利用圖靈測(cè)試思維探究非均質(zhì)數(shù)字骰子與真實(shí)骰子的區(qū)分度

曾子珉 吳俊杰 蘇一

隨著計(jì)算機(jī)的誕生，計(jì)算開(kāi)始成為人類(lèi)生活生產(chǎn)、各級(jí)各類(lèi)教育中的一個(gè)重要元素，代表運(yùn)用人腦及電腦進(jìn)行思維的延伸。圖靈原理試圖說(shuō)明，計(jì)算機(jī)可以在一定的數(shù)據(jù)精度層面仿真真實(shí)世界的現(xiàn)象，反過(guò)來(lái)，人的認(rèn)知過(guò)程就是計(jì)算。[1]那么，真實(shí)世界、數(shù)字世界是否可以等價(jià)？在什么條件、多大程度上可以看作不可區(qū)分？在均質(zhì)骰子實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，本文利用“圖靈測(cè)試”思維，給出非均質(zhì)骰子的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析，以探究這一問(wèn)題。

● 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)首先利用3D打印設(shè)計(jì)制作非均質(zhì)骰子，并計(jì)算擲一次骰子各個(gè)面朝下的理論概率。接著，分別進(jìn)行1000組數(shù)字骰子實(shí)驗(yàn)、10000組數(shù)字骰子實(shí)驗(yàn)和1000組真實(shí)骰子實(shí)驗(yàn)，分析三組數(shù)據(jù)和理論值之間的關(guān)系，初步得出數(shù)字骰子模擬真實(shí)骰子的效果。最后，借鑒“圖靈測(cè)試”思維，引入第三方的“人”，同時(shí)分別與數(shù)字骰子和真實(shí)骰子進(jìn)行測(cè)試，若通過(guò)率一致，則認(rèn)為兩者不可區(qū)分。

● 非均質(zhì)骰子的理論模型、數(shù)字實(shí)驗(yàn)和實(shí)物實(shí)驗(yàn)

1.非均質(zhì)骰子的理論概率

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，將擲骰子看作剛體自由下落然后與桌面碰撞的剛體動(dòng)力學(xué)過(guò)程，假設(shè)非均質(zhì)六面體的幾何中心位于點(diǎn)O處、質(zhì)心位于點(diǎn)M處，MN與棱長(zhǎng)a的比值為h，如圖1所示，則在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上，擲骰子后面EFGH朝下的概率為：

在本案例中，基于3D打印技術(shù)設(shè)計(jì)了非均質(zhì)三層式骰子，如下頁(yè)圖2所示。每一層尺寸均為15mm×15mm×5mm，從上往下每一層的質(zhì)量為0.5g、0.5g、1.2g，在每一層均勻分布，兩個(gè)分界面間的膠重按0.05g計(jì)算，總質(zhì)量為2.3g。在誤差允許范圍內(nèi)，認(rèn)為質(zhì)心在z軸上，以幾何中心O為原點(diǎn)，計(jì)算出該模型質(zhì)心位置：

如下頁(yè)圖3、圖4所示，將（3）代入（1），利用Matlab可得出面EFGH朝下的概率P1=PEFGH=0.2094。同理，ABCD面朝下所對(duì)應(yīng)的質(zhì)心r^'=1.52mm，h^'=0.6014≈0.6，〖P_6=P〗_ABCD=0.1340。其余四面朝下的概率

2.數(shù)字骰子

為了賦予隨機(jī)數(shù)以不同概率的意義，首先利用計(jì)算機(jī)（mind+）在[1，1000]范圍內(nèi)隨機(jī)輸出整數(shù)，并進(jìn)行簡(jiǎn)單“編碼”：將P1定義為“輸出的隨機(jī)數(shù)屬于[1，210]范圍”，同理，P2對(duì)應(yīng)的范圍為[211，374]，P3對(duì)應(yīng)[375，538]，P4對(duì)應(yīng)[539，702]，P5對(duì)應(yīng)[703，866]，P6對(duì)應(yīng)[867，1000]。在處理數(shù)據(jù)時(shí)，先在Excel中利用IF函數(shù)劃分6個(gè)等級(jí)，之后利用COUNTIF函數(shù)進(jìn)行各范圍出現(xiàn)的頻數(shù)。

由于數(shù)字骰子可以在極短的時(shí)間內(nèi)完成上萬(wàn)次實(shí)驗(yàn)，所以分兩組實(shí)驗(yàn)，第一組循環(huán)輸出隨機(jī)數(shù)1000次，第二組循環(huán)輸出隨機(jī)數(shù)10000次，利用絕對(duì)誤差除以理論值得到相對(duì)誤差，結(jié)果如表1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)循環(huán)次數(shù)增大10倍后，概率誤差明顯降低，服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

