基于累積成本限制的k-out-of-n:F系統(tǒng)維護(hù)決策

周宏明，羅曉璇，黃華浙，張 寧，綦法群,2+,黃沈權(quán)

(1.溫州大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 溫州 325035；2.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804)

0 引言

在實(shí)際生產(chǎn)中,對(duì)系統(tǒng)采用冗余設(shè)計(jì)是提高系統(tǒng)可靠性的有效方法。常見的系統(tǒng)冗余方式一般有k-out-of-n:F系統(tǒng)、并聯(lián)、貯備等形式,其中k-out-of-n:F系統(tǒng)在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界都得到了廣泛關(guān)注。

SHEU等[1]研究了k-out-of-n:F系統(tǒng)，該系統(tǒng)在運(yùn)行過程中會(huì)受到外在沖擊。當(dāng)系統(tǒng)的役齡達(dá)到T(T>0)時(shí),對(duì)它進(jìn)行預(yù)期更換;若在預(yù)期更換時(shí)間點(diǎn)之前，由于外部沖擊導(dǎo)致系統(tǒng)失效的部件數(shù)量j

上述針對(duì)k-out-of-n:F系統(tǒng)的維護(hù)決策大多只關(guān)注單次維護(hù)成本，且往往只對(duì)維護(hù)周期進(jìn)行優(yōu)化研究。在這種維護(hù)策略下，系統(tǒng)在其生命周期內(nèi)的累積修復(fù)成本往往極高。為此，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者提出了基于資源約束的維護(hù)策略。潘爾順等[11]將成本與設(shè)備利用率進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，建立了動(dòng)態(tài)維護(hù)時(shí)間模型，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)維護(hù)策略研究。張博文等[12]以系統(tǒng)的生產(chǎn)和維護(hù)總成本最小化為目標(biāo)構(gòu)建了生產(chǎn)計(jì)劃和預(yù)防性維護(hù)聯(lián)合決策的模型。方珍玲等[13]基于設(shè)備的維護(hù)效率對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了預(yù)防性維護(hù)優(yōu)化研究。邵建一等[14]提出一種基于產(chǎn)能約束資源的設(shè)備預(yù)防性機(jī)會(huì)維護(hù)建模方法，在分析設(shè)備可用性和維護(hù)成本的基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)不同種類設(shè)備進(jìn)行了預(yù)防性維護(hù)建模。張友鵬等[15]提出了一個(gè)針對(duì)單設(shè)備的動(dòng)態(tài)預(yù)防性維護(hù)模型，該模型是在有限時(shí)間內(nèi)基于可靠度的約束，建立考慮役齡回退因子以及故障率遞增因子的故障率函數(shù)來描述設(shè)備的退化過程。以設(shè)備的最低工作可靠度為限制，使得更換周期內(nèi)系統(tǒng)的總維修費(fèi)用率最小，并確定系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)防性維護(hù)次數(shù)和維護(hù)周期。BEICHELT[16]提出了基于維修成本率限制的替換策略，即一旦維修成本率超過閾值水平，系統(tǒng)就會(huì)被替換。CHANG等[17]研究了單部件系統(tǒng)基于累積成本限制的更換策略。但是上述基于累積成本限制維護(hù)模型的研究對(duì)象大都為單機(jī)系統(tǒng)。對(duì)k-out-of-n:F系統(tǒng)來說，部件間往往存在失效相關(guān)性，系統(tǒng)中失效部件的數(shù)量又與系統(tǒng)性能密切相關(guān)，系統(tǒng)呈現(xiàn)多種失效形式?；诖?，本文以k-out-of-n:F系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮系統(tǒng)部件之間的失效相關(guān)性，根據(jù)系統(tǒng)中失效部件的數(shù)量將系統(tǒng)故障分為兩類，建立以累積修復(fù)成本率最小為目標(biāo)的維護(hù)決策模型，并采用迭代算法求解最佳維護(hù)決策。

1 維護(hù)建模

1.1 問題描述與基本假設(shè)

k-out-of-n:F系統(tǒng)由n個(gè)獨(dú)立部件構(gòu)成，當(dāng)且僅當(dāng)至少有k(1≤k≤n)個(gè)部件故障時(shí)，系統(tǒng)失效。m為系統(tǒng)已失效部件個(gè)數(shù)。系統(tǒng)故障分為兩類：Ⅰ類故障：系統(tǒng)失效部件0

