稀疏平面陣列幅相誤差估計(jì)算法

謝婉瑩,金紅軍,趙懷松

(1.杭州電子科技大學(xué) 電子信息學(xué)院,浙江 杭州 310018; 2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司 第五十研究所,上海 200331)

信源到達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)[1]在數(shù)字通信、信號(hào)處理和目標(biāo)定位[2]方面已取得了廣泛的應(yīng)用[3]，也是陣列信號(hào)處理的重點(diǎn)的研究方向。為了避免角度估計(jì)模糊，現(xiàn)有的陣列方案要求陣元間距小于等于入射信號(hào)半波長(zhǎng)。這種均勻陣存在如下缺點(diǎn)：(1)陣元個(gè)數(shù)較多，成本高；(2)在陣元個(gè)數(shù)受限的情況，估計(jì)精度和分辨率受限；(3)陣元距離近，易受到互耦的影響，導(dǎo)致測(cè)向性能下降。

采用稀疏陣列[4]可以改善以上問(wèn)題，但是由于陣元間距大于入射信號(hào)半波長(zhǎng)，會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的模糊問(wèn)題，導(dǎo)致DOA估計(jì)失敗[5]。傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法是在陣列通道間不存在幅相誤差以及陣列的陣元位置誤差的理想前提下展開(kāi)研究的。但是在實(shí)際的工程應(yīng)用中，實(shí)際的陣列流行往往會(huì)受到環(huán)境和器件本身等因素的影響而出現(xiàn)偏差和擾動(dòng)[6]。此外，當(dāng)存在陣列誤差情況時(shí)，基于子空間的DOA估計(jì)算法中陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣容易出現(xiàn)秩損，最終導(dǎo)致算法的估計(jì)性能?chē)?yán)重惡化，甚至失效[7-8]。因此，在存在幅相誤差時(shí)，對(duì)稀疏平面陣列的DOA估計(jì)算法展開(kāi)研究可推動(dòng)二維平面陣的應(yīng)用與發(fā)展，具有一定的工程價(jià)值[9]。

在陣列幅相誤差估計(jì)方向，文獻(xiàn)[10]提出的輔助陣元法ISM(Instrumental Sensor Method)在無(wú)需預(yù)期陣列誤差參數(shù)的條件下增加若干個(gè)已校準(zhǔn)的輔助陣元來(lái)估計(jì)信源方位。該方法在得到信源方位準(zhǔn)確估計(jì)的同時(shí)對(duì)陣列誤差進(jìn)行準(zhǔn)確校正，完成預(yù)期陣列誤差和信源方位的“去耦合”估計(jì)[11-12]。但是由于稀疏陣列的角度模糊特性，經(jīng)典的ISM方法無(wú)法直接用于稀疏陣列的幅相誤差估計(jì)，需要對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，使之滿足ISM算法的假設(shè)條件[13]。消除陣列的模糊特性是最直接的一種改進(jìn)方式。

本文主要針對(duì)稀疏均勻平面陣列在存在幅相誤差情況時(shí)的DOA估計(jì)問(wèn)題展開(kāi)研究[14-15]。本文將線陣下基于介質(zhì)的去模糊算法推導(dǎo)到二維平面陣列中，解決了平面陣列的測(cè)角模糊問(wèn)題，同時(shí)將ISM校正算法與該算法相結(jié)合，改善了ISM方法不適用于稀疏陣列的缺陷，提高了算法的適應(yīng)性。

1 陣列信號(hào)模型及模糊性分析

1.1 存在幅相誤差的信號(hào)模型

一個(gè)均勻矩形平面陣列由M×N個(gè)陣元組成，其中陣元的位置為(xi,yi)，其x軸和y軸上的陣元間距分別為dx和dy。入射信號(hào)從K個(gè)不同的方向以角度(θk,φk)(k=1,2,…,K)入射。此時(shí)，該陣列中第k個(gè)信號(hào)陣列流行為

(1)

(2)

式中，i和j分別表示為在x軸和y軸上的第i個(gè)陣元和第j個(gè)陣元；A為陣列流行矢量形式；β=2π/λ為波數(shù)；θ∈[0,π]；φ∈[0,2π]。當(dāng)存在幅相誤差時(shí)，設(shè)陣元(xi,yi)的幅度誤差為μij，相位誤差為φij。原點(diǎn)處陣元沒(méi)有誤差，將其做為參考陣元，幅相誤差矢量可表示為

