平面向量常見典型考題賞析

張文偉

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要概念，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，并且是有效解決幾何問題的一種有力工具。向量概念引入后，全等和平行、相似、垂直、共線、軌跡等就可以轉(zhuǎn)換成向量的加減法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而將圖形的基本性轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。平面向量作為數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個交匯點，它是聯(lián)系眾多知識的媒介與橋梁，因此以向量為工具成為高考命題的一個亮點。下面就平面向量常見的典型考題舉例分析，供大家學(xué)習(xí)與參考。

題型1：向量的有關(guān)概念

零向量和單位向量的兩個注意點：零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等;單位向量的方向不定，所有的單位向量不一定相等。共線向量與平行向量的區(qū)別與聯(lián)系：平行向量也稱為共線向量，共線向量所在的直線可以平行，與平面幾何中的共線不同;平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同。解決與向量概念有關(guān)問題的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度。

例1 下列說法正確的是（ ）。

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小

C.向量的大小與方向有關(guān)

D.向量的模可以比較大小

解：不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，A不正確。方向相同的向量也不能比較大小，B不正確。向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，C不正確。向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，D正確。應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練1：給出下列四個命題：①若向

量a=AB，b=BA，則|a|=|b|;②若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反;③若向量AB是單位向量，則BA也是單位向量;④以坐標(biāo)平面上的定點A為起點，所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓。

其中正確命題的序號是_____ 。

提示：因為| a|=|AB|=AB，|b|=|BA|=BA =AB，所以|a|=|b|，①正確。長度為1個單位長度的向量稱為單位向量，單位向量的方向是任意的，②不正確。因為|AB|=|BA|，即兩向量的長度相等，所以當(dāng)AB是單位向量時，BA也是單位向量，③正確。因為|AP|=1，所以點P是以A為圓心的單位圓上的一點。反過來，若點P是以A為圓心，1為半徑的單位圓上的一點，則|AP|=1，所以向量AP是單位向量，④正確。答案為①③④。

題型2：向量的表示及應(yīng)用

向量的兩種表示方法：（1）幾何表示法，先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點;（2）字母表示法，為了便于運(yùn)算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用有向線段的起點與終點表示向量，如AB，CD，EF等。用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為用向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ);用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算。

例2某人從A點出發(fā)向東走了5m到達(dá)B點，然后改變方向按東北方向走了10√2m到達(dá)C點，到達(dá)C點后又改變方向向西走了10 m到達(dá)D點

（1）作出向量AB，BC，CD。

（2）求AD的模。

解：（1）由題意作出向量AB，B，CD，如圖1所示。

（2）由題意知，∠DBC=∠DCB=45°，所以△BCD是等腰直角三角形，其中∠BDC=90°，BC=10√2（m），CD=10（m），所以BD=10（m）?！鰽BD是直角三角形，其中∠ABD =90°，AB =5（m），BD=10（ m），所以AD=5√5（m），所以|AD|=5√5-（m）。

跟蹤訓(xùn)練2：某次軍事演習(xí)中，紅方一支裝甲分隊為完成對藍(lán)軍的穿插包圍，先從A處出發(fā)向西迂回了100 km到達(dá)B地，然后又改變方向向北偏西40°走了200 km到達(dá)C地，最后又改變方向，向東突進(jìn)100 km到達(dá)D處，完成了對藍(lán)軍的包圍。

（1）作出向量AB，BC，CD。

（2）求|AD|。

提示：（1）由題意作出向量AB，BC，CD，如圖2所示。

（2）由題意知，AB與CD方向相反，所以AB與CD共線，即AB∥CD。又|AB|=|CD|，即AB=CD，所以AB∥CD，所以四

邊形ABCD是平行四邊形，所以AD=BC，則|AD|=|BC|=200（km）。

題型3：相等向量和共線向量

相等向量與共線向量的探求方法：（1）尋找相等向量時，先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些同向共線;（2）尋找共線向量時，先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量。需要注意的是，在求解與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量。

例3 若四邊形ABCD是矩形，則下列說法不正確的是（ ）。

A.AB與CD共線

B.AC與BD共線

C.AD與CB的模相等，方向相反

D.AB與CD的模相等

解：因為四邊形ABCD是矩形，所以AB與CD共線，AD與CB的模相等且方向相反，AB與CD的模相等，AC與BD不共線。應(yīng)選B。

跟蹤訓(xùn)練3：設(shè)a，b是兩個平面向量，則“a=b”是“|a|=|b|”的（ ）。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示：若a=b，則lal=lbl，而lal=lbl不能推出a=b，所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要條件。應(yīng)選A。

題型4：向量的加減法運(yùn)算

向量加法運(yùn)算的兩種方法：代數(shù)法和幾何法。求作兩個向量的差向量的兩種思路：把兩個向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量;利用向量的加法求差向量，如a-b，先作-b，然后作a+（一b）即可。向量的加減法

