基于反步法的四旋翼無人機(jī)自適應(yīng)控制研究

沈昕格，金 海，郭 亮

(浙江理工大學(xué) 信息學(xué)院,浙江 杭州 310018)

近年來四旋翼無人機(jī)由于其具有機(jī)身質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)小、低損耗、易于操控以及可適合復(fù)雜飛行環(huán)境等優(yōu)勢，被廣泛運(yùn)用于低空巡航、農(nóng)作物滅火、地圖測繪、交通監(jiān)視、搜索營救等領(lǐng)域[1]。由于四旋翼飛行器是一個(gè)典型的多輸入多輸出、非線性、強(qiáng)耦合的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[2]，且對干擾比較敏感，因此控制難度較大，飛行控制統(tǒng)的設(shè)計(jì)也較為困難[3]。目前，四旋翼無人機(jī)的飛行控制已成為國內(nèi)外研究者重點(diǎn)研究的課題。線性控制中的PID(Proportion Integration Derivative)控制結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)易整定，對被控對象精確度要求不高，且可保證一定的魯棒性[4]。然而在外界干擾較多的情況下，該方法無法有效地使無人機(jī)保持穩(wěn)定[5]。LQR(Linear Quadratic Regulator)控制也屬于線性控制，可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制[6]，但是其控制效果會(huì)受到模型準(zhǔn)確度低的影響。

線性控制模型過于簡單，忽略了很多重要因素，導(dǎo)致實(shí)際飛行中控制效果并不理想，針對該問題研究人員提出一系列非線性控制方法[7]。滑?？刂颇軌?qū)崿F(xiàn)無人機(jī)穩(wěn)定跟蹤，但其忽略了不確定的影響[8]。傳統(tǒng)反步法控制可以處理大多數(shù)不確定因素的影響，但在實(shí)際應(yīng)用中，傳統(tǒng)反步法的抗干擾能力不足[9]。為解決上述問題，本文提出了基于反步法的自適應(yīng)控制系統(tǒng)。

1 四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)建模

為了建立四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型，本文做出以下假設(shè)：(1)飛行器為剛體的并且嚴(yán)格對稱，質(zhì)量不變；(2)重力加速度不隨飛行高度的變化而變化；(3)機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)位于機(jī)體幾何中心處；(4)飛行器的每個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力與旋翼的轉(zhuǎn)速成正比。

(1)

式中，b為升力系數(shù)；w為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；l表示旋翼中心到機(jī)體質(zhì)心的距離；d表示旋翼的阻力系數(shù)。

Md可以表示為

(2)

(3)

定義4個(gè)控制通道的控制輸入，則有

(4)

考慮到無人機(jī)的飛行結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，為設(shè)計(jì)控制器方便，忽略飛行過程中的陀螺效應(yīng)以及空氣阻力對四旋翼飛行器的影響，將無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行簡化[13]，得到

(5)

其中，Ix、Iy、Iz可以表示飛行器繞OXb、OYb、OZb軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；縮寫S(·)、C(·)和T(·)分別表示sin(·)、cos(·)和tan(·)。

2 反步法控制器設(shè)計(jì)

2.1 模型變換

四旋翼無人機(jī)模型含有4個(gè)控制輸入和6個(gè)狀態(tài)輸出，是一個(gè)強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)[14]。當(dāng)考慮加入執(zhí)行器的故障Di時(shí)，可將四旋翼動(dòng)力學(xué)方程式為

(6)

(7)

2.2 控制策略

根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型可知，四旋翼無人飛行器的控制系統(tǒng)分為姿態(tài)環(huán)和位置環(huán)[15]。設(shè)期望位置輸入為 (xd,yd,zd)，期望姿態(tài)輸入為 (φd,θd,ψd)。在位置環(huán)由期望位置輸入與無人機(jī)實(shí)際位置作差，設(shè)計(jì)出位置控制器U1、Ux和Uy[16]。進(jìn)入到姿態(tài)內(nèi)環(huán)后，由Ux和Uy反解得到期望的姿態(tài)角，最后將其與實(shí)際姿態(tài)角作差就可以得到控制器U2、U3和U4[17]?？刂平Y(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機(jī)控制結(jié)構(gòu)框圖Figure 1. Block diagram of the control structure of a quadrotor UAV

2.3 姿態(tài)控制回路控制器設(shè)計(jì)

滾轉(zhuǎn)角子系統(tǒng)可以表示為

(8)

設(shè)期望滾轉(zhuǎn)角φd=x1d，令滾轉(zhuǎn)角的跟蹤誤差為

e1=x1d-x1

(9)

對其求導(dǎo)可得

(10)

選取Lyapunov函數(shù)

(11)

對其求導(dǎo)可得

(12)

其中，α1為引入的虛擬控制量

(13)

e2為x2的誤差信號(hào)

e2=x2-α1

(14)

將式(13)代入式(12)得

(15)

