“三角函數(shù)的概念”教學實錄

李曉珊 田穎

關鍵詞：三角函數(shù);概念;周期變化

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B? ? 文章編號：1009-010X（2022）05-0061-04

三角函數(shù)是一種重要的基本初等函數(shù)，用來刻畫周期變化現(xiàn)象?；趯W生已有的學習函數(shù)的經(jīng)驗，通過類比，探索學習三角函數(shù)時的研究路徑?；诖?，本節(jié)課是在函數(shù)一般概念的基礎上，分層次、分角度循序漸進地讓學生理解任意角三角函數(shù)的定義。

本節(jié)課的第一個思考點是讓學生尋求合適的量來刻畫單位圓上運動的點的位置變化。這個思考點的設置有兩個優(yōu)點：一是從周期運動的背景中生成問題，從數(shù)學史的發(fā)展來看，任意角三角函數(shù)與圓周運動有直接關系，這種設計合理且不失一般性;二是學生刻畫位置的方式往往采取角和坐標兩種方式，這是體現(xiàn)數(shù)形關系的入口。

任意角三角函數(shù)的概念的教學過程中，首先明晰角的弧度數(shù)與點的橫（縱）坐標之間的對應關系為函數(shù)關系，直接給出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念。之后，又抓住“對應關系”，并讓學生探究銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的關系，進而進一步理解三角函數(shù)定義。

理解好“對應關系”，是學生學習三角函數(shù)定義時的一個難點，因為這與學生已有的經(jīng)驗不同，這種差異造成了學生的認知障礙。為了突破這個難點，課堂采取比較、分析的方式是較為

課本中任意角的三角函數(shù)的定義是“單位圓定義法”，即角的終邊與單位圓交點的縱坐標、橫坐標分別對應角的正弦值和余弦值。由于當角確定時，正弦值、余弦值也隨之確定，那么已知角的終邊上任意一點的坐標時，如何求出該角的三角函數(shù)值呢？這個問題的探究，一方面可以借助平面幾何中三角形相似的知識進一步落實“單位圓定義法”，另一方面這實質(zhì)上是任意角的三角函數(shù)的“終邊定義法”。

具體教學設計見下：

一、教學內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

單位圓上點的運動規(guī)律;三角函數(shù)的概念;與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

（二）內(nèi)容解析

一直以來，人們習慣于把三角函數(shù)看作銳角三角函數(shù)的推廣，而事實上，銳角三角函數(shù)的研究對象是三角形，是三角形中邊與角的定量關系（三角比）的反映。而任意角三角函數(shù)的現(xiàn)實背景是周期性的變化現(xiàn)象，是“周而復始”變化規(guī)律的數(shù)學刻畫。如果以銳角三角函數(shù)為基礎進行推廣，那么三角函數(shù)概念發(fā)生發(fā)展過程的完整性將受到破壞。因此，整體上，任意角三角函數(shù)知識體系的建立，應與其它基本初等函數(shù)類似，強調(diào)以周期變化現(xiàn)象為背景，構建從抽象研究對象（即定義三角函數(shù)概念）到研究它的圖象、性質(zhì)再到實際應用的過程，與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系可以在給出任意角三角函數(shù)定義后再進行探究。

一般地，概念的形成應按“事實——概念”的路徑，即學生要經(jīng)歷“背景——定義——表示——應用”的過程。

二、目標和目標解析

（一）目標

1.通過實際問題，使學生認識到定義具有周期性的函數(shù)的必要性。

2.經(jīng)歷抽象出三角函數(shù)定義的過程，理解任意角三角函數(shù)的概念，發(fā)展數(shù)學抽象的素養(yǎng)。

3.能利用定義，求出特殊角的三角函數(shù)值，并從中體會數(shù)形結合思想。

（二）目標解析

實現(xiàn)以下三點以達成目標：

1.學習任何函數(shù)都要了解其現(xiàn)實背景，學生要知道三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中周期性變化規(guī)律的數(shù)學模型，勻速圓周運動是體現(xiàn)周期性變化現(xiàn)象的典型代表。

2.課堂上首先由生活中的周期現(xiàn)象引入，再從中選取圓周運動，不失一般性，關注單位圓上點的運動，從而抽象出了研究的問題：單位圓O上的點P以A為起點作逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個數(shù)學模型，以刻畫點P的位置變化，

3.學生能找到用什么量來刻畫單位圓上點的運動，并能分析出這些量的相互關系，最后抽象出三角函數(shù)的定義，并能夠利用定義求出給定角的三角函數(shù)值。

（三）教學重點、難點

重點：借助單位圓上點的圓周運動理解任意角的正弦、余弦的定義;能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。

難點：尋找到刻畫單位圓上點作圓周運動的變量，并抽象概括出函數(shù)。

三、教學問題診斷分析

（一）學生已有認知基礎

三角函數(shù)概念的學習，學生的認知基礎是函數(shù)的一般概念以及研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗。本章起始關于任意角和弧度制的學習也為學生學習任意角的三角函數(shù)奠定了基礎。另外還有圓的有關知識。這些認知準備對于分析“周而復始”變化現(xiàn)象中涉及的量及其關系和認識其中的對應關系并給出定義等都能起到思路引領作用。