Γ=[1Γ2…ΓM×N]=
[1μ2exp(jφ2)…μM×Nexp(jφM×N)]T

(3)

存在幅相誤差時(shí)，陣列流行可表示為

(4)

此時(shí)陣列的接收信號(hào)表示為

(5)

式中，陣列接收信號(hào)是X(t)和S(t)是空間入射信號(hào)，S(t)=[S1(t),S2(t),…,Sk(t)]；N(t)=[n1(t),n2(t),…,nk(t)]為天線陣列接收到的噪聲。

1.2 傳統(tǒng)ISM幅相誤差估計(jì)算法

ISM幅相誤差校正算法是一種基于接收數(shù)據(jù)矢量的單輔助信源校正算法，該算法不受陣列結(jié)構(gòu)的限制，運(yùn)算量較小，在參數(shù)估計(jì)算法中沒(méi)有局部收斂問(wèn)題，易于工程實(shí)現(xiàn)，估計(jì)效果好[13]。其基本原理描述如下：

在M×N個(gè)陣元的平面陣列中，假設(shè)有S個(gè)信號(hào)源，入射方向?yàn)?θk,φk)(k=1,2,…,S)，利用在平面陣列中加入R(R≥S+1)個(gè)精準(zhǔn)校正過(guò)的輔助陣元共同組成新的接收陣列，陣列的陣列流行矩陣A=[W(θ1,φ1),W(θ2,φ2),…,W(θk,φk)]。其中，W(θi,φi)為第i個(gè)信號(hào)源的導(dǎo)向矢量。

W(θ,φ)=Γ(θi,φi)a(θi,φi)，i=1,2,…,S

(6)

前R個(gè)精準(zhǔn)校正過(guò)的輔助陣元對(duì)應(yīng)的幅相誤差值為1，將導(dǎo)向矢量a(θi,φi)和幅相誤差對(duì)角矩陣Γ(θi,φi)分塊得到

(7)

式中，前R個(gè)精準(zhǔn)校正過(guò)的陣元對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量為a1(θ,φ)，后M×N-1個(gè)存在幅相誤差陣元對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量為a2(θ,φ)，進(jìn)一步可得

(8)

根據(jù)子空間算法原理可知

(9)

將式(8)代入式(9)有

(10)

δH(θi,φi)Q(θi,φi)δ(θi,φi)=0

(11)

(12)

其中，(θ,φ)≠0。當(dāng)滿足Q(θ,φ)出現(xiàn)秩損或?yàn)槠娈愱嚂r(shí)，ISM算法才能實(shí)現(xiàn)信源DOA估計(jì)參數(shù)和陣列幅相誤差的聯(lián)合估計(jì)，如下式所示。

(13)

(14)

(15)

2 基于介質(zhì)的模糊抑制算法

2.1 基于介質(zhì)的線陣模糊抑制原理

在稀疏線陣下加有介質(zhì)基片的去模糊原理[16]，主要思想在于引入介質(zhì)，借用電磁波在介質(zhì)中的折射改變?cè)械穆烦滩睿沟藐囋恢冒l(fā)生變化，得到新的陣列流形A2，并用A2取代原來(lái)的A，達(dá)到去除角度模糊的效果。線陣下的具體原理和結(jié)論如下圖所示。

圖1 矩形介質(zhì)放置在線陣的結(jié)構(gòu)圖Figure 1. The structure diagram of the rectangular substrate placed on the line array

圖2 半球介質(zhì)放置在線陣的結(jié)構(gòu)圖Figure 2. The structure diagram of hemispherical substrate placed on line array

平板介質(zhì)的等效位置

(16)

半圓介質(zhì)的等效位置

rn.E=(rncosθ+Δrn(θ))/cosθ

(17)

(18)

