想象的分類及培養(yǎng)

摘要：從空間想象到直觀想象，不是表述形式上的改寫，而是本質(zhì)內(nèi)涵上的突破。除了空間想象以外，還有時間想象和因果想象，尤其是因果想象為人類所獨有，是人類靈性的主要體現(xiàn)。人類是因為想象而好奇，而不是因為好奇而想象。想象主要發(fā)生在潛意識里，有了對它的全面認(rèn)識和分類，才能從感覺、表象、概念、信念等入手進(jìn)行想象的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：想象;直觀想象;空間想象;時間想象;因果想象

想象是最自由的思考。它可以超越空間、超越時間、超越邏輯，因而也決定了它具有突然性、跳躍性和突破性，成為創(chuàng)造力的源頭。在強(qiáng)調(diào)全民創(chuàng)新和建設(shè)創(chuàng)造型國家的當(dāng)下，想象力培養(yǎng)顯得尤其重要。

但是，想象發(fā)生在潛意識里，我們說不清它是怎樣發(fā)生的，更說不清怎樣去促進(jìn)它，這又給想象的研究帶來了困難，也影響了教學(xué)中對想象的培養(yǎng)。在現(xiàn)行的基礎(chǔ)教育學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)中，只有高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確地把“直觀想象”列為學(xué)科核心素養(yǎng)之一（但對它的界定遠(yuǎn)不如其他學(xué)科核心素養(yǎng)那么清晰）。從教學(xué)大綱中的“空間想象”到課程標(biāo)準(zhǔn)中的“直觀想象”，具體產(chǎn)生了哪些變化，是形式上的還是本質(zhì)上的？ 這是我們必須面對的問題。

一、概念辨析：從“空間想象”到“直觀想象”

《中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷）》對“想象”給出這樣的定義：想象是對頭腦中已有的表象進(jìn)行加工、改造和創(chuàng)新的思維過程。 簡單地說，就是從已有表象創(chuàng)造出新表象的一種思維?！跋胂蟆奔仁莿釉~，也是名詞。

（一）空間想象

教育心理學(xué)家大衛(wèi)·洛曼說：空“間想象能力是一種形成、保持、恢復(fù)和傳輸結(jié)果良好的視覺圖像的能力。換句話說，就是人們想象物體在空間中如何變化的能力?！边@個定義的指向性非常明顯，就是圖形和圖形的運(yùn)動。

《中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷）》則說：“空間想象能力是空間知覺、空間觀念和想象力的一種獨特的結(jié)合，是對空間表象進(jìn)行加工、改造、創(chuàng)新的能力。”顯然，它把“空間”作為限定詞，用以排除與“空間”無關(guān)的想象。

眾所周知，數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)想象就應(yīng)當(dāng)不僅有“空間想象”，還有“數(shù)量想象”。在實際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們對大數(shù)的想象、對倍數(shù)和余數(shù)的想象、對正比例和反比例關(guān)系的想象等，也是習(xí)以為常的。還有，著名的哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想、梅森素數(shù)猜想、黎曼猜想等，無不是對數(shù)的想象。即便是小學(xué)生做一道演算題，列式之前也要先在頭腦里有對大致的流程以及結(jié)果類型的想象。

更一般地，在空間想象以外，是不是還有其他類型的想象？ 我們還缺乏考慮，如此就不可能清晰地辨別“空間想象”與“直觀想象”。

（二）直觀想象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》對“直觀想象”的定義及說明是這樣的：直“觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路?！边@里的“利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題”構(gòu)“建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路”等，?都超出了“空間想象”的范圍。而且，“直觀” 不是限定詞而是強(qiáng)調(diào)詞，強(qiáng)調(diào)了“想象”的固有屬性。一方面，想象操作的是表象，形成的還是表象，而表象本身是直觀的;另一方面， 想象是人腦的一種思維形式，偏好直觀又是人腦的一個自然屬性。這就決定了想象的直觀屬性：世上并無“非直觀”的想象，“直觀想象”就是“想象”本身。因而，這個定義帶來的是根本性認(rèn)識，是對想象的正本清源。

綱領(lǐng)性文獻(xiàn)中如此大的理論突破，本應(yīng)在學(xué)術(shù)界引起反響，掀起研究熱潮。然而，筆者近期在知網(wǎng)檢索發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“直觀想象”的文章只有601 篇，與“數(shù)據(jù)分析”的39602 篇、“數(shù)學(xué)建模”的35610 篇相差甚遠(yuǎn)。而這601 篇文章的觀點又非常集中而單一，就是把“直觀想象”狹隘地理解為“幾何直觀”，甚至更狹隘地理解為“數(shù)形結(jié)合”。

