例析圓錐曲線解答題中的雙向量系數(shù)問題

李 寧

(海南省海南中學(xué) 571158)

于是y3-1=-λ，即λ=1-y3.

同理，μ=1-y4.

由于P,A,M三點(diǎn)共線，有

直線l斜率不為0，設(shè)其方程為x=m(y-1)，與y2=4x聯(lián)立，得

y2-4my+4m=0.

從而y1+y2=4m，y1y2=4m.

解析由題知F(1,0)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，M(0,y0)，則

從而x1=λ(1-x1)，y1-y0=-λy1.

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C上，則

評注例2和例1類似，可以用相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)來表示λ+μ，再利用韋達(dá)定理整體消元. 這里注意到例2的特殊性，A,B兩點(diǎn)地位相同，利用點(diǎn)A在橢圓C上構(gòu)建λ有關(guān)的二次方程，同理得到跟μ有關(guān)的二次方程，利用韋達(dá)定理直接得到λ+μ的值.

解析由題知F1(-1,0),F2(1,0)，設(shè)A(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3)，則

故-1-x1=λ(x2+1)，-y1=λy2.

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，從而

2(1+λ)x1=λ2-2λ-3=(λ-3)(λ+1).

由于λ>0，從而2x1=λ-3.

即λ=2x1+3.

同理μ=-2x1+3.

故λ+μ=6為定值.

評注從構(gòu)圖上來看，點(diǎn)A確定了以后，整個(gè)圖形就能確定下來. 通過設(shè)點(diǎn)法，充分利用點(diǎn)在橢圓上消去二次項(xiàng)，得到參數(shù)之間的關(guān)系. 其實(shí)，也可以通過焦半徑的計(jì)算來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

從而λ=2x1+3.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則

x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2.

由于M在橢圓上，從而

(λx1+μx2)2+4(λy1+μy2)2=100.

x1x2+4y1y2

=20,

評注這里充分利用M,A,B三點(diǎn)在橢圓上來處理二次項(xiàng)，由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,通過韋達(dá)定理處理交叉項(xiàng)x1x2+4y1y2.

小結(jié)這類問題往往涉及到圓錐曲線上兩個(gè)或更多動(dòng)點(diǎn)，可以由題目給的向量條件溝通相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系，接下來就是消元. 可以分析整個(gè)圖形的構(gòu)圖，考查是由動(dòng)直線還是動(dòng)點(diǎn)主導(dǎo)，從而考慮采取設(shè)線法還是設(shè)點(diǎn)法. 設(shè)線法，用韋達(dá)定理整體消元；設(shè)點(diǎn)法，利用點(diǎn)在圓錐曲線上來消元.

答案:λ+μ=-1.

答案:(2,0).