2.2 線陣至面陣的推廣

本文將線陣下的介質(zhì)去模糊算法推導(dǎo)應(yīng)用在二維空間下的稀疏平面陣列中[17]，如圖3所示,假設(shè)將一個(gè)矩形介質(zhì)塊放置在陣列的第n個(gè)陣元上，該陣元位置為P(xn,yn),折射率為ne，介質(zhì)塊厚度為hn，(θ,φ)是某一入射信號(hào)的入射角，其中θ是入射信號(hào)的俯仰角，f是入射信號(hào)的方位角，并且該入射信號(hào)在介質(zhì)塊中的折射角為γ，rn(θ,φ)是第P個(gè)陣元在入射角為(θ,φ)下的等效位置。直線A’Q’存在并與A’O入射信號(hào)垂直的平面為該入射波的波前。入射波在傳入到該平面之前都是等相位的，當(dāng)傳入到Q’點(diǎn)后，入射波繼續(xù)在介質(zhì)塊中傳播Q’P段才能達(dá)到第P個(gè)接收陣元，并且入射波入射到波前中的A’后在自由空間繼續(xù)傳播A’O段到達(dá)參考陣元O，因此根據(jù)波程差關(guān)系和兩者的傳播路程求得等效位置rn(θ,φ)。

圖3 矩形介質(zhì)放置在平面陣的結(jié)構(gòu)圖Figure 3. The structure diagram of the rectangular substrate placed on the plane array

圖4 半球介質(zhì)放置在平面陣的結(jié)構(gòu)圖Figure 4. The structure diagram of hemispherical substrate placed on plane array

因此，由圖3推導(dǎo)得到入射信號(hào)入射到P陣元和參考陣元的波程差Dn。

(19)

由平面陣列中空間第i個(gè)陣元與參考陣元之間的波程差可得Dn=Δx。

Δx=2π(xicosφsinθ+yisinφsinθ)/λ

(20)

與線陣的情況不同，求解發(fā)現(xiàn)平面陣陣元等效位置結(jié)果并不唯一。為簡(jiǎn)化運(yùn)算，本文選取一個(gè)特殊結(jié)果作為等效位置點(diǎn)rn(θ,φ)(xn′,yn′)，即加入平面介質(zhì)后該陣元的等效位置為

(21)

同理，參考圖4分析半圓介質(zhì)的抑制原理，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得到

nebnsinγ-sin(θ-γ)ηn(γ)=0

(22)

(23)

求解方程式(22)得到γ值，再將γ值代入式(23)可得Dn，同時(shí)再代回到式(21)可以得到加入半圓介質(zhì)后該陣元的等效位置。

通過(guò)上面的推導(dǎo)可以獲得添加介質(zhì)處的陣元等效位置，從而得到抑制模糊陣列流行矢量AS，但是該方法的抑制效果會(huì)受到介質(zhì)參數(shù)的影響[18]。為了獲取最佳的抑制效果，就需要獲取合適的介質(zhì)參數(shù)，本文以矩形介質(zhì)為例，參數(shù)有介質(zhì)高度h和介質(zhì)折射率ne。定義抑制度J的表達(dá)式為

(24)

(25)

算法描述如下：

步驟1在稀疏陣列前選擇一個(gè)或若干個(gè)陣元，在介質(zhì)約束條件內(nèi)求解抑制度J最大的介質(zhì)高度和折射率。在選定的陣元前面加入對(duì)應(yīng)的介質(zhì)；

步驟2對(duì)等效陣列流形矢量利用ISM方法進(jìn)行幅相誤差估計(jì)，此時(shí)估計(jì)的結(jié)果是加介質(zhì)后的等效誤差；

步驟3根據(jù)真實(shí)陣列流形和等效陣列流形的轉(zhuǎn)換關(guān)系對(duì)ISM估計(jì)的等效誤差進(jìn)行反變換，求得陣列的真實(shí)幅相誤差。

3 仿真與分析

3.1 存在幅相誤差下的DOA估計(jì)分析

本文的仿真條件為：在6×6的平面陣列中，以位于(0,0)處的陣元為參考陣元，所有距離單位都為半個(gè)波長(zhǎng)大小，陣元間距為1個(gè)波長(zhǎng)，信噪比為20 dB，快拍數(shù)為1 000，入射信號(hào)源方向?yàn)?48°,48°)。當(dāng)加入介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)折射率為3，高度為2。

由圖5(a)可以看出，傳統(tǒng)Music算法估計(jì)稀疏陣列會(huì)產(chǎn)生偽峰，即角度(132°,48°)方向。圖5(a)和圖5(c)的對(duì)比顯示，基于介質(zhì)的方法能夠?qū)畏暹M(jìn)行抑制。由圖5(b)和圖5(c)結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，幅相誤差會(huì)降低譜峰并使譜峰偏移，同時(shí)降低偽峰抑制效果。