（三）對想象的誤解

我們生活在空間內(nèi)，但頭腦中絕不僅有空間想象。只是因為我們對空間（能看見）最為熟悉，因而把很多的想象都?xì)w為空間想象。這是很大的誤解。比如，音樂人對旋律的想象，作家對故事情節(jié)的想象，情侶對未來生活的想象，史學(xué)家對過往大事的想象，程序員對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的想象，平常人對他人情感的想象， 政治家對人類命運(yùn)的想象，等等，都不是空間想象。

任何一門學(xué)科的前沿———如果有前沿的話———都有想象物的存在。牛頓想象了萬有引力以及平方反比律，很久之后，卡文迪許才用實驗確定了它。愛因斯坦想象了引力波的存在，百年后的科學(xué)家才觀測到它?？茖W(xué)家想象了暗物質(zhì)作為宇宙膨脹的原因，繼而又想象了暗能量作為超速膨脹的原因。雖然現(xiàn)在人們還沒有觀測到它們的任何蛛絲馬跡，?但科學(xué)界傾向于相信它們的存在，而這一切仍然是想象。

關(guān)于宇宙膨脹的想象是空間想象，但關(guān)于膨脹原因的想象卻不是;關(guān)于行星運(yùn)動軌跡的想象屬于空間想象，但關(guān)于其運(yùn)動原因的想象卻不是…… 有很多想象不屬于空間想象，其重要性卻絲毫不遜于它，甚至猶有過之?？茖W(xué)史一再表明，揭示現(xiàn)象背后的原因比記錄現(xiàn)象更重要，因為前者的認(rèn)識更深刻、前景更廣闊。

二、想象的分類

是時候?qū)ο胂筮M(jìn)行全面的梳理和分類了，因為所有的理論研究都是從分類開始的。比如，物理學(xué)對力的分類，化學(xué)對元素的分類，生物學(xué)對于動植物的分類，宇宙學(xué)對恒星的分類，等等。沒有分類就不可能建立起一套科學(xué)的理論，成功的分類則標(biāo)志學(xué)科的形成。

（一）從古典分類說起

心理學(xué)對于想象的分類有兩種：一種是有意想象和無意想象，另一種是再造想象和創(chuàng)造想象。這兩種分類從誕生起一直沿用到現(xiàn)在，都很“古典”，也可以說都很“原始”。它們的一個共同點是，都沒有把“空間想象”作為獨立的子項，在利用它們來看待空間想象時，也只能得到“有意空間想象”和“無意空間想象”，或者“再造空間想象”和“創(chuàng)造空間想象”，而這些并沒有帶來對空間想象的哪怕稍微深刻一點的認(rèn)識。事實上，我們可以把任何一種心理活動都分為“有意的”和“無意的”，比如“有意記憶”和“無意記憶”、“有意關(guān)心”和“無意關(guān)心”、“有意好奇”和“無意好奇”;還可以把任何一種思維分為“再現(xiàn)的”和“創(chuàng)造的”，比如“再現(xiàn)聯(lián)想”和“創(chuàng)造聯(lián)想”、“再現(xiàn)歸納”和“創(chuàng)造歸納”、“再現(xiàn)概括”和“創(chuàng)造概括”———這些分類當(dāng)初都曾被提出過，后來都被淘汰了。對想象的原始分類能沿用至今，算是少有的例外。由此可見對于想象研究的滯后，實踐中的種種不解也就找到根源了。

既然空間想象一直被認(rèn)為是想象的主體類型，對想象的分類就應(yīng)該把它作為一個子項，在它之外再劃分出幾個旗鼓相當(dāng)?shù)淖禹棧?共同建立起一個知識結(jié)構(gòu)。對于這一點，思維的分類就是成功的范例。

很早之前，人們把思維分成“邏輯思維” 和“直覺思維”，在這樣的分類下分別研究它們的特點、原則、機(jī)制、發(fā)生發(fā)展以及相互間的聯(lián)系等諸多問題。時至今日，思維科學(xué)的發(fā)展可謂枝繁葉茂、學(xué)科成群。比如，數(shù)理邏輯、形式邏輯等直接提供了計算機(jī)科學(xué)的底層支撐。當(dāng)然，計算機(jī)目前還不具有人腦那樣的想象功能，而其推理功能則遠(yuǎn)勝于人腦。

不過，真的要對想象進(jìn)行分類，而且把“空間想象”預(yù)設(shè)為一個子項，就會發(fā)現(xiàn)這個工作并不好做。不說別的，單說找到一個能與“空間”相提并論的名詞都不容易。為此， 讓我們轉(zhuǎn)向哲學(xué)，去尋求深層智慧的啟迪。

康德認(rèn)為，人類認(rèn)識世界，本質(zhì)上是認(rèn)識三種結(jié)構(gòu)，即空間結(jié)構(gòu)、時間結(jié)構(gòu)和因果結(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派則認(rèn)為，數(shù)學(xué)無非是對三種結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)。而康德對數(shù)學(xué)的一個解釋是“幾何是空間的藝術(shù)，算術(shù)是時間的藝術(shù)”，他的另外一句話說得更為顯明：“自然數(shù)是從時間的直覺推演出來的。”

