例談雙元不等式證明中的減元策略

張志剛

(山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 271400)

雙元(例如x1，x2)不等式的證明是高考數(shù)學(xué)?？汲Ｐ碌拿}熱點(diǎn)，解答時(shí)往往需要適時(shí)構(gòu)造新函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)工具加以討論.鑒于高中階段僅限于學(xué)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及應(yīng)用，因此，證明雙元不等式的核心思想就是減元(消元)，即將雙元不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式去解決.如何有效地實(shí)施減元就成了解題的關(guān)鍵，采用何種策略要視具體題設(shè)條件而定，不可一概而論.本文以近年高考試題和模擬題為例，探討具體題設(shè)環(huán)境下如何實(shí)施消元.

1 商式換元法

其基本原理是：依據(jù)題設(shè)條件，如出現(xiàn)兩個(gè)齊次式之商的形式，則可以考慮將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成關(guān)于兩元比值的單變量函數(shù).

此方法常常用于對(duì)數(shù)函數(shù)為背景的雙元不等式證明.

由切線不等式lnx

例2 已知函數(shù)f(x)=ax2-blnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為y=1.

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

解析(1)a=1，b=2.(過(guò)程略)

(2)因?yàn)?

所以g(t)在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(t)>g(1)=0,原不等式成立.

2 差式減元法

類比商式換元法，我們也可以依據(jù)題目條件，考慮將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成兩元之差的單變量函數(shù).此方法常常用于指數(shù)函數(shù)為背景的雙元不等式證明.

設(shè)t=b-a(t>0),

設(shè)g(t)=t+2+(t-2)et(t>0),

g′(t)=1+(t-1)et(t>0).

設(shè)h(t)=g′(t)，則

h′(t)=tet>0.

所以h(t)即g′(t)在(0，+∞)單調(diào)遞增.

從而g′(t)>g′(0)=0，

g(t)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(t)>g(0)=0.

2t0).

設(shè)f(t)=et-e-t-2t(t>0),則

所以f(t)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

從而f(t)>f(0)=0，即原不等式成立.

3 韋達(dá)消參法

當(dāng)雙元x1,x2是某二次方程的兩根時(shí)，通過(guò)韋達(dá)定理求出x1+x2，x1x2，并考查是否為定值.若某一式(如下面例5中x1x2=1)為定值，利用此定值條件揭示的兩變量間的聯(lián)系，將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量來(lái)表示，代入相應(yīng)的不等式中，以達(dá)到消元之目的.顯然，本方法一般適用于導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的函數(shù)不等式的證明.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解析(1)略.

(2)由(1)知，若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則a>2.

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足

x2-ax+1=0，

由韋達(dá)定理，得x1x2=1.

不妨設(shè)x11.

所以欲證不等式等價(jià)于

由(1)知，g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

又g(1)=0，從而當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g(x)<0.

例6已知函數(shù)f(x)=x2-x+aln(x+1)，其中a∈R.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解析(1)略.

(2)由(1)知，若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足

2x2+x+a-1=0，

由韋達(dá)定理，得

=x2-(2x2-1)ln(x2+1).

g(x)=x-(2x-1)ln(x+1)，

設(shè)h(x)=g′(x)，則

>ln1=0，

4 主副元減元法

其基本原理是：在雙元函數(shù)不等式中，將其中一個(gè)變量作為主元，另外一個(gè)變量作為副元(參數(shù))，從而構(gòu)造一元函數(shù)來(lái)證明，達(dá)到減元的目的.

證明由于0

所以F(x)在(x1,+∞)上單調(diào)遞減.

從而F(x)

令x=x2，F(xiàn)(x2)<0,即原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)在本題確定主副元時(shí)，鑒于欲證不等式中x2出現(xiàn)次數(shù)較少，則首選x2作為主元,x1作為副元嘗試解答.當(dāng)然，有些題目?jī)稍霈F(xiàn)次數(shù)相當(dāng)時(shí)，也可考慮用主副元法.

例8已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx.設(shè)0

證明(1)設(shè)

所以F(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

從而F(x)>F(a)=0.

所以G(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞減.

從而G(x)

綜上，原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的一個(gè)重要方法——設(shè)輔助函數(shù)法：將不等式所有的項(xiàng)移至不等式一側(cè)，另一側(cè)為0，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，按部就班解答即可.但本題中的不等式是雙變量不等式，就需考慮選擇一個(gè)元作為主變?cè)?，另一個(gè)作為參數(shù)了.例如上述解答中，即將b視為主元，將a視為副元完成證明.而在主變?cè)倪x取上，一般遵循的原則是：

①出現(xiàn)次數(shù)較少的字母為主變量，目的自然是為了構(gòu)造函數(shù)后求導(dǎo)運(yùn)算的便利；

②數(shù)值較大的字母為主變量，例如本例中的b.