假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)的部件失效有兩種情況：①退化失效，服從威布爾分布；②隨機(jī)失效，故障率隨時(shí)間變化，故障發(fā)生過程是一個(gè)非齊次泊松過程。

系統(tǒng)更換有以下3種情況：①在N次Ⅰ類故障后預(yù)期更換；②h次Ⅰ類故障后(h

X為單部件的故障時(shí)間;

f(X)為隨機(jī)失效變量X的概率密度函數(shù);

F(X)為隨機(jī)失效變量X的累積分布函數(shù);

λ(X)為隨機(jī)失效變量X的故障率函數(shù);

Y為第一次Ⅱ類故障的時(shí)間;

Fα(Y)為退化失效變量Y的累積分布函數(shù);

Tj為第j次Ⅰ類故障的時(shí)間;

Ci為第i次Ⅰ類故障的最小修復(fù)成本，i=1,2,3,…;

CM為Ci的平均成本，CM=E[Ci];

N為系統(tǒng)更換前的最小修復(fù)次數(shù)，N>i;

L為系統(tǒng)總修復(fù)成本限制;

C(N)為預(yù)期成本率;

Cy為預(yù)期更換產(chǎn)生的成本;

CⅠ為由于Ⅰ類故障更換產(chǎn)生的成本;

CⅡ?yàn)橛捎冖蝾惞收细鼡Q產(chǎn)生的成本;

Ui為更換周期的長(zhǎng)度，i=1,2,3,…;

Vi為周期Ui的運(yùn)行成本;

D(t)為區(qū)間[0,t]的操作系統(tǒng)的預(yù)期成本。

為便于維護(hù)建模，對(duì)系統(tǒng)作出如下基本假設(shè)：

(1)系統(tǒng)各部件之間具有失效相關(guān)性；

(2)系統(tǒng)的n個(gè)部件隨機(jī)服從兩類分布中的任意一種；

(3)各個(gè)部件隨役齡的增加而老化；

(4)任何故障可以立刻被檢測(cè)并進(jìn)行處理；

(5)本維護(hù)策略是基于無限時(shí)間域的。

1.2 成本函數(shù)建模

假設(shè)系統(tǒng)在時(shí)間t發(fā)生Ⅰ類故障的概率為q=(1-p)，發(fā)生Ⅱ類故障的概率為p(0

Y為Ⅱ類故障發(fā)生的時(shí)間，令N1(t)為(0,min(Y,t))中最小修復(fù)發(fā)生的次數(shù)，則在[0,t]中發(fā)生i次Ⅰ類故障的概率為：

(1)

令Tj(j=1,2,3,…)表示第j次Ⅰ類故障發(fā)生的時(shí)間，其中T0=0，則隨機(jī)變量Tj的分布函數(shù)如下：

FTj|Y(t)=P(Tj≤t|Y>t)

=P(N1(t)≥j|Y>t)

(2)

在時(shí)間t發(fā)生j次Ⅰ類故障的概率為：

=Pj-1(t)qλ(t)dt。

(3)

假設(shè)第i次Ⅰ類故障的最小修復(fù)成本Ci具有非負(fù)獨(dú)立同等的分布函數(shù)：

(4)

(5)

系統(tǒng)更換有以下3種情況：①在第N次Ⅰ類故障時(shí)進(jìn)行預(yù)期更換，更換成本為Cy;②若Ⅰ類故障次數(shù)未超過N，但累積維修成本已經(jīng)超過預(yù)期成本L，此時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更換，Ⅰ類故障更換成本為CⅠ;③若在N次Ⅰ類故障前發(fā)生Ⅱ類故障，此時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更換，Ⅱ類故障更換成本為CⅡ。這3種情況以先發(fā)生者為準(zhǔn)。這3種情況的相應(yīng)概率如下：

(1)發(fā)生關(guān)鍵Ⅰ類故障導(dǎo)致的更換概率為：

P(Tj∈(t,t+dt)|Y>t)dt

(6)

(2)發(fā)生Ⅱ類故障導(dǎo)致的更換概率為：

(7)

(3)預(yù)期的N次Ⅰ類故障導(dǎo)致的更換概率為：

P(TN∈(t,t+dt)|Y>t)dt

(8)