再回到當(dāng)今人類的哲學(xué)思考。人們認(rèn)為宇宙的自然本質(zhì)是時空結(jié)構(gòu)，人類的加入又產(chǎn)生了對因果關(guān)系的認(rèn)識。如此一來，不揣冒昧地，我們可以順著康德的說法，續(xù)寫成如下三句話：幾何是空間的藝術(shù)，算術(shù)是時間的藝術(shù)，邏輯是因果的藝術(shù)。

再一次綜合起來，就發(fā)現(xiàn)了布爾巴基的數(shù)學(xué)觀、康德的世界觀和一般認(rèn)識論得到了完美的統(tǒng)一，即拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對應(yīng)空間結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)對應(yīng)時間結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)對應(yīng)因果結(jié)構(gòu)。有了這樣的哲學(xué)基礎(chǔ)，我們就可以嘗試著對想象進(jìn)行新的分類了。

（二）對新分類的解讀

我們可以把想象分為三類：空間想象、時間想象、因果想象（其思維導(dǎo)圖如圖1所示）。相應(yīng)的定義就是：空間想象（時間想象、因果想象）， 是人對頭腦中對已有的空間表象（時間表象、因果表象）進(jìn)行加工、改造和創(chuàng)新的認(rèn)知活動，同時也指由此產(chǎn)生的認(rèn)知結(jié)果。

這個定義中保留了“空間想象”，并完全保留其原有的內(nèi)涵與外延。另兩個子項“時間想象”和“因果想象”在表述形式上與“空間想象”完全一致，彼此不交叉，而且看起來能涵蓋所有的想象（是否真的如此有待進(jìn)一步論證）。這就給想象建立了一個內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而且原本的空間想象也因此更顯清晰。

英國哲學(xué)家大衛(wèi)·休謨曾經(jīng)把聯(lián)想簡化為三條基本原則，即相似性、時空相接和因果關(guān)系。心理學(xué)家兼經(jīng)濟(jì)學(xué)家、諾貝爾獎得主丹尼爾·卡尼曼評價說：“自休謨以后，我們對聯(lián)想的定義發(fā)生了很大的變化，但他的三原則仍可以作為定義所有聯(lián)想的基礎(chǔ)?！彪m然休謨和卡尼曼所談的是聯(lián)想而不是想象， 但考慮到“聯(lián)想”與“想象”都是虛擬認(rèn)知，相通之處甚多，可以由此獲得一個旁證或參考。

時間想象，包括對時間延續(xù)性的想象和對兩個時間點間隔的想象，這與對物體的空間廣延性和兩個物體的距離的想象類似。對于眼睛可見的空間廣延性或空間距離，我們可以通過測量的方法去認(rèn)識。而對于眼睛不可見的空間廣延性或空間距離，認(rèn)識它就是靠想象（空間想象）。對時間的認(rèn)識完全類似：有限的、眼前的時間，我們通過身體感官來認(rèn)識它;對于超出感觀范圍的時間，靠的就是想象（時間想象）。

人類是世界上唯一有規(guī)劃和計劃能力的動物，所有的規(guī)劃和計劃都離不開時間想象。離開了時間想象，人類甚至連基本的回憶都做不到。我們只能記住時間上的關(guān)鍵節(jié)點， 回憶時必須靠想象來補(bǔ)全過程和細(xì)節(jié)，這才使時間成為一個連續(xù)統(tǒng)。牛頓認(rèn)為時間均勻流淌，愛因斯坦突破這種均勻性：當(dāng)初都是想象！

因果想象，則貫穿于推理的全過程。我們往往認(rèn)為推理是靠邏輯展開的，這是個誤解。要證明兩個三角形全等，常見的做法是想象和嘗試：“是不是這兩邊相等？ 如果這兩邊相等，就會…… 這兩個角相等嗎？ 我需要……” 推理是靠想象推進(jìn)的，邏輯只是用來在多種想象中選擇“合理”的那個（些）。這些想象中，甚至包含對邏輯進(jìn)行想象。比如，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在證明費馬大定理時，先有這樣的因果想象：應(yīng)“該可以用橢圓模函數(shù)去證明，如果志村谷山猜想是成立的……” 這個邏輯路徑本來是沒有的，也不是立即就能實現(xiàn)的，這是他頭腦想象的產(chǎn)物。有了這個想象后，他又用8年的時間實現(xiàn)了它。若無想象，他的證明工作便無從開始，因為如此多的步驟不可能依靠偶然性對接起來。