運(yùn)算的常用變形：運(yùn)用AB= -BA化減為加; 運(yùn)用AB +BA =0或AB+BC=AC化繁為

簡;運(yùn)用AB =OB -OA轉(zhuǎn)化為共起點的兩個向量的差。

例4 若P為△ABC的外心，且PA+PB =PC，則∠ACB=____。

解：因為PA+PB=PC，所以四邊形APBC是平行四邊形（圖略）。又P為△ABC的外心，所以|PA|=|PB|=|PC|。由此可知∠ACB=120°。

跟蹤訓(xùn)練4：如圖3，已知O為平行四邊 形ABCD內(nèi)一點，OA =a，OB =b，OC =c

用a，b，c表示OD。

題型5：向量的數(shù)乘運(yùn)算

證明或判斷三點共線的兩種方法：一般來說，判斷A，B，C三點共線，只需存在實數(shù)λ，使得AB=λAC（或BC=λAB）即可;若存 在實數(shù)x，y，使得OA=x OB+yOC且x+y=1，則A，B，C三點共線。證明向量共線，可根據(jù)向量共線定理，尋求唯一實數(shù)λ，使得b=λa（a≠0）。已知向量共線求參數(shù)的值，可根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量的系數(shù)相等求解。若兩個向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程求得參數(shù)的值。

例5 已知兩個非零向量a與b不共線。

（1）若AB=a+b.BC=2a +8b，CD一3（a-b），求證：A，B，D三點共線。

（2）試確定實數(shù)k，使得ka+b與a+kb共線。

解：（1）欲證A，B，D三點共線，只需證明存在實數(shù)λ，使得AB=λBD即可。

由AB=a+b，BC=2a+8b，CD=

3（a-b），可得BD=BC +CD=2a +8b+3（a-b）=5（a+b）=5 AB，所以AB，BD共線。又AB，BD有公共點B，所以A，B，D三點共線。

（2）由兩個向量共線，列出關(guān)于a，b的等式，再由a與b不共線求解。

由ka+b與a+kb共線，可知存在實數(shù)λ，使得ka+b=λ（a+kb），即ka+b=Aa+Akb，所以（k-λ）a=（λk -1）b。因為a，b是不共線的兩個非零向量，所以k-λ=λk -1=0，可得k2 -1=0，解得k=±l。

跟蹤訓(xùn)練5：設(shè)a，b是兩個不共線的向量。若向量ka +2b與8a +kb的方向相反，則k=____。

提示：因為向量ka +2b與8a +kb的方向相反，所以ka+2b=λ （8a +kb）。由向量 。

題型6：向量的數(shù)量積

求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵。求向量的模，一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，且與向量的數(shù)量積聯(lián)系，靈活運(yùn)用公式a2= |a|2，最后勿忘開方。利用a·a=a2= |a|2或|a|=√a2，可以實現(xiàn)實數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化。

題型7：平面向量基本定理

如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a =λ1e1+λ2e2。同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底，基底不唯一;同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的;基底給定時，分解形式唯一。e1，e2是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，當(dāng)a與e1共線時，λ2=0;當(dāng)a與e 2共線時，λ1 =0;當(dāng)a=0時，λ1 =λ2 =0。由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底向量。

題型8：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

平面向量的正交分解的實質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個基底向量e1和e2互相垂直。由向量坐標(biāo)的定義可知，兩個向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對應(yīng)相等，即a =b<=>x1 =x2且y1=y2，其中a=（x1，y1），b=（x2，y 2）。向量的坐標(biāo)只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)。當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就唯一確定了，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變。

題型9：平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

兩個向量a= （x1，yl）與b=（x2，y2）共線的三種表示方法：當(dāng)b≠0時，a=Ab，這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系;x1y2 -x2yl =0，這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)，從而減少未知數(shù)的個數(shù);當(dāng)Xx2y2≠0時， ，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例。

題型10：平面幾何中的向量方法

用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系;（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。這三部曲給出了利用向量的代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題的基本思想。在解決平面幾何問題時，將平面問題轉(zhuǎn)化為向量問題是關(guān)鍵。

例10 已知A，B，C，D四點的坐標(biāo)分別為（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），則此四邊形為（ ）。

題型11：向量在物理學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是物理解題過程中不可缺少的工具，向量是物理問題簡化的有力法寶。用向量方法解決物理問題的“三部曲”：（1）把物理問題中的相關(guān)量用向量表示;（2）轉(zhuǎn)化為向量問題中的模型，通過向量的運(yùn)算使問題得以解決;（3）把結(jié)果還原為物理問題。沿著垂直于對岸的方向前進(jìn)，那么他實際前進(jìn)的方向與河岸的夾角為（ ）。

A.90°

B.30°

C.45°

D.60°

提示：由題意畫出圖形，如圖8所示。

題型12：余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

利用余弦定理和正弦定理可以解決求值問題，測量距離問題、高度問題、角度問題、面積問題等。

跟蹤訓(xùn)練12：如圖9，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（√3一1）km的B處有一艘走私船。在A處北偏西75°方向，距A處2 km的C處的我方緝私船奉命以10√3km/h的速度追截走私船，此時走私船正以10 km/h的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄。問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？求出所需時間。