2021年高考全國(guó)乙卷理科第19題的探究與啟示

■ 哈爾濱師范大學(xué) 孔繁雪

近年來(lái),高考對(duì)于數(shù)列的考察主要集中在等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明及求和上,2021年全國(guó)乙卷的考察也將重點(diǎn)放在等差數(shù)列的證明及求和上,但相較于之前的注重對(duì)證明及求和方法的考察,乙卷的數(shù)列題更加注重學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握以及對(duì)題目的理解,并且此次考試將數(shù)列題放在第19題的位置上,更加體現(xiàn)了對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的重視。

1 試題呈現(xiàn)

題目(2021年全國(guó)乙卷19題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積,已知。

證明:(1)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;

(2)求{an}的通項(xiàng)公式。

2 試題分析

本題以bn與數(shù)列{Sn}之間的關(guān)系作為載體,主要考查數(shù)列通項(xiàng)an與數(shù)列前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系及等差數(shù)列的證明,考查學(xué)生的推理論證及運(yùn)算求解能力、考查分類與整合、特殊與一般、考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

本題只需要準(zhǔn)確bn與數(shù)列{Sn}之間的關(guān)系及具體的表示,并準(zhǔn)確表示出n的范圍,值得注意的是,n的范圍所對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式也不一定相同,需要對(duì)首項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)。然后類比an與數(shù)列前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系從bn與數(shù)列{Sn}之間的關(guān)系中得到Sn的通項(xiàng)公式,最終得到an的通項(xiàng)公式。

3 解法分析

點(diǎn)評(píng):

對(duì)于本題來(lái)說(shuō),難點(diǎn)在于正確理解bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積的含義,并將其和an與Sn之間的關(guān)系建立聯(lián)系,然后準(zhǔn)確地對(duì)式子進(jìn)行變形、整理,值得注意的是,在計(jì)算第n-1項(xiàng)時(shí)n的范圍是n≥2,并且需要將等差數(shù)列的首項(xiàng)計(jì)算出來(lái),將首項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)看是否滿足通項(xiàng)公式。第二問(wèn)先是利用Sn與bn的關(guān)系計(jì)算出bn,再利用an與Sn的關(guān)系計(jì)算出an,并注意n的范圍。通過(guò)對(duì)本題的求解,主要可以培養(yǎng)學(xué)生的類比以及分類討論的思想,提高學(xué)生的邏輯推理能力。

4 高考題對(duì)比

點(diǎn)評(píng):

這兩道高考題的第二問(wèn)都是在第一問(wèn)求得了{(lán)an}的通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上,利用前n項(xiàng)和的求和公式及其他方法求得Sn的,主要考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)換思想等。

這兩道高考題與全國(guó)乙卷的高考題相比,全國(guó)乙卷的解題程序與此相反,已知{Sn}前n項(xiàng)積,得到Sn的通項(xiàng)公式,再通過(guò)an與Sn之間的關(guān)系,最終得到an的通項(xiàng)公式,弱化了對(duì)技巧以及方法的考察,著重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)及其閱讀理解能力。

5 啟示與建議

5.1 落實(shí)“雙基”

俗話說(shuō),基礎(chǔ)不牢,地動(dòng)山搖?？荚嚨闹攸c(diǎn)在于學(xué)生所表現(xiàn)出來(lái)的基本知識(shí)和基本方法,并在此基礎(chǔ)上考查學(xué)生的基本技能。因此,在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)本質(zhì)的剖析,注重學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)與理解,在教學(xué)過(guò)程中放緩教學(xué)速度,循序漸進(jìn),穩(wěn)扎穩(wěn)打,這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提,也是學(xué)生提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基石,是提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的保證。

5.2 注重通性通法

如今的高考題特別注重考查通性通法,淡化特殊技巧。因此,在復(fù)習(xí)中要注意對(duì)基本方法、典型思想的培養(yǎng),對(duì)于一些華麗但并不實(shí)用的方法并不提倡學(xué)生使用,應(yīng)追求具有思想價(jià)值及通用的方法。應(yīng)注重對(duì)于通性通法的練習(xí),以提高解題能力。

5.3 回歸教材

注意回歸教材本源,選擇有針對(duì)性的問(wèn)題,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法進(jìn)行鞏固提升,確保每塊內(nèi)容的基礎(chǔ)得到真正落實(shí),從而進(jìn)行靈活應(yīng)用,有效切實(shí)提高學(xué)生解題能力。

5.4 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)落地的重要途徑,因此,在進(jìn)行學(xué)習(xí)及復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重學(xué)生的接受程度以及心理發(fā)展規(guī)律,教學(xué)不宜過(guò)快,應(yīng)讓學(xué)生慢慢思考,引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生自我反思解題及方法的習(xí)慣,重視對(duì)知識(shí)的本質(zhì)的挖掘與理解,促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深度與廣度的認(rèn)識(shí),增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

5.5 類比學(xué)習(xí),舉一反三

不難發(fā)現(xiàn),高考對(duì)于數(shù)列的考察主要集中在基礎(chǔ)知識(shí)及基本內(nèi)容的變形等,因此,學(xué)生應(yīng)注重對(duì)課本知識(shí)的理解與運(yùn)用,以及應(yīng)具備將書本上的基礎(chǔ)知識(shí)遷移的能力,學(xué)會(huì)類比學(xué)習(xí),就舉一反三,以加深學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解,提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力以及發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。