大致看來，哥白尼的日心說極富空間想象，達(dá)爾文的進(jìn)化論極富因果想象，牛頓和愛因斯坦的時空觀則富有全面的想象。表1給出了較為簡明的數(shù)學(xué)或科學(xué)實例。相對來說，因果想象是最不容易被察覺的（人類對空間和時間的認(rèn)識遠(yuǎn)早于對因果的認(rèn)識）， 它對于現(xiàn)代人類和現(xiàn)代社會也尤為重要。從古老信仰中的因果輪回學(xué)說，到現(xiàn)今科學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)，人們對因果關(guān)系的想象始終充滿熱情甚至迷戀。如果想象中的某種關(guān)系被證明（驗證）了，就會獲得精神上的極大滿足。也可以說，原始的以及現(xiàn)代的科學(xué)都是為了建立或解釋因果關(guān)系。如果把想象局限于“空間”而排除“因果”，在描述人們的精神活動和精神享受上就捉襟見肘了。

還有一個對于整個人類有重大意義的例子，那就是種植業(yè)和養(yǎng)殖業(yè)的出現(xiàn)。種植業(yè)和養(yǎng)殖業(yè)產(chǎn)生的前提，是對“遞推”的認(rèn)知。人們必須知道，麥粒播下去能結(jié)出新的麥粒， 新的麥粒還可以再進(jìn)行播種并結(jié)出更多的麥?！?小豬長大了會再生小豬，新一代小豬還會長大并生出更新的一代…… 如果沒有這種連續(xù)的想象（遞推）， 就不可能有播種的行為，因為，種子是“在眼前”的，而收獲卻是“遙遠(yuǎn)的將來”。只能說，對遠(yuǎn)景的想象給人以動力。人類發(fā)展出種植業(yè)和養(yǎng)殖業(yè)，只能是在有了時間想象和因果想象以后，之前就只能采集和狩獵。

如果沒有對空間的想象，人類就不會去制作弓箭;如果沒有對時間的想象，人類就不會做教育（百年才能樹人）; 如果沒有對因果的想象，社會的倫理規(guī)范、宗教信仰、法律條文將不會具有約束作用。倫理和法律的約束都基于一個前提：人能夠預(yù)見自己行為所產(chǎn)生的后果，即法人是有行為能力的。

人類的好奇心主要源于因果想象，人是因為想象而好奇，而不是因為好奇而想象。因果想象里還包含著人類情感上的愿望及滿足，如果沒有想象，人類就將只有反應(yīng)而沒有期待，只有恐懼而沒有憂慮，只有興奮而沒有憧憬。

當(dāng)然，人腦是非常復(fù)雜的，而自由的想象更為復(fù)雜，因而某次想象更可能是多個種類的協(xié)作。比如，想象一個四邊形，僅需空間想象;但是，想象一個四邊形的折疊和展開，或者想象它在空間中的運(yùn)動，乃至想象它被一個平面所截，就還需要時間想象和因果想象。總而言之，空間想象通向廣闊，時間想象通向悠遠(yuǎn)，因果想象通向深刻。前兩者讓我們回答“是什么”，后者讓我們回答“從哪里來，到哪里去”。

三、想象的培養(yǎng)

（一）理論支撐

關(guān)于意識或認(rèn)識的分類，古典的做法如圖2所示，從前（感覺）到后（信念）的順序上，認(rèn)識越來越清晰化、形式化，也可以說越來越高級。其中，感覺和信念是人腦和外界溝通的橋梁;表象和概念是人腦內(nèi)部建構(gòu)的產(chǎn)物。人類靠感覺從外界獲取信息（感覺）， 經(jīng)過頭腦內(nèi)神秘的加工過程，形成表象、概念直至信念，又通過信念作用于外界。感覺來自人的身體器官，依賴于人的生物性;信念來自人的頭腦，體現(xiàn)人的靈性。信念已歸入元認(rèn)知，有跡象表明，它控制著人腦的內(nèi)部運(yùn)作。

但并不是說，所有的感覺都比表象和概念低級和簡陋。人類的認(rèn)識不是一次性完成的，而是階段性進(jìn)化、螺旋式上升的（如圖3 所示）。上一層級內(nèi)的感覺與下一層級內(nèi)的信念銜接在一起，有時候很難區(qū)分，但上一層級內(nèi)的感覺比下一層級內(nèi)的表象和概念都更高級。

比如，數(shù)學(xué)家在研究平面幾何中的曲線時，定義曲線是“點的集合”。不過，曲線之所以是曲線，源于整個曲線的模式，而不是構(gòu)成這條曲線的點。曲線里不光有點，更重要的是有結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，你能告訴學(xué)生有哪些點， 卻很難告訴他們有哪些結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)性的東西最好讓學(xué)生自己去感覺。至于整體性，可以肯定地說，我們無法看見一個事物的整體，只能看見它的一部分。如一個長方體，我們最多能看見三個面，其余部分靠感覺和想象獲得認(rèn)識。

