二維趨化-Navier-Stokes方程的全局吸引子①

劉婷熙，范小明

西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 成都 611756

趨化現(xiàn)象最早在文獻(xiàn)[1-2]中提出， 描述的是生物學(xué)中由于化學(xué)物質(zhì)的影響， 細(xì)胞進(jìn)行定向運(yùn)動的現(xiàn)象． 眾所周知， 細(xì)菌細(xì)胞一般是生活在各種各樣的粘性流體當(dāng)中的， 所以近十年來趨化-Navier-Stokes方程[3-7]已經(jīng)成為生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家們比較關(guān)注的數(shù)學(xué)模型． 對于趨化-Navier-Stokes方程， 前人關(guān)于它在不同邊界條件下解的存在情況已有了很多研究[8-12]． 但是對于該系統(tǒng)吸引子的存在性的研究甚少． 本文主要討論二維有界域下的趨化-Navier-Stokes方程的全局吸引子． 趨化-Navier-Stokes方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

下面是這個(gè)方程的初邊值條件：

n(x， 0)=n0(x)，c(x， 0)=c0(x)，u(x， 0)=u0(x)，x∈Ω

在這個(gè)模型中，Ω?R2是一個(gè)帶有光滑邊界Γ： =?Ω的有界區(qū)域． 其中ν(x)是x∈Γ上的單位外法向量，φ是重力勢并且有φ∈L∞(Ω)， Δφ=0，n表示細(xì)菌的種群密度，c代表化學(xué)濃度，p和u=(u1，u2)分別代表流體的壓力和速度． 設(shè)n(x，t)，c(x，t)是關(guān)于空間和時(shí)間t>0的連續(xù)函數(shù)， 因?yàn)閏是化學(xué)濃度， 故可設(shè)

再設(shè)f，g可導(dǎo)，f(0)=0，g(0)=0并滿足下列條件：

假設(shè)細(xì)菌和化學(xué)物質(zhì)在一種不可壓縮的流體(如水)中求解， 利用Navier-Stokes方程中的速度u來模擬其流動， 由于重力勢的存在， 細(xì)菌細(xì)胞的重量將會影響流體的流動．

本文主要包含了以下幾個(gè)部分．

第1部分， 給出了半群和吸引子的定義、 吸引子的存在性定理； 討論了n，c是正解及解的適定性， 從而方程(1)-(4)決定了一個(gè)解半群．

第2部分， 證明趨化-Navier-Stokes方程(1)-(4)所對應(yīng)的解半群在所研究的空間上存在正向不變的有界吸收集． 前人在處理這部分時(shí)是將趨化-Navier-Stokes方程看作一個(gè)整體來證明其系統(tǒng)的吸收性， 但由于方程(1)-(4)的復(fù)雜程度， 采用整體法無法處理其吸收性． 因此我們可以利用此方程的強(qiáng)耦合性， 將它分成3部分來處理． 首先利用能量估計(jì)等方法證明化學(xué)濃度c的吸收集是存在的， 再從c的吸收集出發(fā)證明細(xì)菌種群密度n的吸收集存在， 最后由n的吸收性證明了流體速度u的吸收集存在， 綜上所述得到了(n，c，u)的吸收集是存在的．

第3部分， 證明方程所對應(yīng)的解半群是一致漸近緊的． 首先得到u的光滑性， 再利用方程的強(qiáng)耦合性， 通過u的光滑性得到c的光滑性， 再由u的光滑性得到n的光滑性， 最后利用半群性質(zhì)， 得到解半群在所研究的空間上是一致漸近緊的．

1 預(yù)備知識

本章節(jié)將會給出一些證明所需的基本定義和定理．

則稱S(t)為算子半群．

定義2[13]如果緊集A滿足下面的條件：

1) 不變性： A是半群S(t)作用下的不變集， 即S(t)A=A， ?t≥0；

2) 吸收性： A吸收H上的所有有界集． 即對于任意一個(gè)有界集B∈H， 這里的B滿足

3) A有一個(gè)開鄰域U， 使得對于U上的任意一個(gè)n0， 當(dāng)t→∞時(shí)， 所有從n0出來的軌跡S(t)n0都收斂到A． 即當(dāng)t→∞時(shí)， dist(S(t)n0， A)→∞， 則稱這個(gè)緊集A為半群S(t)的一個(gè)吸引子． 如果A還吸收相空間H， 則稱A為全局吸引子．

引理1[13]設(shè){S(t)}t≥0是一個(gè)算子半群， U?H是一個(gè)開集， 并且

1) B是U上的一個(gè)吸收集；

2)S(t)是一致緊的(對于充分大的t)， 則B的ω-極限集A=ω(B)是U上的一個(gè)緊的全局吸引子．

引理2若(n，c，u)是方程(1)-(4)在Ω×[0，T]， ?T>0中的弱解， 則

n(x，t)>0，c(x，t)>0 a． e． (x，t)∈Ω×[0，T]

證由文獻(xiàn)[12]可知方程(1)-(4)在沒有f(n)，g(c)這兩項(xiàng)時(shí)， 它的解n(x，t)>0，c(x，t)>0是成立的， 則可以推出

其中A(t)=-u·+Δ-(c·+Δc)， 所以因此有

又因?yàn)閒(0)=0， 所以由中值定理可以得到

則

同理可證c(x，t)>0．

‖u‖Lq(Ω)≤C‖u‖Lp(Ω)

其中

該定理給出了解的適定性， 其證明主要利用Faedo-Galerkin方法[13]， 與文獻(xiàn)[11]類似， 本文不做過多贅述． 再結(jié)合引理2， 我們得到n，c>0．

