半環(huán)的范德瓦爾登問題

茍旭,邵勇

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言及預(yù)備知識

環(huán)是否可以嵌入到域的問題,一經(jīng)提出就引起了不少學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)[1]構(gòu)造了整環(huán)的分式域,并證明任意整環(huán)都可嵌入其分式域.文獻(xiàn)[2]提出無零因子非交換環(huán)是否可以嵌入到Skew域中的問題,將上述問題稱為范德瓦爾登問題.文獻(xiàn)[3]證明了正則環(huán)可以嵌入到Skew域,一定程度上解答了范德瓦爾登問題.

不難發(fā)現(xiàn),整環(huán)的非零元在乘法下構(gòu)成交換半群,而域的非零元在乘法下構(gòu)成阿貝爾群.既然整環(huán)可以嵌入其分式域,那么整環(huán)的非零元在乘法下構(gòu)成的交換半群可嵌入其分式域的非零元在乘法下構(gòu)成的群.隨著半群代數(shù)理論的不斷發(fā)展,半群的嵌入問題也引起了學(xué)者們的關(guān)注.一般而言,交換半群可以構(gòu)造其對應(yīng)的格羅滕迪克群(Grothendieck group)[4].進(jìn)而,可以證明可消交換半群可以嵌入其格羅滕迪克群.文獻(xiàn)[5]給出了拓?fù)浒肴呵度刖o拓?fù)淙旱目坍?文獻(xiàn)[6]給出了局部半群嵌入群的充分條件.

作為環(huán)的推廣,半環(huán)是分配律聯(lián)系著的同一非空集合上的兩個(gè)半群.半環(huán)的具體定義如下:

定義 1.1設(shè)(S,+,·)是 (2,2)-型代數(shù).若滿足下列條件:

(1)(S,+)是交換半群;

(2)(S,·) 是半群;

(3)左右分配律成立,即 (?a,b,c∈S)a·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c·a,則稱 (S,+,·)是半環(huán)[7],簡記 S.若 (S,·)是交換半群,則稱 S是交換半環(huán).若 S滿足(?a,b,c∈S)a+b=a+c?b=c,則稱S是加法可消的.容易驗(yàn)證,有限的加法可消半環(huán)是環(huán).

半環(huán)的嵌入問題同樣吸引了不少學(xué)者關(guān)注.文獻(xiàn)[8]證明了含幺含零加法可消半環(huán)可嵌入環(huán).然而,正整數(shù)在通常數(shù)的加法和乘法下構(gòu)成半環(huán)(不含零元),并且可以嵌入整數(shù)環(huán)中.這表明某些不含零元的半環(huán)也可以嵌入環(huán)中.本文將給出半環(huán)的格羅滕迪克環(huán)的構(gòu)造方法,并證明加法可消半環(huán)可嵌入其格羅滕迪克環(huán).進(jìn)一步揭示了半環(huán)上的同余和其格羅滕迪克環(huán)的理想之間的關(guān)系.

定義 1.2設(shè)S是半環(huán).在卡氏積 S×S上定義運(yùn)算如下:

(a,b)?(c,d)=(ac+bd,ad+bc).

稱?為 S×S上的扭積[9].

設(shè)(S,+)是交換半群,在S×S上定義關(guān)系～如下:

容易驗(yàn)證,～是 S×S上的等價(jià)關(guān)系.

對任意的(a,b),(c,d),(e,f)∈S×S,若 (a,b)～(c,d),則存在u∈S使得

a+d+u=b+c+u.

上式兩邊加上e+f有a+d+u+e+f=b+c+u+e+f.由 (S,+)是交換的可得(a+e)+(d+f)+u=(b+f)+(c+e)+u,即(a+e,b+f)～(c+e,d+f).于是,(a,b)+(e,f)～(c,d)+(e,f).從而,～是直積 S×S上的同余.則(S×S/～,+)是交換半群.記(a,b)所在的～類為

2 半群觀點(diǎn)下的整環(huán)的分式域

整環(huán)的分式域理論是代數(shù)理論的重要部分,是構(gòu)造域的重要方法.本節(jié)將從半群角度解釋整環(huán)的分式域過程.

設(shè) R是整環(huán),記R?=R{0},其中0是R的零元.在R×R?上定義

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),(a,b)·(c,d)=(ac,bd),

易知(R×R?,+),(R×R?,·)均是交換幺半群.

在 R×R?上定義 ～關(guān)系 (a,b)～(c,d)??ad=bc.由文獻(xiàn) [10]可知 ～是R×R?上的等價(jià)關(guān)系.

下證 ～ 是 (R×R?,+)和 (R×R?,·)上的同余.

對任意的(a,b),(c,d),(e,f)∈R×R?,若(a,b)～(c,d),則ad=bc.上式左右同乘ff有adff=bcff.進(jìn)一步有adff+bdef=bcff+bdef,即

(af+be)df=(cf+de)bf.

這樣(af+be,bf)～(cf+de,df),即(a,b)+(e,f)～(c,d)+(e,f).從而,～是(R×R?,+)上的同余.

同理,ad=bc左右同乘ef有adef=bcef,故(ae,bf)～(ce,df),即

由文獻(xiàn)[10]可知,(R×R?/～,+,·)中+對·分配律成立.所以 (R×R?/～,+,·)是域.

3 主要結(jié)果

本節(jié)將證明任意加法可消半環(huán)可嵌入其格羅滕迪克環(huán)中.

設(shè)S是半環(huán).在S×S上定義+,?如下:

(1)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);

(2)(a,b)?(c,d)=(ac+bd,ad+bc).

由文獻(xiàn)[8]可知,(S×S,+,?)是半環(huán).

在S×S上定義關(guān)系～如下:

(a,b)～ (c,d)?(?u∈S)a+d+u=b+c+u.

由(1)式可知,～是(S×S,+)上的同余.

下證 ～ 是 (S×S,?)上的同余.設(shè)(a,b),(c,d),(e,f)∈S×S,若 (a,b)～(c,d),則

存在u∈S使得

(2)式兩邊右乘e

(2)式兩邊右乘f

(3)式和(4)式相加可得

于是,(ae+bf,af+be)～ (ce+df,cf+de).既然 (a,b)?(e,f)=(ae+bf,af+be),(c,d)?(e,f)=(ce+df,cf+de),從而,(a,b)?(e,f)～ (c,d)?(e,f).這表明 ～ 是 (S×S,?)的右同余.同理可證,～是(S×S,?)上的左同余.所以 ～是(S×S,?)上的同余.因此,～是 (S×S,+,?)上的同余.記(a,b)所在的 ～類為