如果把想象比喻為一只鳥，則感覺是腿， 提供了起飛的動力;表象是翅膀，保證它能飛起來;信念是天花板，提供了飛行的方向并限制飛行的高度;而概念則不能直接被想象操控，它為想象所用的前提是轉(zhuǎn)化為表象（類似于所謂的“概念意向”）。而當(dāng)概念轉(zhuǎn)化為更高級的表象以后，對想象的幫助又是巨大的。

（二）具體路徑

混沌的感覺只能帶來情緒和疑惑，清晰的概念只能帶來辨識和推理，固化的信念只能帶來立場和態(tài)度，它們都帶不來想象。培養(yǎng)想象，就是要把它們都轉(zhuǎn)化為表象，再把表象本身提升為更高級的表象。怎樣做到這些呢？ 直觀化。更具體一點說，就是感覺的清晰化、表象的聯(lián)系化、概念的直覺化、信念的具體化（如圖4）。

1. 加強(qiáng)感受，促使感覺清晰化

對同樣的外部刺激，不同的人有不同的感覺。感受力越強(qiáng)，感覺就越豐富、越準(zhǔn)確， 也就越能激發(fā)起想象。雖然說想象是自由的，但想象不可能超越自己的頭腦，一個人的過往經(jīng)驗決定了他的想象。提高感覺清晰度的方法，就是增加感受并在此過程中提高感受力，要讓身體官能與認(rèn)知對象充分接觸、交流，得到鮮活的刺激，刺激大腦里的知識加工。人有很多的緘默知識無法用語言傳遞， 除了感受之外別無他路。心理學(xué)界最近發(fā)展出“具身認(rèn)知理論”，強(qiáng)調(diào)的就是“人的身體感受對意識形成的決定性作用”。

比如，對于正四棱錐的“正”，如果你記住了它的定義“底面是正方形，頂點在底面的射影是這個正方形的中心”，而頭腦里沒有清晰的圖形（如圖5所示）， 則一定不會有直接的感受。而只有感受了正四棱錐的“正”，才能建立起它的實在性。物體的實在性來自感受，意義的實在性也來自感受，它們都不能由文字帶來。

為此，教學(xué)中我讓學(xué)生做了這樣五件事：（1）畫一個正四棱錐，注意確保畫的真是正四棱錐;（2）說一下其中各個面的形狀;（3）“ 繞著這個幾何體走一圈，仔細(xì)看看每個面”;（4）“ 拿著這個幾何體在眼前翻轉(zhuǎn)一下”，想象它在各種位置時的模樣;（5）描述一下什么樣的四棱錐不是正四棱錐，并畫出它的圖形。

學(xué)生琢磨出了圖6所示的正四棱錐的作圖步驟，這里“多畫”的那條高就支撐起了后續(xù)的各種想象，而它本身也是想象的結(jié)果（根據(jù)定義是沒有這條高的）。其后，學(xué)生通過想象正四棱錐在各種位置時的模樣（如圖7所示）， 得出結(jié)論：底面不是正方形或者頂點在底面的射影不是底面中心的四棱錐不是正四棱錐。

2. 聯(lián)系和泛化，提升表象的層級

一般地，表象越是局限于具體對象，越不容易展開想象;越是泛化到更大的類別，越容易引發(fā)想象。因此，變換角度和形式，建立廣泛的外部聯(lián)系，都是提高表象的抽象度、增強(qiáng)其涵蓋力的途徑。

比如，我們腳下的土地，可以有多種表述：眼前的一塊空地、遼闊的大地、地球、太陽系中的一個星球、銀河系中的一塊小石頭、宇宙中的一粒微塵……“ 空地”所激起的想象小于“大地”，“大地”所激起的想象小于“地球”;太陽系則能激起更大的想象，但又比不上銀河系…… 用宇宙做背景和用“腳邊的空地”做背景，可以想象出截然不同的世界?？梢?，當(dāng)把一個物體放在更大的背景中去想象的時候，那個“背景”本身就成了可以操控的表象，而得到大幅的提升。潛意識分不清它所操控的究竟是什么，兩者都可以打開可能的聯(lián)結(jié)。

再如，當(dāng)你把“3”當(dāng)作“一個數(shù)”一“個整數(shù)”““6是一個完全一個素數(shù)”6的一個因子（數(shù)）時，”分別會引發(fā)出關(guān)于整數(shù)的想象、關(guān)于素數(shù)的想象以及關(guān)于完全數(shù)的想象。與上述“大地”的不同點在于，此處的“數(shù)—整數(shù)—素數(shù)—完全數(shù)”越來越具體化，但這并不與先前的結(jié)論相矛盾。因為，雖然作為“數(shù)”它越來越具體，但是“數(shù)的性質(zhì)”是越來越抽象的。概念的內(nèi)涵和外延是反向擴(kuò)展的：內(nèi)涵越大， 外延越小;內(nèi)涵越小，外延越大。潛意識分不清內(nèi)涵和外延，在混沌的思維狀態(tài)下，所有的聯(lián)結(jié)都可能被呈現(xiàn)出來。

