基于拉普拉斯特征映射的三維結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

符偉華，王 成，2+，陳建偉，賴雄鳴，李海波,2

(1.華僑大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 廈門 361021；2.廈門市企業(yè)互操作與商務(wù)智能工程技術(shù)研究中心，福建 廈門 361021；3.圣地亞哥州立大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，圣地亞哥 加州 92182，美國；

0 引言

模態(tài)是結(jié)構(gòu)本身具有的振動(dòng)特性，通過工作模態(tài)分析(Operational Modal Analysis, OMA)方法識(shí)別每階模態(tài)的參數(shù)(如模態(tài)固有頻率、振型、阻尼比等)，可以了解結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，進(jìn)而進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別[1]、結(jié)構(gòu)優(yōu)化[2]等。然而，對(duì)于許多大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可以利用的激勵(lì)方式只有工作狀態(tài)下的環(huán)境激勵(lì)，從而導(dǎo)致無法對(duì)激勵(lì)輸入進(jìn)行測量。為了解決該難題，一種僅通過利用結(jié)構(gòu)的輸出響應(yīng)識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法引起了許多研究者的關(guān)注[3]。

當(dāng)前，工作模態(tài)分析已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，各類工作模態(tài)識(shí)別方法層出不窮。PONCELET等[4]采用了獨(dú)立分量分析和二階盲辨識(shí)兩種盲源分離技術(shù)，進(jìn)行了純輸出模態(tài)分析。王成等[5]利用了主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別,解決其他方法識(shí)別過程中出現(xiàn)虛假模態(tài)的問題。DEVRIENDT等[6]提出的基于傳遞率測量的OMA技術(shù)，用于降低由于諧波存在而導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)識(shí)別錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。

這些模態(tài)識(shí)別方法都取得了很好的實(shí)驗(yàn)效果，但對(duì)復(fù)雜三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的研究甚少。白俊卿等[7]利用局部線性嵌入的流形學(xué)習(xí)方法，將模態(tài)數(shù)據(jù)集視作高維數(shù)據(jù)，通過尋找低維的線性嵌入，從而識(shí)別復(fù)雜三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)。王成等[8]利用模態(tài)坐標(biāo)的概念，找出動(dòng)力機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)振型與線性混合矩陣之間、模態(tài)響應(yīng)與主成分之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，提出一種新的三維結(jié)構(gòu)時(shí)域統(tǒng)計(jì)模態(tài)分析方法。通過最小二乘反迭代，王建英[9-10]提出了二階盲辨識(shí)的三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。通過振動(dòng)響應(yīng)三維矩陣的直接組裝，張?zhí)焓鎇11-12]提出了主元抽取的三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。

近年來，流形學(xué)習(xí)在圖像處理等多個(gè)工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。流形是一個(gè)幾何概念，它表示鑲嵌在高維空間中的低維幾何結(jié)構(gòu)[13]?；谶@個(gè)概念，流形學(xué)習(xí)的降維過程中需保持降維之后的數(shù)據(jù)同樣滿足與高維空間流形有關(guān)的幾何約束關(guān)系。目前，流形學(xué)習(xí)[14]運(yùn)用較為廣泛的算法有等距離映射(Isometric feature mapping, Isomap)[15-16]、局部線性嵌入算法[17]等。拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmaps, LE)[18]是流形學(xué)習(xí)的主要算法之一，其基本思想是從局部角度構(gòu)建數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，使得相互間有聯(lián)系的點(diǎn)在完成降維后盡量保持該聯(lián)系，這使得降維后的數(shù)據(jù)集依然能保持原來數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。相比主成分分析，LE能考慮數(shù)據(jù)的內(nèi)在幾何；相比等距離映射，拉普拉斯特征能僅從局部構(gòu)建數(shù)據(jù)的內(nèi)在幾何，使得算法時(shí)間復(fù)雜度更低[19]。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：

(1)統(tǒng)一提出了基于流形學(xué)習(xí)的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法體系。其基本思想是找出各階模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)與低維嵌入數(shù)據(jù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的流形降維問題。

(2)將LE算法引入動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，提出基于LE的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，并與主成分分析、等距離映射進(jìn)行理論比較。

