2021年高考函數(shù)的奇偶性和周期性中的“一題多解”

盧智軍

一題多解可以開(kāi)拓思路，培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力，還可以通過(guò)縱橫發(fā)散，使所學(xué)知識(shí)串聯(lián)、綜合溝通，達(dá)到舉一反三的目的。下面舉例分析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

反思：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)奇偶性的前提條件，再根據(jù)f（-x）與f（x）的關(guān)系得到結(jié)論，有時(shí)也可以借助圖像的平移探究復(fù)合函數(shù)的奇偶性。

反思：依據(jù)f（-x）=f（x）對(duì)于任意的x恒成立，可賦值確定a的值，也可利用偶函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的代數(shù)式確定a的值。

解法2：由遞推關(guān)系和奇函數(shù)探究周期性求值。

由f（x+1）=f（一x）和f （x）為奇函數(shù)，可得f（x+1）=一f（x），則f（x+2）=一f（x+1）=f（x），所以函數(shù)f （x）的周期為2，所以f（5/3）一f（2一1/3）一f（一1/3）=1/3。應(yīng)選c。

反思：由遞推關(guān)系和奇偶性探究周期性求值，往往使所求問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

解法1：利用f（x+1）是奇函數(shù)，f（x+2）是偶函數(shù)構(gòu)建方程，確定f（x）解析式，再利用遞推法求值。

反思：在解決函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，通?？梢越柚恍┏Ｓ媒Y(jié)論，求出其周期，進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果。如解法2中，用到f（x+1）是奇函數(shù)，f（x+2）是偶函數(shù)，可得f （x）的對(duì)稱中心為（1，0），相鄰對(duì)稱軸方程為x=2，由函數(shù)圖像知f（x）的周期為4。