潛意識不能進(jìn)行邏輯推理，表象的變化和升級可以把其中的邏輯隱去，外在表現(xiàn)就是想象的提升。

3. 多樣表征，促進(jìn)對概念的直覺

把概念轉(zhuǎn)化為表象的路徑看似有兩條： 一是退化為同級或更低一級的表象，二是升級為更高一級的表象。而實際上，人類的認(rèn)識有一個奇特的性質(zhì)叫“棘輪效應(yīng)”。棘輪是汽車上一種“只能進(jìn)，不能退”的裝置?！凹喰?yīng)”最初是經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出的人的消費觀，類似于“由儉入奢易，由奢入簡難”。借用于生物進(jìn)化領(lǐng)域，指的是生物只會向前進(jìn)化，不會向后倒退（如水生動物登陸后長出肺，即使重返海洋，也不會淘汰自我長出腮來）; 人的認(rèn)識只能進(jìn)，不能退（有了新的認(rèn)識后，不會退回到只有原有認(rèn)識的狀態(tài)）。這樣一來，把概念用于想象就只剩下一條途徑，那就是提升為更高一級的表象。

比如，函數(shù)的運(yùn)動式定義被認(rèn)為是容易理解的，因為它切合于人的生活經(jīng)驗，顯得很具體;函數(shù)的集合與對應(yīng)式的定義被認(rèn)為是不容易理解的，因為它遠(yuǎn)離人的生活經(jīng)驗，顯得很抽象。但是，當(dāng)我們遇到常函數(shù)、狄利克雷函數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)集合與對應(yīng)的觀點更自然。集合與對應(yīng)觀點下的函數(shù)，有更強(qiáng)的概括性和包容性，函數(shù)的有些性質(zhì)只有在這一觀點下才能被直覺所駕馭：利用運(yùn)動觀點下的函數(shù)定義，連理解復(fù)合函數(shù)的概念都是困難的;而集合與對應(yīng)觀點下，即便進(jìn)行多重復(fù)合，也都可以被直觀化（如圖8所示）， 因而比較容易對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及值域等進(jìn)行想象。

類似地，還有“數(shù)列”的概念。如果把數(shù)列理解為“按一定次序排列的一列數(shù)”， 那就只有可見的“數(shù)的排列”，不易引起更多的想象。而如果理解為“數(shù)列是一個特殊的函數(shù)”，則函數(shù)的諸多性質(zhì)以及研究函數(shù)的方法立即可以被用到數(shù)列上，很容易展開關(guān)于數(shù)列的單調(diào)性、周期性、最值等的想象，也很容易由各種函數(shù)圖像想象出數(shù)列的圖像。

4. 重塑元認(rèn)知，關(guān)注信念的兩面性

要讓顯意識參與想象，信念可能是唯一的通道，即便是前文所說的對感覺、表象以及概念的改造，也都是通過信念而起作用的。

信念不是知識，而是底層的元認(rèn)知。我們說某人具有某一信念，不是指他知道這個信念，而是指他在這個信念下行事。信念導(dǎo)引著想象的方向，也限制著想象所能達(dá)到的高度和廣度。

比如，達(dá)爾文在創(chuàng)立了進(jìn)化論后，也試圖尋找生命遺傳的科學(xué)規(guī)律，他認(rèn)真地做了11 年的實驗。與孟德爾一樣，他也選擇了花的顏色作為觀察對象，可是他沒有發(fā)現(xiàn)任何一條孟德爾發(fā)現(xiàn)的遺傳律。因為他原本相信“融合律”（比如，紫花與白花雜交，將融合成中間狀態(tài)的紅花或粉紅花）， 這個信念決定他不可能想象到顆粒狀的基因，甚至讓他對雜交二代中紫花和白花的再度分離視而不見。信念對想象的控制力之強(qiáng)，可見一斑。

類似的例子還有很多。信奉地心說的人不可能想象地球繞著太陽轉(zhuǎn)，信奉燃素說的人不可能想象隔絕空氣也能滅火，信奉女媧造人的不可能想象猿猴到人的演化過程…… 信念對想象的導(dǎo)引作用有多強(qiáng)，限制作用就有多強(qiáng)（限制又何嘗不是一種導(dǎo)引）。

那么，有沒有辦法打破信念的限制，從而讓人的想象獲得解放呢？ 有，那就是動用人的理性。

阿達(dá)瑪在《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》一書中，詳細(xì)記載了他對“素數(shù)個數(shù)無限性”定理證明的心路歷程。 表2的內(nèi)容就證明了存在著比11 大的素數(shù)時他的心路歷程。