(3)結(jié)合最小二乘廣義逆反迭代或者直接組裝三維位移響應(yīng)求解法，提出了基于拉普拉斯特征映射的復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。

(4)在三維圓柱殼結(jié)構(gòu)上的振動(dòng)響應(yīng)仿真數(shù)據(jù)集上進(jìn)行基于LE的三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的效果驗(yàn)證。

1 基于LE的復(fù)雜三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

1.1 工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別問題的描述

工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一般可看作是一個(gè)具有一定粘性比例阻尼的系統(tǒng)。結(jié)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)理論，對(duì)于包含n個(gè)自由度的線性時(shí)不變振動(dòng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)方程表示如下：

(1)

式中：M∈n×n，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣;C∈n×n,為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼矩陣;K∈n×n,為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣；n×T與n×T，依次為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移響應(yīng)信號(hào)、速度響應(yīng)信號(hào)與加速度響應(yīng)信號(hào)的時(shí)域采樣矩陣；F(t)∈n×T,為系統(tǒng)的外載荷激勵(lì)向量的時(shí)域采樣矩陣。

針對(duì)阻尼較小的n自由度工程結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)信號(hào)X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T∈n×T,在模態(tài)坐標(biāo)中可表示如下：

(2)

式中:矩陣Φ=[φ1,φ2,…,φn]∈n×n,為由結(jié)構(gòu)的n階模態(tài)的振型向量φi(i=1,2,…,n)所構(gòu)成的模態(tài)振型矩陣；Q(t)=[q1(t),q2(t),…,qn(t)]T∈n×T,為由結(jié)構(gòu)的n階模態(tài)響應(yīng)qi(t)∈1×T(i=1,2…,n)所組成的模態(tài)響應(yīng)矩陣。且式(2)中的主振型向量φi需要滿足相互正交，即

(3)

其中mi為第i階模態(tài)質(zhì)量。并且，qi(t)與qj(t)二者相互獨(dú)立，其中i與j為不同的模態(tài)階數(shù)。

工模模態(tài)識(shí)別方法的基本思想是通過僅有結(jié)構(gòu)輸出的位移響應(yīng)信號(hào)X(t)，識(shí)別出結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)振型Φ和模態(tài)響應(yīng)Q(t)；最后用單自由度識(shí)別技術(shù)識(shí)別出各階的模態(tài)固有頻率f以及模態(tài)阻尼比ξ。

1.2 基于LE算法的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別

拉普拉斯特征映射算法是流形學(xué)習(xí)的熱門算法之一，它的基本思想是從局部的角度去構(gòu)建數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，這使得降維后的數(shù)據(jù)集依然能保持原來數(shù)據(jù)集的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。LE算法的具體描述如下。

(4)

通過推導(dǎo)式(4)，可得到變換后的LE目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)如下：

mintrace(STLS),

s.t.

STDS=I。

(5)

LS=-DSΛdiag。

(6)

式中：Λdiag為一個(gè)對(duì)角矩陣，由于D，L均是實(shí)對(duì)稱矩陣，故它們的轉(zhuǎn)置與自身相等。因此，對(duì)于單獨(dú)的si(t)向量，式(6)可寫成以下形式：

Lsi(t)=λDsi(t)。

(7)

LE通過對(duì)式(7)做特征值分解，并將其d(d?n)個(gè)最小非零特征值[λ1,λ2,…,λi,…,λd]所對(duì)應(yīng)的特征向量{υ1，υ2，…，υi，…，υd}作為降維后的結(jié)果輸出，即可達(dá)到降維的目的。n個(gè)d維向量S(t)={s1(t),s2(t),…,sd(t)}T∈d×T與降維后的結(jié)果{υ1，υ2，…，υi，…，υd}一致。

因此，依據(jù)最小二乘廣義逆，存在變換矩陣B=(b1,b2,…,bd)∈n×d，使得式(8)成立，X(t)可分解為式(9)。

B=X(t)ST(t)(S(t)ST(t))-1,

(8)

(9)

