巧用逆向思維 解答數(shù)學(xué)難題

摘 要：在初中教育教學(xué)中，數(shù)學(xué)是一門(mén)既抽象、難度又大的科目，尤其是在解題環(huán)節(jié)，各種各樣的難題層出不窮，對(duì)于師生雙方來(lái)說(shuō)均是一個(gè)嚴(yán)峻挑戰(zhàn).不少初中數(shù)學(xué)教師為幫助學(xué)生更好的解答數(shù)學(xué)難題，都在巧用逆向思維，指導(dǎo)他們創(chuàng)新解題思路，提高思維水平與解題能力.

關(guān)鍵詞：逆向思維;數(shù)學(xué)難題

中圖分類號(hào)：G632 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）08-0068-03

收稿日期：2021-12-15

作者簡(jiǎn)介：王康平（1977.12-），女，福建省福州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

逆向思維指的是對(duì)司空見(jiàn)慣、似乎已成定論事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式.初中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生巧用逆向思維解答難題，使其敢于“反其道而思之”，思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，讓他們從問(wèn)題的相反面深入探索，從而樹(shù)立新思想、創(chuàng)立新形象.

1 巧妙利用逆向思維，解答二次函數(shù)難題

初中數(shù)學(xué)知識(shí)屬于小學(xué)的后續(xù)、延伸與進(jìn)階，難度和深度也隨之提升，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，遇到的難題也更多，教師可引領(lǐng)學(xué)生巧妙運(yùn)用逆向思維處理題目，使其別具匠心的解答數(shù)學(xué)難題，讓學(xué)生慢慢消除畏難情緒.

例1 如果方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一個(gè)方程存在實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

解析 由于“至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”與“三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根”是相互對(duì)立的，那么先從這個(gè)問(wèn)題的反面思考，即為從三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根的角度來(lái)考慮，也就是從△1、△2、△3三者均小于0中求出k的取值范圍，再?gòu)膶?shí)數(shù)中排除這個(gè)k的取值范圍即可.

2 巧妙運(yùn)用逆向思維，解答幾何證明難題

證明題也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常見(jiàn)的一種題目類型，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、分析能力、空間意識(shí)與認(rèn)知水平要求更高.教師可以指引學(xué)生巧妙運(yùn)用逆向思維解決結(jié)論難以論證的數(shù)學(xué)難題，從結(jié)論著手展開(kāi)分析與探討，從而理清證明思路、確定證明流程，使其找到正確的證明方法，增強(qiáng)解題自信.

例2 如圖1，在△ABC中，AB>AC，AD⊥BC于D，P為AD上任意一點(diǎn)，求證：PB-PC>AB-AC.

解析 本題是一道思維含量很高的題目.學(xué)生如果按照正向思維的思路分析題目，這道幾何證明題很難從給出的已知條件確定證明思路與找到證明方法，假如運(yùn)用逆向思維從要求證的結(jié)論出發(fā)，就能輕松的找到切入點(diǎn)，利用垂直平分線的性質(zhì)，將線段AC、PC轉(zhuǎn)移，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理證明即可.

3 巧妙應(yīng)用逆向思維，解答一元一次方程難題

在以往的初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，大部分學(xué)生分析和解決題目時(shí)，容易陷入到思維定勢(shì)當(dāng)中，正遷移方面有利于題目的求解，負(fù)遷移則不利于解題的正確性.所以，初中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用逆向思維，從結(jié)論往回推，使其擺脫思維定式的負(fù)遷移，最終順利解答數(shù)學(xué)難題.

例3 小明的媽媽購(gòu)買幾桶牛奶，第一天，全家人喝掉全部牛奶的一半零半桶;第二天，又喝掉第一天剩下的一半零半桶;第三天，小明把家中僅剩下牛奶的一半零半桶喝完，這時(shí)媽媽所購(gòu)買的牛奶剛好全部喝完，求媽媽一共購(gòu)買了多少桶牛奶？

解析 本道題從正面較難求解，教師可指引學(xué)生應(yīng)用逆向思維分析這一難題，設(shè)牛奶第二天喝完后還剩x桶，則x2-12=1，解得x=1，這表明牛奶第二天喝完后還剩余1桶，第二天沒(méi)喝之前則為3桶，由此推理出第一天沒(méi)喝之前的牛奶是7桶，也就是說(shuō)媽媽一共購(gòu)買了7桶牛奶.這樣學(xué)生使用逆向思維解答了常規(guī)思維無(wú)法解決的問(wèn)題，提升了學(xué)生的解題效率.

4 巧妙采用逆向思維，解答反比例函數(shù)難題

逆向思維和常規(guī)思維不同，是反過(guò)來(lái)思考問(wèn)題，采用大部分人沒(méi)有想到的思維方式去探討問(wèn)題，目的是希望“出奇制勝”，結(jié)果通常別有所獲.具體到解答初中數(shù)學(xué)難題而言，教師可指導(dǎo)學(xué)生換個(gè)視角思考，將復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，以此鍛煉他們解題思維的發(fā)展，使其解題速度和正確度得以提高.