（二）學生學習中的困難

關系，與學生的已有經(jīng)驗距離較大，因此產(chǎn)生了學習的難點：分析哪些量刻畫單位圓上點的運動，理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值是如何對應的及其定義方式。

（三）教學策略分析

四、教學條件支持

為了準確把握定義，學生首先要直觀感受到角的終邊與單位圓交點的坐標隨角的變化而變化，需要利用信息技術建立任意角、角的終邊與單位圓的交點這兩個幾何量之間的關聯(lián)，進而再關注到角的弧度數(shù)與交點橫、縱坐標值這兩組代數(shù)量之間的對應關系。教學中，可以動態(tài)改變角a的終邊OP（P為終邊與單位圓的交點）的位置，引導學生觀察OP位置的變化所引起的點P坐標的變化規(guī)律，感受三角函數(shù)的本質(zhì)，同時感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值，以及各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況。

五、教學實錄

（一）創(chuàng)設情境

教師展示課件中的圖片，讓學生感受到生活中有很多循環(huán)往復、周而復始的變化現(xiàn)象，而我們知道的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都不能刻畫這種運動變化。

設計意圖：讓學生初步感受周期現(xiàn)象，激發(fā)學習興趣。

（二）分析具體問題，歸納共同特征，給出三角函數(shù)的概念

問題：單位圓O 上的點P以A點為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如何刻畫點P的位置變化？

生1：可以用∠AOP（記為a）的大小變化來刻畫點P的位置變化.

生2：可以以圓心O為原點，以OA所在直線為橫軸建立坐標系，然后用點P的坐標來刻畫點的位置變化.

師：（追問）既然角a和點P的坐標都可以刻畫點P的位置變化，那么a與點P的坐標之間有什么關系.

生：通過幾個特殊角發(fā)現(xiàn)，當a確定時，點P的坐標是唯一確定的.

師：（教師通過幾何畫板演示）發(fā)現(xiàn)對于任意的角a，點P的橫坐標x、縱坐標y都是唯一確定的，教師提煉呈現(xiàn)概念，得出三角函數(shù)的定義，并引導學生體會三角函數(shù)的這種對應與以往的函數(shù)有所不同，不是通過運算建立的對應，是自變量a與函數(shù)值之間的直接對應，然后引導學生探討函數(shù)的定義域。

設計意圖：引導學生自己發(fā)現(xiàn)用函數(shù)的模型刻畫點P的變化規(guī)律的必要性與合理性，并得到由單位圓定義的三角函數(shù)概念。

（三）任意角三角函數(shù)的初步應用

師生活動：先由學生發(fā)言，再總結出從定義出發(fā)求三角函數(shù)值的基本步驟，并得出答案。

設計意圖：明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進而進一步理解定義的內(nèi)涵。并希望學生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)和初中學習的銳角三角函數(shù)之間似乎有某種聯(lián)系，自然引出下一環(huán)節(jié)的思考問題。

（四）任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

師：通過例1，你有什么感悟和體會？

師：那我們來探究一下：

生：通過小組討論，由學生展示結論，發(fā)現(xiàn)求得的值是一致的。

設計意圖：使學生體會在求銳角的三角函數(shù)值時，利用銳角三角函數(shù)與利用任意角三角函數(shù)是一致的。教師再介紹，實際上它們是有區(qū)別的，它們的研究對象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同，任意角三角函數(shù)與圓周運動有直接關系，是研究現(xiàn)實世界中周而復始變化現(xiàn)象最有表現(xiàn)力的函數(shù);而銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計算，更側重于度量。

（五）進一步應用定義，體會由角的終邊上任意一點也可以算出三角函數(shù)值

例2.如圖，設a是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r.

生：獨立思考后小組討論，得出結果，并找學生獨立展示。

設計意圖：通過本例使學生認識到，知道角的終邊上任意一點，就可以求出三個三角函數(shù)值，這與利用單位圓上的點的坐標定義三角函數(shù)是等價的。

（六）小結、提升

設計意圖：再次回顧三角函數(shù)定義的過程，體會這是函數(shù)的“下位概念”，并啟發(fā)學生思考，為后面同角三角函數(shù)關系、誘導公式以及三角函數(shù)性質(zhì)的學習做鋪墊。

在高中數(shù)學課程中，三角函數(shù)的內(nèi)容安排在必修課程“主題二 函數(shù)”中，與“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”“函數(shù)的應用”視為一個整體。本章學習的認知基礎主要是幾何中圓的性質(zhì)，以及前面建立的函數(shù)的一般概念。研究三角函數(shù)要利用單位圓這一工具，單位圓直觀的幾何特征可以幫助學生更好地理解三角函數(shù)的概念，這一過程有利于直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展。三角函數(shù)作為重要的描述周期現(xiàn)象的數(shù)學模型，與其他學科有緊密聯(lián)系，可以發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，因此，通過本章的學習，可以提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。