作為頂級數(shù)學(xué)家，阿達(dá)瑪對“素數(shù)的個數(shù)是無窮多”肯定是知道而且絕對是相信的，這是他的信念。但他沒有一味崇拜這個信念，而是理性地把它改造成了更可感、更可親的表象：一堆數(shù)→一堆點→很遠(yuǎn)的一個點→更遠(yuǎn)的第二個點→中間的一個點→構(gòu)造出數(shù)字表示。這就使他對概念的認(rèn)識達(dá)到了新狀態(tài)，一種更可操作、有更大發(fā)展?jié)摿Φ臓顟B(tài)。

妨礙人類進(jìn)步的，不是無知而是絕對化。過于執(zhí)著的信念直接扼殺想象，阻礙思想的創(chuàng)新。愛迪生對交流電的反對、愛因斯坦對量子力學(xué)的反對以及高斯對非歐幾何的回避，禁錮了他們的頭腦，盡管他們已經(jīng)走到了創(chuàng)新的門檻甚至已經(jīng)有了創(chuàng)新的成果，也還是退縮了。

當(dāng)然，理性的人也必然是有信念的，否則他只能被情緒所左右。

四、需要注意的問題

（一）過度訓(xùn)練損害想象

說到七邊形，我們能想象出各種各樣的七邊形;說到三角形，我們能想象到的就不多了;說到圓，我們就不再動用想象，因為我們對圓太熟悉了。而兒童就不同了，在討論“圓”的時候，他們能想象出“跟太陽一樣大的圓”“跟房子一樣大的圓”“跟山一樣大的圓” “跟天一樣大的圓”…… 我們用一個詞“任意長的半徑”就把大大小小的圓都包括了。此時，圓在我們眼里平淡無奇。當(dāng)然，我們可以把圓的概念直觀化，使對“圓”的想象大為增強(qiáng)，但此時對“圓以外”的想象仍然是削弱的。而如果沒有實現(xiàn)圓的概念的直觀化，則所有的想象都削弱了。

中學(xué)數(shù)學(xué)教育，整體上遇到了類似的情況。立體幾何始終是明確地被用來“培養(yǎng)空間想象能力”的，但新課程體系中“空間角的計算”主要用的是向量法，非常技術(shù)化和程序化。用向量法求角，不再需要作出角來，通過坐標(biāo)運(yùn)算就可得到，套路明確、方法固定，因此對空間想象的要求大為降低（其實是幾乎無要求）。教學(xué)中，教師往往是讓學(xué)生反復(fù)地把解方程組、向量運(yùn)算熟練化。結(jié)果是，學(xué)生能求出線面角或二面角，但卻不知道什么是線面角、什么是二面角的平面角，在用公式的時候分不清線線角與線面角、正弦值與余弦值的情況比比皆是。

（二）標(biāo)準(zhǔn)答案是想象的天敵

小學(xué)階段學(xué)習(xí)了除法運(yùn)算以后，會遇到被稱為“種樹問題”的一類題目，即在一定長度上等間距地栽種樹木。實際教學(xué)中，教師會總結(jié)出“兩頭種”“一頭種”“兩頭都不種”三種情況，給出固定的套路（如圖9）， 讓學(xué)生練熟并記住。

應(yīng)當(dāng)說，教師的總結(jié)確實很完備、很清楚，但很多學(xué)生面對“在20 米的地上，每隔5 米種一棵樹，一共種多少棵？” 這樣的題目時， 反而不會做了。原因是，題目中沒有說明“是兩頭種還是一頭種，抑或兩頭都不種”，學(xué)生不知道該套用哪個公式。更可怕的是，他們絞盡腦汁去回憶“該用哪個公式”，而不是去思考“該怎么種樹”———想象完全被扼殺了，“解題”就只剩下了回憶和再現(xiàn)。

而如果學(xué)生想到的是真實的種樹情境， 那將是一個生動活潑的場景。比如，把“20 米的地”畫成一條線段，一般也會畫出等分點。但是，等分點未必就是“栽種點”，第一棵樹可以不種到點上，而種在兩點之間（如圖10）， 這就自然地顯示可以種4棵樹。

標(biāo)準(zhǔn)答案中的種5棵和3棵，都是極端的例子。若是“在22 米（不能被5整除）的地上種樹”“在圓圈上種樹”這樣的問題，肯定也將讓學(xué)生無所適從。