由式(10)、式(13)和式(14)可得

(16)

(17)

為設(shè)計(jì)實(shí)際控制輸入U(xiǎn)2，取Lyapunov函數(shù)

(18)

對其求導(dǎo)并將式(13)和式(14)代入可得

(19)

(20)

則式(19)可寫為

(21)

由式(8)解得U2，并將式(16)和式(20)代入可得

(22)

(23)

對式(23)求導(dǎo)可得

(24)

(25)

則根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。所以得到式(26)。

(26)

同理，根據(jù)控制輸入U(xiǎn)2的設(shè)計(jì)過程，可以設(shè)計(jì)俯仰通道控制量U3和偏航通道控制量U4。

經(jīng)過推導(dǎo)可得

(27)

(28)

(29)

(30)

2.4 位置控制回路控制器設(shè)計(jì)

高度子系統(tǒng)為

(31)

設(shè)置高度值zd=x11d，令跟蹤誤差e11=x11d-x11。

選取Lyapunov函數(shù)

(32)

并令D4估計(jì)值的自適應(yīng)律為

(33)

則根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。所以得到

(34)

同理，可分別求得x和y通道的控制輸入U(xiǎn)x、Uy

(35)

(36)

2.5 滾轉(zhuǎn)角和俯仰角期望值的反解

由四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型可知，滾轉(zhuǎn)、俯仰通道和其水平控制通道有緊密聯(lián)系。進(jìn)而可以得到如下的等價(jià)關(guān)系

(37)

則由ψd=x5d，e5=x5d-x5和式(38)可反解得期望的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角

(38)

由控制量反解得到期望的姿態(tài)角后，就能將控制系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)和外環(huán)完整的連接起來[18-19]。

3 系統(tǒng)仿真分析

通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真來驗(yàn)證在外界干擾的情況下，所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的抗干擾能力。

仿真中，設(shè)期望偏航角ψd=0 rad時(shí)初始位置(x,y,z)=0 m，期望位置(xd,yd,zd)=(1,1,1) m，在t=10 s時(shí)加入外界干擾信號(hào)，仿真時(shí)間為T=40 s，模型參數(shù)如表1所示。

表1 無人機(jī)數(shù)學(xué)仿真模型參數(shù)

在自適應(yīng)反步法控制下的姿態(tài)角跟蹤曲線如圖2～圖4所示。

圖2 干擾下的俯仰角跟蹤曲線Figure 2. Pitch angle tracking curve under interference

圖3 干擾下的滾轉(zhuǎn)角跟蹤曲線Figure 3. Roll angle tracking curve under interference

圖4 干擾下的偏航角跟蹤曲線Figure 4. Yaw angle tracking curve under interference

由圖2～圖4的姿態(tài)跟蹤曲線可以看出，在10 s處加入干擾信號(hào)后，未加入抗干擾功能的姿態(tài)曲線迅速偏離軌道，并無法自我調(diào)節(jié)到期望角度。使用反步法自適應(yīng)控制器的無人機(jī)由于具有容錯(cuò)功能，在外界干擾情況下，翻滾和俯仰曲線能在15 s內(nèi)穩(wěn)定到原有的期望狀態(tài)(如圖2和圖3所示)，且不存在超調(diào)現(xiàn)象，此時(shí)偏航角的最大誤差僅為0.000 8，證明其具有良好的動(dòng)態(tài)特性和靜態(tài)特性。

在自適應(yīng)反步法控制下的無人機(jī)位置仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 干擾下的X軸跟蹤曲線Figure 5.X-axis tracking curve under interference

圖6 干擾下的Y軸跟蹤曲線Figure 6. Y-axis tracking curve under interference

圖7 干擾下的高度跟蹤曲線Figure 7. Height tracking curve under interference

由圖5～圖7的位置跟蹤曲線可以得出，位置跟蹤曲線在干擾信號(hào)的影響下，輸出響應(yīng)在一開始有輕微超調(diào)現(xiàn)象，但其能夠在7 s內(nèi)快速穩(wěn)定在1 m附近，靜態(tài)誤差較小，僅為0.000 7。相比之下，未加入抗干擾功能的位置曲線偏離期望位置，無法進(jìn)行位置調(diào)節(jié)。

4 結(jié)束語

為解決無人機(jī)在外界干擾下的穩(wěn)定性問題，本文運(yùn)用了反步法并結(jié)合自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)了基于反步法的自適應(yīng)控制器，并通過MATLAB-Simulink仿真證明該系統(tǒng)能夠解決四旋翼無人機(jī)在外界干擾情況下的位置和姿態(tài)穩(wěn)定性問題。該控制器能夠使無人機(jī)在干擾環(huán)境下迅速達(dá)到期望的位置和姿態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，并具有良好的靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性。然而，此方法在現(xiàn)階段暫未用在四旋翼無人機(jī)的穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)中，相關(guān)結(jié)果還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。