在該模型中，考慮t=∞的條件下，根據(jù)上述表格的定義，系統(tǒng)長(zhǎng)期的預(yù)期成本率為：

(9)

根據(jù)上述3種更換方案，第一個(gè)更換周期U1的長(zhǎng)度為：

U1=

(10)

第一個(gè)更換周期U1的期望長(zhǎng)度為：

t)P(Mj-1

(11)

同樣的，第一個(gè)替換周期的成本V1為：

(12)

則第一個(gè)替換周期的期望成本為：

(t,t+dt)|Y>t)P(Mj-1

P(TN∈(t,t+dt)|Y>t)P(MN-1

(13)

式中CM=E[∑Ci]。

由于在工程實(shí)際中，影響表決系統(tǒng)可靠性的因素很多，系統(tǒng)部件之間往往具有一定的相關(guān)性，因此本文考慮了部件之間的失效相關(guān)性。

Copula函數(shù)中最常用的是阿基米德Copula，其中Gumbel Copula、Clayton Copula與Frank Copula最常見，又Gumbel Copula與k-out-of-n:F系統(tǒng)的相關(guān)性符合，且模擬的結(jié)果與實(shí)際更貼合，因此選用Gumbel Copula模型[18]。

則相關(guān)結(jié)構(gòu)為：

(14)

在t時(shí)刻系統(tǒng)的可靠度為：

F(r+1)(t),…,F(n)(t))。

(15)

因此，系統(tǒng)每單位時(shí)間的長(zhǎng)期期望成本為：

(16)

2 數(shù)值算例

威布爾故障率函數(shù)為：

(17)

隨機(jī)失效之間的間隔時(shí)間T是互相獨(dú)立的并且服從指數(shù)分布特征：

P{T>t}=e-αt,α>0。

(18)

在t時(shí)刻，隨機(jī)失效導(dǎo)致的系統(tǒng)不可靠度為：

F(t)={P0。

(19)

為了驗(yàn)證模型的有效性，相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：

Cy=800,CⅠ=1 000,CⅡ=1 200,L=700,

θ=5,β=3,α=2,k=3,n=5。

因此，得出預(yù)期成本率C(N)，最小修復(fù)次數(shù)N與時(shí)間t的圖像如圖1所示。

由圖1可知，系統(tǒng)預(yù)期成本率C(N)隨著最小修復(fù)次數(shù)N與時(shí)間t的增大而逐漸減小，但在達(dá)到一定數(shù)值時(shí)成本率又逐漸增大。當(dāng)修復(fù)次數(shù)N=7時(shí)，預(yù)期成本率達(dá)到最低C(N)=287。由此可知，并不是維修次數(shù)越少，系統(tǒng)的累積修復(fù)成本就越低。

由式(16)～式(18)可知，影響C(N)與N的參數(shù)有很多，其中包括參數(shù)α、β、θ、以及各類維護(hù)成本與更換成本，通過改變這幾個(gè)參數(shù)來了解它們對(duì)最優(yōu)解的影響。得到的圖像分別如圖2～圖5所示。

圖2所示為根據(jù)不同的參數(shù)α，系統(tǒng)預(yù)期成本率C(N)隨維護(hù)次數(shù)N的不同而變化的趨勢(shì)。由圖2可知，當(dāng)α=0.5時(shí)，系統(tǒng)的預(yù)期成本率最低值為C(N)=186，此時(shí)的最小修復(fù)次數(shù)N=5；當(dāng)α=1時(shí)，系統(tǒng)的最小預(yù)期成本率C(N)=243，此時(shí)的最小修復(fù)次數(shù)N=6；當(dāng)α=1.5時(shí)，系統(tǒng)的最小預(yù)期成本率為C(N)=411，最小修復(fù)次數(shù)為N=7。

如圖3所示為根據(jù)不同的參數(shù)θ，系統(tǒng)預(yù)期成本率C(N)隨維護(hù)次數(shù)N的不同而變化的趨勢(shì)。由圖3可看出，當(dāng)θ=10時(shí)，系統(tǒng)的預(yù)期成本率最低值為C(N)=186，此時(shí)的最小修復(fù)次數(shù)為N=7；當(dāng)θ=15，系統(tǒng)的最小預(yù)期成本率C(N)=402，此時(shí)的最小修復(fù)次數(shù)N=6；當(dāng)θ=20時(shí)，系統(tǒng)的最小預(yù)期成本率為C(N)=495，最小修復(fù)次數(shù)為N=7。