3.真實(shí)骰子

手動(dòng)投擲3D打印后的非均質(zhì)骰子1000次，隨機(jī)選擇骰子的初始朝向，保證骰子進(jìn)行自由落體運(yùn)動(dòng)，記錄各面朝下的次數(shù)，并利用“絕對(duì)誤差/均值”計(jì)算真實(shí)骰子和數(shù)字骰子之間的相對(duì)誤差，結(jié)果如表2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，真實(shí)骰子的P2、P3、P4、P5接近理論值，較數(shù)字骰子表現(xiàn)更好，而P1、P6較數(shù)字骰子表現(xiàn)持平或更差。在1000次實(shí)驗(yàn)條件下，真實(shí)骰子和數(shù)字骰子相對(duì)誤差平均值為7.5%，計(jì)算機(jī)模擬非均質(zhì)骰子效果不佳;而在10000次實(shí)驗(yàn)條件下，數(shù)字骰子的實(shí)驗(yàn)值和理論值相對(duì)誤差降低為1.1%。因此，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多、越符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)，數(shù)字骰子替代真實(shí)骰子的可能性越高。

● 非等概率事件下的“圖靈測(cè)試”

在上一部分的分析中，數(shù)字骰子和真實(shí)骰子的實(shí)驗(yàn)是分開(kāi)進(jìn)行的，為了進(jìn)一步探討“非均質(zhì)數(shù)字骰子和真實(shí)骰子是否不可區(qū)分”，現(xiàn)引入第三方的“人”作為橋梁進(jìn)行測(cè)試。如下頁(yè)圖5所示，借鑒“圖靈測(cè)試”思維，讓一個(gè)人隨機(jī)猜測(cè)一個(gè)1～6之間的隨機(jī)數(shù)，然后同時(shí)分開(kāi)進(jìn)行數(shù)字骰子和真實(shí)骰子實(shí)驗(yàn)，若與人的猜測(cè)數(shù)字一致，則認(rèn)為通過(guò)“提問(wèn)”，若最后兩組骰子的通過(guò)率一致，則認(rèn)為數(shù)字骰子和真實(shí)骰子不可區(qū)分。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，當(dāng)進(jìn)行200輪測(cè)試時(shí)，數(shù)字骰子和真實(shí)骰子的通過(guò)率分別是18%、11%，相對(duì)誤差為48.3%;而當(dāng)進(jìn)行1000輪測(cè)試時(shí)，通過(guò)率分別為16.8%、19%，相對(duì)誤差為12.3%。這說(shuō)明，當(dāng)統(tǒng)計(jì)規(guī)律明顯時(shí)，數(shù)字骰子和真實(shí)骰子的區(qū)別越不容易被檢測(cè)出來(lái)，數(shù)字骰子替代真實(shí)骰子的可能性越高。

● 總結(jié)

在本實(shí)驗(yàn)中，在利用非均質(zhì)數(shù)字骰子和真實(shí)骰子分別實(shí)驗(yàn)時(shí)，在1000組實(shí)驗(yàn)次數(shù)條件下，真實(shí)骰子實(shí)驗(yàn)值與理論值更接近，當(dāng)增大實(shí)驗(yàn)次數(shù)時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬非均質(zhì)骰子效果更佳。在引入第三方的“人”進(jìn)行同時(shí)分別測(cè)試時(shí)，在200組實(shí)驗(yàn)次數(shù)條件下，數(shù)字骰子和真實(shí)骰子的通過(guò)率差異較大，容易區(qū)分開(kāi)，而當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增大到1000時(shí)，兩通過(guò)率差異控制在15%以內(nèi)，較難區(qū)分開(kāi)，在此基礎(chǔ)上合理外推，當(dāng)增大各組實(shí)驗(yàn)、測(cè)試次數(shù)時(shí)，非均質(zhì)數(shù)字骰子和真實(shí)骰子的區(qū)分度將進(jìn)一步縮小。當(dāng)然，本實(shí)驗(yàn)由于現(xiàn)有3D打印工藝的局限性，存在特定填充率下填充結(jié)構(gòu)不可變及無(wú)法一體成型打印實(shí)驗(yàn)所需非均勻立方體的情況，分割面粘膠等因素也會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生關(guān)于z軸分布不均勻的現(xiàn)象，但考慮其重量對(duì)整體的影響是可忽略的，故將其歸結(jié)于誤差范圍內(nèi)。

類(lèi)似地，一方面，在創(chuàng)客教育中，可通過(guò)質(zhì)量的非均勻分布進(jìn)行任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生理解質(zhì)心概念，并深入挖掘3D打印機(jī)的精度、填充率、支撐結(jié)構(gòu)、外層結(jié)構(gòu)等因素對(duì)質(zhì)量分布的影響，嘗試調(diào)參，有條件的還可以進(jìn)行更精確的配重;另一方面，在信息技術(shù)教育中，也可以通過(guò)計(jì)算機(jī)編程模擬真實(shí)世界或人的行為，通過(guò)理論計(jì)算或統(tǒng)計(jì)規(guī)律分析等手段，利用圖靈測(cè)試的思維，探討計(jì)算機(jī)仿真的界限，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維和虛實(shí)融合世界觀。

參考文獻(xiàn)：

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