由定理1足以在空間H上定義連續(xù)的算子半群{S(t)}t≥0：

下面將利用文獻(xiàn)[13-15]證明在空間H上半群{S(t)}t≥0存在全局吸引子A．

2 H上吸收集的存在性

首先證明在H上存在有界吸收集， 其過程需要在相應(yīng)的空間中對解進(jìn)行估計(jì)．

引理5設(shè)B1是L2(Ω)中的任一有界集，c是從B1中出發(fā)的方程(2)的一個(gè)解． 存在常數(shù)γ1>0和時(shí)間t1=t1(B1)>0， 當(dāng)t≥t1時(shí)，

證由條件(ii)可得存在常數(shù)β∈(0，λ1)和充分大的正常數(shù)K1， 使得

g(c)≤(λ1-β)c+K1

(5)

對方程(2)的兩邊分別與c作L2(Ω)的內(nèi)積

由(5)式得

(6)

(7)

(8)

對(8)式使用Gronwall不等式， 有

(9)

引理6設(shè)B2是L2(Ω)中的任一有界集，n是從B2中出發(fā)的方程(1)的一個(gè)解． 存在常數(shù)γ2>0和時(shí)間t2=t2(B2)>0， 當(dāng)t≥t2時(shí)，

證設(shè)L2(Ω)上一球形鄰域包含B1， 其圓心為零點(diǎn)， 半徑為γ1． 由引理5知，c從L2(Ω)的有界集出發(fā)， 在時(shí)刻t1后將一直在有界集B1中． 不妨設(shè)c總在B1中．

對方程(1)的兩邊分別與n作L2(Ω)的內(nèi)積， 得到

由化學(xué)濃度c的有界性和連續(xù)性得

再由條件(i)可得f(n)≤-Cn+K1，K1是一個(gè)充分大的常數(shù)， 則

對K1‖n‖L1使用Young不等式得

因此

(10)

由Gronwall不等式得

(11)

證設(shè)L2(Ω)上一球形鄰域包含B2， 其圓心為零點(diǎn)， 半徑為γ2， 由引理6知，n從L2(Ω)的有界集出發(fā)， 在時(shí)刻t1+t2后仍在有界集B2中． 不妨設(shè)總在B2中．

此時(shí)壓力項(xiàng)將會消失， 得到

(12)

由(19)式

利用Gronwall不等式，

(13)

綜合(9)， (11)， (13)式可以得到在H上以零點(diǎn)為圓心，RB=γ1+γ2+γ3為半徑的有界閉球B=B(0，RB)是(n，c，u)的有界吸收集， 且是正向不變的， 即H上任意有界集B?B(0，RB)， 經(jīng)過時(shí)間t*=t1+t2+t3后， (n，c，u)進(jìn)入B中且不再離開． 故由引理5- 7得到．

定理2方程(1)-(4)生成的解半群{S(t)}t≥0在空間H上存在正向不變的有界吸收集．

3 解半群{S(t)}t≥0一致漸近緊

設(shè)B是{S(t)}t≥0在H中的正向不變集． 設(shè)(n，c，u)是方程(1)-(4)的整體解． 現(xiàn)證明從B出發(fā)， 方程的解最終都進(jìn)入K的有界集， 從而得到解半群{S(t)}t≥0是一致漸近緊的．

引理8?r>0， 存在常數(shù)γ4(r)>0， 當(dāng)t≥r時(shí)， 有

證對(12)式從t到t+r上積分， 有

(14)

讓方程(3)在Ω上與-Δu作內(nèi)積， 得

利用引理4和Young不等式

再利用(13)式可得

(15)

(16)

由(15)，(16)式得

根據(jù)(11)式得

這意味著對所有的t≥r，

(17)

引理9?r>0， 存在常數(shù)γ5(r)>0， 當(dāng)t≥r時(shí)， 有

證將(7)式從t到t+r上積分， 有

(18)

讓方程(2)在Ω上與-Δc作內(nèi)積得

利用Young不等式、 H?lder不等式和引理3得

由(17)式可得

(19)

(20)

結(jié)合(19)-(20)式得到如下不等式

(21)

對(21)式從0到r上積分

由(18)式得

這意味著對所有的t≥r

(22)

引理10?r>0， 存在常數(shù)γ6(r)>0， 當(dāng)t≥r時(shí)， 有

證對(10)式從t到t+r上積分， 有

由(11)式可得

(23)

讓方程(1)在Ω上與-Δn作內(nèi)積

利用Young不等式、 H?lder不等式和引理3

(24)

由(17)和(24)式可得

(25)

這里C4是一個(gè)充分大的正常數(shù)．

(26)

(27)

由(25)-(27)式可得

(28)

對(28)式從0到r積分， 得

由(23)式得

這意味著對所有的t≥r，

(29)

定理3方程(1)-(4)生成的解半群{S(t)}t≥0是一致漸近緊的．

證設(shè)K上以零點(diǎn)為圓心，RM=γ4+γ5+γ6為半徑的有界閉球M=B(0，RM)． 由引理8、 引理9和引理10知(n，c，u)從H中的正向不變集B出發(fā)， 經(jīng)過時(shí)間r后， 進(jìn)入K中的有界集M． 而K緊嵌入到H中， 從而得到解半群{S(t)}t≥0在H中是一致漸近緊的． 證畢．

由定理2和定理3以及引理1得到方程(1)-(4)在H上存在緊的全局吸引子．