如圖4所示為根據(jù)不同的參數(shù)β，系統(tǒng)長(zhǎng)期預(yù)期成本率C(N)隨維護(hù)次數(shù)N的不同而變化的趨勢(shì)。由圖4可知，當(dāng)β=2時(shí)，系統(tǒng)的預(yù)期成本率最低值為C(N)=311，此時(shí)的最小修復(fù)次數(shù)為N=6；當(dāng)β=2.5，系統(tǒng)的最小預(yù)期成本率C(N)=486，此時(shí)的最小修復(fù)次數(shù)為N=7；當(dāng)β=3時(shí)，系統(tǒng)的最小預(yù)期成本率為C(N)=407，最小修復(fù)次數(shù)為N=4。

表1與圖5所示為更換成本的敏感性分析。由圖5可知，由Ⅰ類故障導(dǎo)致的更換成本CⅠ對(duì)系統(tǒng)的預(yù)期成本率影響較大，最小的預(yù)期成本率隨著CⅠ的增大而減小。當(dāng)CⅠ=1 500，Cy=800，CⅡ=1 200時(shí)，系統(tǒng)的最低預(yù)期成本率C(N)=211，最小維護(hù)次數(shù)N=4。而系統(tǒng)的最小預(yù)期成本率隨著CⅡ與Cy的增大而增大。當(dāng)預(yù)期更換成本Cy=600，CⅠ=1 000，CⅡ=1 200時(shí)，系統(tǒng)的最低預(yù)期成本率C(N)=305，最小維護(hù)次數(shù)N=7。當(dāng)Ⅱ類故障導(dǎo)致的更換成本CⅡ=900，CⅠ=1 000，Cy=800時(shí)，系統(tǒng)的最低預(yù)期成本率C(N)=232，最小維護(hù)次數(shù)N=6。

表1 參數(shù)敏感性分析

由表1與圖2～圖5可以看出，每個(gè)參數(shù)都會(huì)對(duì)預(yù)期成本率和維護(hù)次數(shù)產(chǎn)生不一樣的影響。其中，故障率參數(shù)β對(duì)最小修復(fù)次數(shù)N產(chǎn)生的影響最大，由Ⅰ類故障導(dǎo)致的更換成本CⅠ對(duì)系統(tǒng)預(yù)期成本率C(N)產(chǎn)生的影響最大。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文建模方法的有效性，將本文數(shù)學(xué)模型與只考慮兩種失效模式，但不考慮最小修復(fù)次數(shù)的維護(hù)模型進(jìn)行比較，各參數(shù)設(shè)置與上例相同，預(yù)期成本率隨時(shí)間變化曲線如圖6所示。

由圖6可知，在考慮了最小修復(fù)次數(shù)N的情況下，系統(tǒng)整體的預(yù)期成本率比未考慮最小修復(fù)次數(shù)的系統(tǒng)低，因此采用本文的建模方法更符合工程實(shí)際。

3 結(jié)束語(yǔ)

在考慮系統(tǒng)故障與失效模式對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響下，針對(duì)k-out-of-n:F系統(tǒng)，通過分析系統(tǒng)運(yùn)行過程中產(chǎn)生故障的概率，本文建立了包括維護(hù)成本、故障更換成本和預(yù)期更換成本的系統(tǒng)總維護(hù)成本模型，基于系統(tǒng)可靠性的約束，求出使得預(yù)期成本率最低的維護(hù)次數(shù)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，故障率參數(shù)β與θ，以及故障導(dǎo)致的更換成本都對(duì)預(yù)期成本率以及維護(hù)次數(shù)有一定的影響，其中Ⅰ類故障導(dǎo)致的更換成本CⅠ對(duì)預(yù)期成本率的影響最大，故障率參數(shù)β對(duì)最小修復(fù)次數(shù)的影響最大，并且對(duì)于不同的維護(hù)成本限制以及故障率參數(shù)組合，該模型都能有效地找到最優(yōu)的維護(hù)策略。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于受工作環(huán)境、工人操作方式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等多因素影響，復(fù)雜系統(tǒng)各部件間往往存在失效相關(guān)性、結(jié)構(gòu)相關(guān)性、經(jīng)濟(jì)相關(guān)性等情況，針對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行可靠性及維護(hù)建模是下一步的研究重點(diǎn)。