如果說一個（類）數(shù)學(xué)題還可以重新講解，讓學(xué)生知道要面對現(xiàn)象而非面對公式，重新喚起對題目的自由想象的話，在其他更多的問題上就不是總能如此了。關(guān)于人生和社會的一些觀念，一旦進(jìn)入兒童空白的頭腦，就會成為潛意識，從此控制他的一生。核心素養(yǎng)教育的根本宗旨是培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”， 而如果層層都有榜樣、人人都有模板、事事都有標(biāo)準(zhǔn)答案，就不但不需要想象，自由思考也不能有了。人的獨立性泯滅了，人格完整便難以實現(xiàn)，更談不上全面發(fā)展了。

（三）想象不僅涉及知識，還涉及情感

沒有知識的人一定不會有想象，因為表象也是知識。有知識的人未必有想象，因為想象還需要情感的參與。人在想象開啟之前必須有情感的萌動，豐富的想象來源于飽滿的激情，在最高的激情處才會有最好的想象———我們稱之為“靈感”。人們都喜歡自己的想象，因為想象本就是隨著愉悅的情感而來的，不喜歡的想象已經(jīng)在潛意識里被排斥掉了。藝術(shù)大師們想象力最強(qiáng)的時候，也是他們情感最豐沛的時候。情感的枯竭必然導(dǎo)致想象力的喪失。

學(xué)習(xí)應(yīng)該在寬松、舒暢的環(huán)境下，而不是在權(quán)威高壓的環(huán)境下，后者造就不出自由的靈魂?？鬃诱f的“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，就是這個意思?！秴问洗呵铩?察今》里有這樣的一句話：見“瓶水之冰，而知天下之寒，魚鱉之藏也。這”種想象一定是自由的心情帶來的，如果一個人對“瓶水之冰” 滿是恐懼，肯定無心顧及“天下之寒”和“魚鱉之藏”。在這方面，具身認(rèn)知理論再次為教學(xué)提供了有力的指導(dǎo)。那就是，當(dāng)你遇到了困難和煩擾時，逃避是沒有用的，靠理性也不能強(qiáng)制自己快樂起來。這時，你有一種方法， 那就是：行動起來！ 美國心理學(xué)家詹姆斯的“表現(xiàn)原理”告訴我們：人“不是因為愉快而微笑，而是因為微笑而愉快。”潛意識分不清真高興還是假高興。如果假裝自己高興、暗示自己高興，那么將和自己實際上的高興激起在大腦皮層同一區(qū)域的興奮，也同樣會產(chǎn)生多巴胺和腎上腺素。因此，在情緒低迷時讓身體動起來，昂首挺胸大步走或者跑步， 都能帶來情緒的轉(zhuǎn)變。某些學(xué)校組織學(xué)生跑步，喊著整齊而響亮的口號，雖屢遭外界批評卻廣被效仿，就是因為這樣做產(chǎn)生了實際的效果。在短期看，對學(xué)校教學(xué)確實有利。而歷史上一些偉大的發(fā)現(xiàn)，也都是思想家在休閑、跑步、游泳等自我釋放的時候得到的，哈密爾頓、薛定諤、龐加萊等都親自記述過這種現(xiàn)象。

五、結(jié)語

想象是人的一種極為寶貴的智力品質(zhì)， 是人類靈性的主要體現(xiàn)。因果想象更是為人類所獨有，是好奇心和求知欲的萌發(fā)地。人類的所有創(chuàng)造和發(fā)明都來自想象，文明和進(jìn)步都由想象來構(gòu)筑。就個體而言，想象又促進(jìn)人的身體感覺，讓人的精神更自由。文學(xué)家、哲學(xué)家波德萊爾說：沒“有想象力，一切官能無論多么健康敏銳，都等于烏有。厘”清想象的種類，是對它進(jìn)行科學(xué)化研究的開始，教學(xué)實踐需要這樣的研究。我們需要想象，教育還有很多的事情需要去做。

（孫四周，江蘇省蘇州市吳江盛澤中學(xué)， 特級教師，正高級教師。發(fā)表論文200 余篇， 出版《現(xiàn)象教學(xué)》《思維的起源》等專著。從2014 年起，致力于“在常規(guī)課堂中開展現(xiàn)象教學(xué)”的理論與實踐研究，相關(guān)成果獲得第5屆江蘇省教育科學(xué)研究成果特等獎。目前，此項研究正在大力推進(jìn)階段。）

① 威廉·詹姆斯.行為改變思想———表現(xiàn)原理[M].?龍湘濤，編譯.?？冢汉Ｄ铣霭婀?，2014：9。

①②曹才翰.中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷）[M]. 沈陽：沈陽出版社，1991：352，352 。

③ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）[S].北京：人民教育出版社， 2020：6。

① 丹尼爾·卡尼曼.思考，快與慢[M].胡曉姣，李愛民，何夢瑩，譯.北京：中信出版社，2012：35 。

① 雅克·阿達(dá)瑪.數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)[M].陳植蔭，肖奚安，譯.大連：大連理工大學(xué)出版社，2008：80-81 。