1.3 基于LE的三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的物理意義

當(dāng)使用拉普拉斯特征映射獲取T個(gè)S維向量構(gòu)成的S(t)={s1(t),s2(t),…,sd(t)}T∈d×T(向量si(t)與sj(t)之間滿足相互正交(i≠j))時(shí)，由式(2)、式(3)和式(9)，發(fā)現(xiàn)各階模態(tài)響應(yīng)矩陣Q(t)對(duì)應(yīng)LE得到的低維嵌入S(t)={s1(t),s2(t),…,sd(t)}T∈d×T。模態(tài)振型Φ對(duì)應(yīng)變換矩陣B=(b1,b2,…,bd)∈n×d。因此，模態(tài)參數(shù)識(shí)別可通過運(yùn)用LE分解求得。具體的求解流程如圖1所示。圖1中的流形學(xué)習(xí)方法可以是線性的主成分分析(PCA)[8]、也可以是非線性的等距離映射(Isomap)[16]。

1.4 基于LE的三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

1.4.1 運(yùn)用最小二乘廣義逆反迭代求解法

針對(duì)復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)，本文將結(jié)構(gòu)的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)表示如下：

(10)

在有限元的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，復(fù)雜三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)被離散化為H個(gè)檢測點(diǎn)，時(shí)間的采樣點(diǎn)總數(shù)為T個(gè)。因此，被離散化后的三維連續(xù)結(jié)構(gòu)在時(shí)域上的響應(yīng)在理論上可以近似用式(11)表示。

(11)

式中：S為有限元計(jì)算過程中的模態(tài)截?cái)鄶?shù)，A(t)S×T為三維系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)矩陣。LE算法運(yùn)用最小二乘法廣義逆反代法做三維結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的流程圖如圖2所示。

(1)在復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的X，Y，Z軸3個(gè)方向上的時(shí)域數(shù)據(jù)集(XX)H×T(t)，(XY)H×T(t)，(XZ)H×T(t)中選取響應(yīng)最大的那個(gè)方向上的振動(dòng)數(shù)據(jù)作為識(shí)別的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)集。將選取的數(shù)據(jù)集記為E,則數(shù)據(jù)集E的維數(shù)為H,樣本點(diǎn)數(shù)為T。

(2)利用LE算法計(jì)算數(shù)據(jù)集E降至d維空間上的低維嵌入數(shù)據(jù)A(t)d×T={a1(t),a2(t),…,ai(t),…,ad(t)}T，其中，t=1,2,3,…,T。

(3)用A(t)d×T替代式(11)中的A(t)S×T，用(ΦX)H×d替代式(11)中的(ΦX)H×S，用(ΦY)H×d替代式(11)中的(ΦY)H×S，用(ΦZ)H×d替代式(11)中的(ΦZ)H×S，通過該替換，式(11)可用式(12)表示。

(12)

(4)將步驟(2)中求得的A(t)d×T帶入式(12)中，可依次求出(ΦX)H×d，(ΦY)H×d，(ΦZ)H×d，如式(13)所示:

(13)

1.4.2 直接組裝三維位移響應(yīng)求解法

最小二乘法廣義逆反代求解法在求解過程中，需要多次求解廣義逆，使得求解精度出現(xiàn)下降，因此本文采用直接組裝三維位移響應(yīng)求解法。

根據(jù)式(2)，該方法將X，Y，Z三個(gè)方向的模態(tài)響應(yīng)組裝成整個(gè)三維結(jié)構(gòu)的整體位移模態(tài)響應(yīng)。組裝后的公式如式(14)：

(14)

式中:(HThree)3H×T(t)為整個(gè)三維結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)響應(yīng)；(XX)H×T(t)，(XY)H×T(t)，(XZ)H×T(t)分別對(duì)應(yīng)X，Y，Z方向的位移響應(yīng)信號(hào)；矩陣Φ3H×S是復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)主振型向量φi所構(gòu)成的模態(tài)振型矩陣；QS×T(t)則是結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)響應(yīng)qi(t)所構(gòu)成的模態(tài)響應(yīng)矩陣，S是有限元計(jì)算過程中的模態(tài)截?cái)鄶?shù)。

LE算法運(yùn)用直接組裝三維位移響應(yīng)法做三維結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的流程圖如圖3所示。

