何？答：一次函數(shù).

若a>2時，④每個方程是否有根？答：有，分別是1a+2和-1a-2.

⑤根的大小如何？答：1/ a+2>-1/a-2.

解集為{x|x≥1/a+2}

若0<a<2，解集為{x|1/a+2≤x≤-1/a-2}.

此題的解法很多，最好的方法是數(shù)形結合法.

天下難事必作于易，通過問題形式，將分類討論的過程結構化、步驟化，防止在討論過程中漏掉必要的步驟，或者避免在討論過程中思維凌亂，這也是解決其他分類討論問題常用的方法.

參考文獻：

[1]柏佳楠.高中生一元二次不等式解題錯誤現(xiàn)狀的調(diào)查研究[D].上海：上海師范大學，2021.

[2] 余樹寶.關注“三高”優(yōu)化教學——以“含參數(shù)的一元二次不等式的求解”教學為例[J].中學教研（數(shù)學），2021（03）：10-13.

責任編輯：李璟