高一上學(xué)年期末復(fù)習(xí)與總結(jié)

張文偉

必修（第一冊(cè)）的主要內(nèi)容是集合與常用邏輯用語(yǔ)，一元二次函數(shù)，方程和不等式，函數(shù)的概念與性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)。同學(xué)們要理解它們的概念、性質(zhì)及應(yīng)用，掌握一些經(jīng)典題型的解題思想與方法，注意歸納總結(jié)，逐步提高解題能力和創(chuàng)新思維能力。

題型1：集合的概念與運(yùn)算

集合的運(yùn)算主要包括交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，這也是高考對(duì)集合部分的主要考查點(diǎn)。對(duì)于較抽象的集合問(wèn)題，需借助Venn圖或數(shù)軸等進(jìn)行數(shù)形分析，使問(wèn)題直觀化、形象化，進(jìn)而能使問(wèn)題簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解。題型2：充分條件與必要條件

若p=>q，且q≠>p，則p是q的充分不必要條件，同時(shí)q是p的必要不充分條件;若p<=>q，則p是q的充要條件，同時(shí)q是p的充要條件。充分、必要條件的判斷和證明是高考的一個(gè)?？键c(diǎn)，常與不等式等知識(shí)結(jié)合命題。學(xué)會(huì)用集合的觀點(diǎn)，分析和解決充分、必要條件的判斷和求參數(shù)范圍問(wèn)題，提升轉(zhuǎn)化與化歸能力。

題型3：全稱量詞命題和存在量詞命題

全稱量詞強(qiáng)調(diào)的是“任意”“一切”“每一個(gè)”等，常用符號(hào)“V”表示，而存在量詞強(qiáng)調(diào)的是部分，常用符號(hào)“]”表示。對(duì)于全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要把握兩點(diǎn)：一是改量詞，二是否結(jié)論。

題型5：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

不等式的性質(zhì)的命題形式有比較大小、命題真假的判斷、不等式的證明等，解答這類問(wèn)題要注意直接法和特值法的應(yīng)用。

題型6：一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法充分體現(xiàn)了三個(gè)“二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系，解此相關(guān)問(wèn)題應(yīng)把握三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：圖像的開(kāi)口方向;是否有根;根的大小關(guān)系。對(duì)于一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法可幫助求解。

題型7：不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

不等式的應(yīng)用問(wèn)題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問(wèn)題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值等。根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵。

例7 某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD，公園由長(zhǎng)方形A1B1C1D，的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道（陰影部分）組成。已知休閑區(qū)A1B1C1D，的面積為4000 m2，人行道的寬分別為4m和10 m（如圖1）。

題型8：求函數(shù)的定義域

求函數(shù)定義域的常用依據(jù)是分母不為0，偶次根式中的被開(kāi)方數(shù)大于或等于0。由幾個(gè)式子構(gòu)成的函數(shù)，其定義域是使各式子有意義的集合的交集。

題型9：求函數(shù)的解析式

求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法：（1）已知形如f[g （x）]的解析式求f（x）的解析式，使用換元法或配湊法;（2）已知函數(shù)的類型（往往是一次函數(shù)或二次函數(shù)），使用待定系數(shù)法;（3）含f（x）與f（-x）或f（x）與f（1/x），使用解方程組法;（4）已知一個(gè)區(qū)間的解析式，求其對(duì)稱區(qū)間的解析式，可用奇偶性轉(zhuǎn)移法。

題型10：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

函數(shù)的性質(zhì)主要有定義域、值域、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性和奇偶性，其中單調(diào)性和奇偶性是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求值、比較大小、解不等式是高考考查的主要內(nèi)容。在解不等式時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用。

題型11：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

函數(shù)y=a-與y=1ogax （a>0，且a≠1）的圖像關(guān)于直線y=z對(duì)稱，前者恒過(guò)（0，1）點(diǎn)，后者恒過(guò)（1，0）點(diǎn)，兩函數(shù)的單調(diào)性均由底數(shù)a決定。在解題中要注意由翻折、平移等變換得出的函數(shù)圖像。

題型12：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)命題角度有：數(shù)值的比較大小、方程或不等式的求解問(wèn)題。要注意解含有對(duì)數(shù)式的方程或不等式時(shí)，不能忘記對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，以免出現(xiàn)增解或漏解。

題型13：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的根，也是相應(yīng)函數(shù)圖像與z軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)或兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。零點(diǎn)存在性定理是判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)的一種方法，但要注意其使用的兩個(gè)條件，即連續(xù)性與異號(hào)性。

題型14：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

掌握兩類函數(shù)模型：一類是指數(shù)型函數(shù)模型，通常可表示為y=d（1+p）x（其中a為原來(lái)的基數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間），另一類是對(duì)數(shù)型函數(shù)模型，通?？杀硎緸閥—mlogar-+n（m，n，a為常數(shù)，a>0，a≠1，m≠0）。解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)實(shí)際情況所提供的數(shù)據(jù)求得相應(yīng)解析式，然后利用相應(yīng)解析式解決實(shí)際問(wèn)題。

例14 2018年12月8日，我國(guó)的“長(zhǎng)征”三號(hào)乙火箭成功發(fā)射了嫦娥四號(hào)探測(cè)器，這標(biāo)志著中國(guó)人民又邁出了具有歷史意義的一步。火箭的起飛質(zhì)量M是箭體（包括搭載的飛行器）的質(zhì)量m （t）和燃料質(zhì)量x（t）之和。在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y（ km/s）關(guān)于x（t）的函數(shù)關(guān)系式為y =k[ln（m+x） -ln（√2m）]+4ln 2（其中k≠0）。當(dāng)燃料質(zhì)量為（√e-l）m t時(shí)，該火箭的最大速度為4 km/s。

（1）求“長(zhǎng)征”三號(hào)系列火箭的最大速度y與燃料質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）已知“長(zhǎng)征”三號(hào)火箭的起飛質(zhì)量M是479.8 t，則應(yīng)裝載多少噸燃料才能使火箭的最大飛行速度達(dá)到8 km/s？（結(jié)果精確到0.1 t，e取2.718）

題型16：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)的性質(zhì)主要包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性等。對(duì)于三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題，一般先通過(guò)恒等變換將函數(shù)表達(dá)式變形為y =Asin（ωx +φ）+k或y=

題型17：三角函數(shù)模型的應(yīng)用

如果某種現(xiàn)象的變化具有周期性，那么可以根據(jù)這一現(xiàn)象的特征和條件利用三角函數(shù)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型——三角函數(shù)模型。在解題中務(wù)必關(guān)注兩點(diǎn)：自變量的取值范圍;數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用。

例17 如圖3所示，摩天輪的半徑為40 m，中心o點(diǎn)距地面的高度為50 m，摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每2 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)。

（1）試確定在時(shí)刻￡min時(shí)P點(diǎn)距離地面的高度h。

（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間P點(diǎn)距離地面超過(guò)70 m。