1.5 基于LE的三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別與其他方法的比較

本文主要將基于LE的三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法與基于主成分分析(PCA)[8]、等距離映射算法(Isomap)[16]的三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行比較。正常情況下，算法的時(shí)間開銷是不可忽視的問題。除此之外，復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)具有一定粘性比例阻尼，因此采集到的數(shù)據(jù)集帶有一些非線性特征。PCA算法是一種線性降維算法，當(dāng)某階模態(tài)非線性特征過多時(shí)，識(shí)別復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)精度會(huì)變得不太理想。LE是一種非線性降維算法，在降維過程中，LE算法能更好地保留數(shù)據(jù)集的特征，從而處理數(shù)據(jù)的非線性特征。因此，LE算法在對(duì)復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)做模態(tài)分析時(shí)，某階模態(tài)的識(shí)別精度在一定程度上能更優(yōu)于PCA算法。Isomap算法也是非線性降維方法，與LE算法保留局部性質(zhì)相比，Isomap算法是一種保留全局性質(zhì)的算法，故這是Isomap時(shí)間開銷高的主要原因。在識(shí)別精度方面，由于Isomap算法對(duì)數(shù)據(jù)的局部結(jié)構(gòu)更為敏感，這會(huì)使得其在識(shí)別復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)的要求更為嚴(yán)格，從而造成Isomap的識(shí)別精度在一定程度上會(huì)低于LE算法。3種方法的優(yōu)缺點(diǎn)說明如表1所示。

表1 基于LE與PCA和Isomap的三維結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別比較

2 仿真驗(yàn)證結(jié)果與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)對(duì)象和仿真數(shù)據(jù)介紹

為了驗(yàn)證LE算法能有效識(shí)別三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證。仿真驗(yàn)證中主要進(jìn)行具有復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的圓柱殼系統(tǒng)[20-21]研究，模擬圖如圖4所示。

圓柱殼系統(tǒng)有兩端簡支，在其表面放置一定數(shù)量的振動(dòng)信號(hào)傳感器，然后利用設(shè)備記錄傳感器X、Y、Z三個(gè)方向上的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)。圓柱殼的參數(shù)設(shè)計(jì)如下：圓柱殼使用的材料厚度為0.005 m，半徑長度是0.182 5 m，總長0.37 m，同時(shí)圓柱殼材料的彈性模量為205 Gpa[8]，泊松比的數(shù)值是0.3，密度是7 850 kg/m3。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真的過程中，人為地設(shè)置阻尼比η為0.03，進(jìn)行測量。

圓柱殼上的傳感器觀測點(diǎn)布置規(guī)則如下：首先沿著圓柱殼的長度軸向均勻分成38個(gè)圈，然后在每個(gè)圈中均勻地布置115個(gè)觀測點(diǎn)，因此圓柱殼表面共布置H=38×115=4 370個(gè)傳感器觀測點(diǎn)。在布置好裝置，通過使用激勵(lì)裝置對(duì)圓柱殼施加高斯白噪聲激勵(lì)的基礎(chǔ)上，再采樣得到三維圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)。其中，將機(jī)器的采樣頻率設(shè)置成5 120 Hz，采樣的時(shí)間長度設(shè)置成1 s，即T=5 120。

振動(dòng)信號(hào)記錄設(shè)備采用一套數(shù)采前端LMS SCADS-X Ⅲ，Test lab 9B系統(tǒng)，DELL M65。然后使用LMS Virtual.lab中的有限元方法對(duì)傳感器輸出的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行讀取。從而測量到三維圓柱殼結(jié)構(gòu)X、Y、Z三個(gè)方向的響應(yīng)數(shù)據(jù)集合，第358個(gè)觀測點(diǎn)的響應(yīng)信號(hào)集合如圖5所示。

2.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了評(píng)價(jià)LE算法對(duì)三維圓柱體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)做模態(tài)參數(shù)識(shí)別是否具有有效性，本文將用LE算法識(shí)別到復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)與利用有限元方法分析識(shí)別到的真實(shí)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行比較，分析LE算法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的有效性。

本文將使用模態(tài)置信度準(zhǔn)則(Cmac)來評(píng)估LE算法識(shí)別到的模態(tài)振型準(zhǔn)確度，

(15)

