涉及導(dǎo)函數(shù)與分擔(dān)函數(shù)的全純函數(shù)正規(guī)定則

許會(huì)會(huì),葉亞盛

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

1 引言與結(jié)論

設(shè)D為復(fù)平面 C上的一個(gè)區(qū)域,f(z),g(z)為區(qū)域D上的兩個(gè)亞純函數(shù),若f(z)?a(z)與g(z)?b(z)在D內(nèi)有相同的零點(diǎn),則記為f(z)=a(z)?g(z)=b(z).文中所采用的Nevanlinna理論和正規(guī)族的基本概念與記號(hào)等同文獻(xiàn)[1-3].

文獻(xiàn)[4]證明了一些重要的Picard型定理,并在此基礎(chǔ)上提出了相應(yīng)的正規(guī)族猜想[5].自此圍繞著這些猜想,正規(guī)族的研究取得了很大的發(fā)展.

特別地,文獻(xiàn)[6]在分擔(dān)值的條件下,證明了如下定理:

定理 1.1設(shè)F為區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,k∈N+,b∈C,b0,h為有窮正數(shù).如果對(duì)于任意f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)≥k,且滿(mǎn)足:

(2)對(duì)任意f的零點(diǎn),0<|f(k+1)(z)|

那么F在區(qū)域D上正規(guī).這里f(a)={z∈D:f(z)=a}.

作者在文獻(xiàn)[6]中給出了反例說(shuō)明當(dāng)k=2時(shí),定理中的條件(2)是不能省略的.本文在k2條件下,將定理1.1推廣為分擔(dān)亞純函數(shù)的情形,提出一類(lèi)全純函數(shù)的正規(guī)定則,略去了定理1.1中條件(2)的上界條件.

定理1.2設(shè)F是區(qū)域D內(nèi)的全純函數(shù)族,k(2)為正整數(shù),a(z)為D內(nèi)極點(diǎn)均為重級(jí)的亞純函數(shù).若?f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)均≥k,其判別零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多為t,且滿(mǎn)足

(1)f(z)=0?f(k)(z)=a(z)?|f(k+1)(z)?a′(z)|>0;

(2)f(z)與a(z)不同時(shí)為零,

那么F在區(qū)域D上正規(guī).

例1.1設(shè),則

但F在z=0處不正規(guī).例1.1說(shuō)明了極點(diǎn)重?cái)?shù)大于1的條件是必須的.

本文主要參考文獻(xiàn)[7-13]的證明方法對(duì)定理 1.2進(jìn)行證明.不失一般性下文中設(shè)D=Δ,z0=0.

2 幾個(gè)引理

3 定理證明

證明這里只證明F在a(z)的零點(diǎn)處或重?cái)?shù)>k的極點(diǎn)處的正規(guī)性(重?cái)?shù)≤k的極點(diǎn)處的正規(guī)性的證明采用了文獻(xiàn)[7]的證明方法,過(guò)程與引理2.2類(lèi)似,故這里不再贅述).不妨設(shè)z=0為a(z)的零點(diǎn)或重?cái)?shù)>k的極點(diǎn).

情形1:若a(0)=0,不妨設(shè)