十種方法求角的內(nèi)角平分線所在直線方程

鐘建新

(浙江省春暉中學(xué) 312300)

題目已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A(2,5)，B(6,8)，C(8,-3)，求∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程.

解法1由題意得，∠A的內(nèi)角平分線所在的直線有斜率，下設(shè)∠A的內(nèi)角平分線所在的直線l方程為

y-5=k(x-2)，

點(diǎn)B(6,8)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′(a,b)，

則點(diǎn)B′(a,b)在直線

①

又線段BB′中點(diǎn)在l上，

②

且kBB′·kl=-1，

③

以上三式聯(lián)立可解得

所以直線l方程為

即∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法2設(shè)點(diǎn)B(6,8)關(guān)于∠A的內(nèi)角平分線所在直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B′(a,b)，

④

又|AB′|=|AB|，

⑤

以上兩式聯(lián)立可解得

a=5,b=1.

所以B′(5,1)，kBB′=7.

又kBB′·kl=-1，

即∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法3設(shè)點(diǎn)P(x,y)為∠A的內(nèi)角平分線所在的直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊AB和邊AC的距離相等.

即lAB:3x-4y+14=0.

即lAc:4x+3y-23=0.

所以3x-4y+14=4x+3y-23，

或3x-4y+14=-(4x+3y-23).

即x+7y-37=0，或7x-y-9=0.

因?yàn)橹本€7x-y-9=0為∠A的外角平分線所在的直線，故舍去.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

設(shè)∠A的內(nèi)角平分線所在的直線的斜率為k，則用到角公式得

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

下設(shè)∠A的內(nèi)角平分線所在的直線的斜率為k，則用到角公式得：

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法6 若lAB:A1x+B1y+C1=0，

lAc:A2x+B2y+C2=0，

則∠A的內(nèi)角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一：

(A1x+B1y+C1)-λ(A2x+B2y+C2)=0,

或(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0，

該結(jié)論可通過(guò)點(diǎn)線距相等來(lái)證明.

結(jié)合本題題意，因?yàn)?/p>

lAB:3x-4y+14=0，

lAc:4x+3y-23=0，

所以∠A的內(nèi)角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一：

(3x-4y+14)-λ(4x+3y-23)=0,或

(3x-4y+14)+λ(4x+3y-23)=0，

所以整理，得

x+7y-37=0，或

7x-y-9=0(舍去).

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法7 因?yàn)?/p>

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法8 由題意，|AB|=5，|AC|=10.

設(shè)∠A的內(nèi)角平分線與邊BC的交點(diǎn)為D，

又A(2,5)，

直線AD的方程為x+7y-37=0.

即∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法9 設(shè)點(diǎn)P(x,y)為∠A的內(nèi)角平分線所在的直線上任意一點(diǎn)，則

化簡(jiǎn),得x+7y-37=0.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

化簡(jiǎn),得x+7y-37=0.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

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