式中:φi為LE算法識(shí)別得到復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)振型，ψi為利用有限元分析識(shí)別復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)得到的第i階真實(shí)模態(tài)振型。由式(15)可知，模態(tài)置信度準(zhǔn)則的取值范圍0≤Cmac,i≤1，當(dāng)Cmac,i的值越接近1時(shí)，所識(shí)別的第i階的模態(tài)振型精度越高。

2.3 基于LE的三維圓柱體模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

本文采用1.4.2節(jié)的直接組裝法識(shí)別三維圓柱體的模態(tài)參數(shù)，因?yàn)樵摲椒ㄏ鄬?duì)最小二乘法廣義逆反代法，對(duì)測量數(shù)據(jù)的噪聲不敏感。當(dāng)圓柱殼阻尼比η=0.03時(shí)，為了更直觀地比較，本文將得到的三維模態(tài)振型圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到各階模態(tài)振型的二維形狀圖。本文將識(shí)別的模態(tài)振型與有限元分析的真實(shí)模態(tài)振型進(jìn)行比較。有限元分析的真實(shí)模態(tài)振型如圖6所示。

圖7是基于LE算法識(shí)別的模態(tài)振型三維旋轉(zhuǎn)成二維圖。LE算法對(duì)三維圓柱殼參數(shù)識(shí)別出來的固有頻率圖如圖8所示。然后用LE算法識(shí)別出的固有頻率與有限元分析計(jì)算得到的真實(shí)固有頻率進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表2所示。最后，根據(jù)模態(tài)置信度準(zhǔn)則，求得LE算法的Cmac值，結(jié)果如表3所示。

表2 有限元方法與LE算法固有頻率相比較

表3 LE算法置信度準(zhǔn)則值

2.4 基于LE的三維圓柱體工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果分析

在1.5節(jié)中，本文采用PCA算法，Isomap算法與LE算法進(jìn)行了比較，分析了他們各自的優(yōu)缺點(diǎn)。表4和表5給出了利用PCA算法、Isomap算法與LE算法對(duì)三維結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的比較結(jié)果。

表4 PCA算法、Isomap算法與LE算法模態(tài)置信度系數(shù)比較

續(xù)表4

表5 PCA算法、Isomap算法與LE算法固有頻率比較

通過表4可知，與PCA算法相比，LE算法第1、2階的模態(tài)振型識(shí)別精度比PCA高，第3、4階差別不大，第7階的識(shí)別精度低于PCA。與Isomap算法相比，LE算法除了第1階低于Isomap算法，第2、3、4和7階的識(shí)別效果均比Isomap算法好。通過表5可知，LE算法識(shí)別第2、3、4階的固有頻率誤差比PCA算法低，第7階固有頻率誤差高于PCA算法。與Isomap算法相比，LE算法識(shí)別第3階固有頻率誤差更低，但第7階固有頻率誤差更高。

表6給出了PCA算法、Isomap算法與LE算法的時(shí)間開銷，從表6可知，Isomap算法的時(shí)間開銷遠(yuǎn)高于LE算法，LE算法的時(shí)間開銷高于PCA算法。

表6 PCA算法、Isomap算法與LE算法時(shí)間開銷比較

3 結(jié)束語

本文將拉普拉斯特征映射(LE)算法應(yīng)用于三維連續(xù)圓柱殼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。通過在圓柱殼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)據(jù)集上的仿真結(jié)果說明，LE算法能有效地識(shí)別三維結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的工作模態(tài)參數(shù)(模態(tài)振型、模態(tài)響應(yīng)與固有頻率)。LE算法的識(shí)別結(jié)果與PCA算法和Isomap算法相比，LE算法能更為均勻地識(shí)別出各階模態(tài)振型；且與Isomap相比，LE算法識(shí)別速度更快，平均識(shí)別精度更高。

但是，LE算法在識(shí)別過程中，容易出現(xiàn)某階的模態(tài)缺失或重疊現(xiàn)象。如何解決模態(tài)的缺失或重疊問題，是LE算法模態(tài)參數(shù)識(shí)別需要繼續(xù)進(jìn)一步解決的問題。除此之外，未來的工作中還可以用實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)一步驗(yàn)證該算法的有效性。