圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的分析與求解

胡勛合 劉艷

物體由一種物理狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N物理狀態(tài)所處的過(guò)渡狀態(tài)被稱(chēng)為臨界狀態(tài)，此時(shí)物體需要恰好滿(mǎn)足的物理?xiàng)l件被稱(chēng)為臨界條件，解答臨界問(wèn)題的關(guān)鍵是確定臨界狀態(tài)，找到臨界條件。下面我們就一起來(lái)研究網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的分析思路和求解策略吧！

一、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若只由摩擦力提供向心力，則恰好不發(fā)生（恰好發(fā)生）相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體受到的靜摩擦力達(dá)到最大值;若由摩擦力與其他外力的合力提供向心力，則其臨界情況要根據(jù)題設(shè)條件具體分析判斷。

例1 如圖l所示，a、b、c三個(gè)小物體放置在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的大網(wǎng)盤(pán)上，其中物體a的質(zhì)量最大，物體b、c的質(zhì)量相等，物體c距離圓盤(pán)中心O最遠(yuǎn)，物體a、b距離圓盤(pán)中心O一樣遠(yuǎn)，三個(gè)物體與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等。當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速增大時(shí)，三個(gè)物體就會(huì)自動(dòng)滑向網(wǎng)盤(pán)邊緣。假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.隨著圓盤(pán)轉(zhuǎn)速的逐漸增大，三個(gè)物體同時(shí)開(kāi)始滑動(dòng)

B.隨著圓盤(pán)轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體b先開(kāi)始滑動(dòng)

C.隨著網(wǎng)盤(pán)轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體a、c先同時(shí)開(kāi)始滑動(dòng)

D.隨著網(wǎng)盤(pán)轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體c先開(kāi)始滑動(dòng)

解析 三個(gè)物體隨網(wǎng)盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力。當(dāng)物體受到的最大靜摩擦力小于物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力時(shí)，物體開(kāi)始滑動(dòng)。設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度為ω，則物體做網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)所需的向心力F=mω2R，物體受到的最大靜摩擦力f=μmg，當(dāng)mω2R>μmg，即ω2R>，μg時(shí)，物體開(kāi)始滑動(dòng)。當(dāng)網(wǎng)盤(pán)轉(zhuǎn)速增大時(shí)，角速度ω增大，因?yàn)槲矬wc做網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，所以物體c先開(kāi)始滑動(dòng)，之后隨著網(wǎng)盤(pán)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，a、b兩物體同時(shí)開(kāi)始滑動(dòng)。

答案：D

例2 如圖2所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩一端系在質(zhì)量為m的小球A上，另一端系在一根豎直桿上的B點(diǎn)，小球的半徑r=l/3，B點(diǎn)到球心的距離為l。豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定，當(dāng)豎直桿的角速度ω為多大時(shí)，小球恰好離開(kāi)豎直桿？

解析 當(dāng)小球恰好離開(kāi)豎直桿時(shí)，小球與豎直桿間的作用力為零，小球在水平面內(nèi)以半徑r做勻速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)，小球受到的重力和輕繩的拉力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力。設(shè)小球恰好離開(kāi)豎直桿時(shí)輕繩與豎直桿間的夾角為a，根據(jù)幾何關(guān)系得sin a=r/l，沿半徑方向有Tsin a=mω2r，沿垂直于半徑方向有Tcosa=mg，解得

求解水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的思路：（1）審清題意，確定研究對(duì)象;（2）找到研究對(duì)象做圓周運(yùn)動(dòng)的平面;（3）分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況，確定其做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑、線(xiàn)速度、角速度、周期等物理量;（4）分析研究對(duì)象的受力情況，畫(huà)出受力分析示意圖，確定向心力的來(lái)源;（5）確定臨界狀態(tài)下研究對(duì)象的受力情況;（6）根據(jù)牛頓第二定律和網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)公式列式求解。

二、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

物體在豎直平面內(nèi)做網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)，在中學(xué)階段一般只研究物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，若連接物體的是輕繩（物體沿豎直平面內(nèi)圓環(huán)軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)），則物體受到的重力和輕繩拉力（軌道支持力）的合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，輕繩拉力（軌道支持力）等于0是物體能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件;若連接物體的是輕桿（物體沿豎直平面內(nèi)圓管軌道運(yùn)動(dòng)），則物體受到的重力和輕桿的拉力或支持力（圓管外側(cè)或內(nèi)側(cè)的支持力）的合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，輕桿表現(xiàn)出的拉力突變?yōu)橹С至Γ▓A管表現(xiàn)出的指向圓心的支持力突變?yōu)楸诚驁A心的支持力）是物體的臨界條件。

例3 如圖3所示，一光滑的圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，A、B兩點(diǎn)分別為軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)。一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)A時(shí)一定受到軌道對(duì)它豎直向上的支持力作用

B.若小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)B時(shí)的速度v-√gR，則軌道對(duì)小球的作用力為零

C.若小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)B時(shí)的速度v<√gR，則軌道對(duì)小球的作用力豎直向下

D.若小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)B時(shí)的速度v>√gR，則軌道對(duì)小球的作用力可能等于0

解析 小球沿光滑的圓形軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)A時(shí)，所需的向心力方向豎直向上，受到的重力方向豎直向下，根據(jù)受力分析可知，必定受到軌道對(duì)它豎直向上的支持力作用，選項(xiàng)A正確。小球剛好能過(guò)最高點(diǎn)B的臨界條件是受到軌道對(duì)它的作用力等于O，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心加速度公式

，解得，選項(xiàng)B正確。當(dāng)v<√gr時(shí)，小球不能到達(dá)最高點(diǎn)B，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。當(dāng)小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)B時(shí)的速度v>√gR時(shí)，軌道對(duì)小球的作用力一定豎直向下，不可能等于0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

答案：AB

例4 如圖4甲所示，長(zhǎng)度為R的輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，輕桿與小球間的彈力大小為N，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，N-v2圖像如圖4乙所示。下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

答案：AD

求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的思路：（1）確定研究模型是輕繩模型還是輕桿模型;（2）分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況，確定研究對(duì)象的臨界狀態(tài);（3）分析研究對(duì)象的受力情況，畫(huà)出臨界狀態(tài)下研究對(duì)象的受力分析示