例4 在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（2，4），B（3，5），P（a，a），將線段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，其中A，B對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，D.若a=4，將函數(shù)y=4x（x>0）的圖像繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到新圖像，直線AB與新圖像的交點(diǎn)為E，F(xiàn)，則EF的長(zhǎng)為（直接寫(xiě)出結(jié)果）.

解析 本題主要考察反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，可巧用逆向思維來(lái)解題：設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把點(diǎn)A（2，4）與B（3，5）代入其中，得到直線AB的解析式為y=x+2，直線AB與新圖像的交點(diǎn)在過(guò)A點(diǎn)與AB垂直的直線上，該直線的解析式是y=-x+6，所以反比例函數(shù)同y=-x+6的兩交點(diǎn)距離就是EF的距離.

5 巧妙應(yīng)用逆向思維，解答圖像平移類難題

函數(shù)圖象平移是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，習(xí)題情境復(fù)雜多變.為更好的提高學(xué)生解答該類習(xí)題的能力，不僅要求學(xué)生能深入的理解函數(shù)圖象平移的規(guī)律，搞清楚函數(shù)圖象平移方向與相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，而且要求學(xué)生掌握相關(guān)的解題技巧，尤其能夠結(jié)合具體的習(xí)題情境采用逆向思維進(jìn)行分析，迅速的找到正確答案.

例5 如圖2，拋物線y=-12x2+7x-452與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將拋物線在x軸上方的部分記作C1，將C1向左平移得到C2， C2和x軸交于B、D兩點(diǎn)，若直線y=-12x+m和C1、C2共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍為（ ?）.

A.52C.52gzslib202204031116解析 令y=-12x2+7x-452=0，解得B（5，0），A（9，0），平移后C1、C2有共同的交點(diǎn)B.則可得D（1，0），C2對(duì)應(yīng)的拋物線為y=-12（x-3）2+2，直線y=-12x+m和C1、C2共有三個(gè)不同的交點(diǎn).若其剛好過(guò)點(diǎn)B時(shí)和C1、C2有兩個(gè)交點(diǎn)，繼續(xù)向上平移，會(huì)出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)，將B（5，0）代入y=-12x+m，解得m=52，要想滿足題意則m>52.采用逆向思維，從給出的選項(xiàng)出發(fā)排除BD兩項(xiàng).觀察A、D兩項(xiàng)，A項(xiàng)52

6 巧妙應(yīng)用逆向思維，解答情境新穎的難題

初中數(shù)學(xué)測(cè)試中往往會(huì)出現(xiàn)一些情境較為新穎的習(xí)題，對(duì)學(xué)生理解能力要求較高.解答該類習(xí)題需要認(rèn)真審題，吃透題意，根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境靈活應(yīng)用逆向思維找到解題的突破口.

例6 已知如圖3所示的計(jì)算機(jī)程序，如果x為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，則開(kāi)始輸入的x值可能有（ ?）.

A.2個(gè) ?B.3個(gè) ?C.4個(gè) ?D.5個(gè)

圖3解析 解答該題的關(guān)鍵在于能夠讀懂圖中表示的運(yùn)算規(guī)則.若知道了最后的輸出結(jié)果，可采用逆向思維進(jìn)行逆向運(yùn)算求出x的值.根據(jù)題意可知如果只循環(huán)一次便輸出結(jié)果可得5x+1=656，解得x=131;若循環(huán)兩次輸出結(jié)果則由5x+1=131，解得x=26;若循環(huán)三次輸出結(jié)果則由5x+1=26，解得x=5;若循環(huán)四次輸出結(jié)果則由5x+1=5，解得x=4/5，其不是正整數(shù)，因此，這種情況是不存在的.分析可知輸入的X的值可能有131、26、5共3個(gè)，選擇B項(xiàng).

7 巧妙應(yīng)用逆向思維，解答綜合性難題

初中數(shù)學(xué)部分習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，需要積極聯(lián)系所學(xué)采用逆向思維，判斷相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系.

例7 若點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x+y=2a-b-4x-y=b-4，且點(diǎn)P不在x軸上，若關(guān)于z的不等式y(tǒng)z+x+4>0的解集為z<23，求關(guān)于t的不等式at>b的解集.

解析 該題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，主要有：二元一次方程組的解法、不等式、點(diǎn)的坐標(biāo)等.根據(jù)題意不難求解出x=a-4，y=a-b，∵點(diǎn)P不在x軸上，∴a-b≠0.∵yz+x+4>0，∴（a-b）z+a>0，∵其解集為z<23，根據(jù)不等式知識(shí)可知，a-b<0，則a0，b>0，則由不等式at>b可得t>ba=52，∴不等式at>b的解集為t>52.

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