(a)

3.2 介質(zhì)去模糊算法信噪比分析

由圖6和圖7可知，基于介質(zhì)的二維平面DOA估計(jì)去模糊算法在二維方向的估計(jì)精度隨信噪比的增加而相應(yīng)提高，且俯仰面的估計(jì)誤差要比方位面小，方位角最大誤差為22°，而俯仰角最大誤差僅為1.3°。因此在進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，俯仰角相對(duì)于方位角的估計(jì)精度更高，表現(xiàn)更加優(yōu)越。

圖6 方位面均方根誤差與信噪比的關(guān)系Figure 6. The relationship between root mean square error and signal-to-noise ratio in azimuth plane

圖7 俯仰面均方根誤差與信噪比的關(guān)系Figure 7. The relationship between root mean square error and signal-to-noise ratio in elevation plane

3.3 矩形介質(zhì)下參數(shù)的性能分析

在章節(jié)3.1的仿真條件下，針對(duì)矩形介質(zhì)下的平面DOA估計(jì)去模糊算法，考慮到相關(guān)參數(shù)高度h和折射率ne，進(jìn)一步分析參數(shù)對(duì)該算法性能的影響。通過(guò)改變高度和折射率來(lái)控制抑制度的表現(xiàn)，得到該算法下高度、折射率與抑制度的三維關(guān)系，如圖8所示。

圖8 矩形介質(zhì)下高度、折射率和抑制度三維關(guān)系圖Figure 8. Three-dimensional relationship diagram of height,refractive index and suppression under rectangular substrate

從圖8可知，在基于矩形介質(zhì)的二維平面DOA估計(jì)去模糊算法中，介質(zhì)的高度和折射率同時(shí) 于抑制模糊。在參數(shù)選取范圍下，圖中存在一道明顯的凹槽，此時(shí)該算法的效果最差，抑制度最小，無(wú)法抑制模糊假角。在凹槽以外的范圍中則存在3種情況：(1)當(dāng)高度范圍為0～0.5，此時(shí)無(wú)論折射率如何取值，該算法都能有效抑制假角；(2)當(dāng)折射率范圍為1～1.4，高度取任意大于1的值也能有效抑制假角；(3)當(dāng)高度在1.8～2.7，折射率在1.6～3的范圍內(nèi)，此時(shí)抑制度達(dá)到最大，模糊消除達(dá)到最佳效果。此外，由圖可知該方法下抑制度最大可達(dá)到17 dB左右。

3.4 基于介質(zhì)算法下的ISM幅相誤差校正

ISM算法無(wú)法被直接應(yīng)用在稀疏面陣的幅相誤差估計(jì)中。本文在章節(jié)3.1的平面陣列中加入7個(gè)校正陣元構(gòu)成新的陣列。ISM算法與介質(zhì)DOA估計(jì)算法相結(jié)合后得到的陣元幅相誤差情況如圖9所示。

(a)

從圖9可以看出ISM算法與介質(zhì)DOA算法進(jìn)行結(jié)合改進(jìn)后能準(zhǔn)確估計(jì)出相位誤差和幅度誤差值。圖10則說(shuō)明該算法的均方誤差隨著信噪比增大逐漸減小，即改進(jìn)的適合稀疏平面陣的算法估計(jì)效果良好。

圖10 幅相誤差估計(jì)算法均方根誤差與信噪比關(guān)系圖Figure 10. The relationship between the root mean square error and the signal-to-noise ratio in the amplitude-phase error estimation algorithm

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)ISM幅相誤差估計(jì)算法無(wú)法直接應(yīng)用在稀疏面陣中的問(wèn)題，本文將基于介質(zhì)的模糊抑制算法引入ISM算法中，保證了算法的成立條件。將基于介質(zhì)的稀疏線陣DOA估計(jì)算法推廣至面陣，并分析了矩形介質(zhì)抑制模糊的算法原理及矩形介質(zhì)相關(guān)參數(shù)折射率和高度對(duì)抑制度的影響。通過(guò)本文的方法可以獲取抑制度最大的參數(shù)。仿真結(jié)果表明該方法對(duì)模糊角度的最大抑制可達(dá)17 dB。然后，將ISM方法的陣列流行矢量替換為本文推導(dǎo)的流行矢量，獲得了良好的幅相誤差估計(jì)效果，表明該方法具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。