基于學生認知起點　培養(yǎng)數(shù)學運算能力

朱建玉

在小學數(shù)學中，乘法分配律是算術(shù)運算性質(zhì)方面的重要內(nèi)容，它聯(lián)系了乘和加兩種算術(shù)運算，貫穿了四則運算教學的全過程，可用于簡算，而且與中學的因式分解內(nèi)容聯(lián)系緊密。乘法分配律內(nèi)涵豐富，其表達式（a+b）×c=a×c+b×c，左邊有兩個運算符號（一個加號、一個乘號）和三個數(shù)，右邊運算符號（兩個乘號、一個加號）及數(shù)的個數(shù)（四個數(shù)），都發(fā)生了變化。如果重外形記憶，輕本質(zhì)理解，那么學生受舊知的影響（如加法交換律、結(jié)合律以及乘法交換律、結(jié)合律，等式兩邊運算符號個數(shù)和數(shù)的種類與個數(shù)都是一致的），容易產(chǎn)生思維定勢。應(yīng)用時學生出錯的現(xiàn)象特別多，經(jīng)常出現(xiàn)這樣的等式：a×（b+c）=a×b+c。教師往往花費大量的精力“糾錯”，但收效甚微。要解決這樣的問題，教師就應(yīng)基于學生的認知起點，探索小學數(shù)學運算能力的培養(yǎng)策略，厘清算法背后的算理，促進學生思維發(fā)展，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、“形”“質(zhì)”并舉，關(guān)聯(lián)建構(gòu)

如何把人們在積累運算經(jīng)驗中歸納總結(jié)出來的靜態(tài)結(jié)果變?yōu)閯討B(tài)表達？如何從本質(zhì)上理解乘法分配律的內(nèi)容是什么、為什么是這樣的？我嘗試將代數(shù)關(guān)系a×c+b×c=（a+b）×c巧妙地融合在兩個矩形之間的面積關(guān)系之中，從“同數(shù)連加”的角度，借助乘法的意義、結(jié)合律、交換律得到分配律的表達式，在理解“分”與“配”的過程中，使學生感受數(shù)學知識中蘊含的內(nèi)在邏輯推理。從單一的運算走向多維的運算，在教學中不僅要讓學生掌握分配律的“形”，更要理解形背后的“質(zhì)”，“形”“質(zhì)”并舉，關(guān)聯(lián)建構(gòu)。

先出示“貼瓷磚”主題圖：

提出問題：兩面墻上一共貼了多少塊瓷磚？

學生列出等式（4+6）×9=4×9+6×9。

師：兩個不同的算式，結(jié)果卻相等，你知道其中的奧秘嗎？結(jié)合圖形說說你的想法。

課件展示圖形的動態(tài)變化，學生根據(jù)圖形作出解釋。

生：這兩個算式的結(jié)果之所以相等，是因為這兩個算式一個是把4列和6列合起來算，另一個是把4列和6列分開算。

生：我來補充，豎著看，一列有9塊瓷磚，（4+6）×9先算4加6，共10列，（4+6）×9表示10個9相加。4×9+6×9是4個9加6個9，即4×9+6×9=9+9+9+9+9+9+9+9+9+9，也是10個9相加，所以結(jié)果相等。

師：你們都是這樣豎著觀察的嗎（邊說邊用手圈出一個9）？如果橫著觀察，是否也能解釋兩個算式之間必然存在著相等關(guān)系？

生：如果橫著觀察，一行有1個4和1個6相配，9行是9個4和6的和，（4+6）×9是9個（4+6）。4×9+6×9是9個4加9個6，結(jié)果相等。

師：看來不管是豎著觀察，還是橫著觀察，用乘法的意義都能解釋為什么這兩個式子存在相等關(guān)系。

師：那上圖中這個大長方形除了可以分成長9寬4和長9寬6的兩個長方形外，還有其他的分拆方法嗎？換一種拆分的方法，是否也存在等式？自己動手分一分，寫出相應(yīng)的等式。

生：我們是豎分的，又得到了四種分法，等式分別是（1+9）×9=1×9+9×9;（2+8）×9=2×9+8×9;（3+7）×9=3×9+7×9;（5+5）×9=5×9+5×9。

生：我們是橫分的，得到四種不同分法，等式分別是（1+8）×10=1×10+8×10;（2+7）×10=2×10+7×10;（3+6）×10=3×10+6×10;（4+5）×10=4×10+5×10。

師：觀察我們所寫的這些等式的特征，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這些算式都可以合起來算，也可以分開算。

生：等號兩邊的算式運算順序不同，但結(jié)果相等。

生：無論是合起來還是分開算，得數(shù)都一樣。

生：兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以用兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個積相加，結(jié)果不變。

生：可以用字母表達（a+b）×c=a×c+b×c。

師：你們把這些等式的共同特征都用字母表達出來了。大家發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律是偶然的巧合還是必然的規(guī)律？

生：假設(shè)把墻面瓷磚分成a列和b列，每列c塊瓷磚，兩個式子都表示一共的塊數(shù)，所以相等。

生：左邊表示（a+b）個c，而右邊是a個c加b個c，也是（a+b）個c，因此是相等的。

師：誰聽明白了他要表達的意思？

生：我聽明白了。這樣的規(guī)律是一定存在的，我們可以借助剛才的長方形圖來解釋，兩個小長方形的長分別是a、b，寬是c，那么大長方形的面積可以用（a+b）×c表示，也可以用a×c+b×c來表示，所以（a+b）×c=a×c+b×c。

師：真了不起，大家發(fā)現(xiàn)了數(shù)學上一個重要的運算定律——“乘法分配律”。

這樣的教學不僅讓學生掌握乘法分配律的“形”的特點，還讓學生知道左右兩邊為什么相等，怎樣轉(zhuǎn)化，從而掌握乘法分配律的內(nèi)在的“質(zhì)”，在頭腦中建立意義上的聯(lián)系，做到有效建構(gòu)，為正確使用打下堅實的基礎(chǔ)。

二、變式訓練，整體融通

四年級下學期，學生就已經(jīng)學習了整數(shù)領(lǐng)域的乘法分配律，在開始學習小數(shù)和分數(shù)領(lǐng)域中的乘法分配律時，教材僅用了一個例題、一句“整數(shù)加法、乘法的運算律，對小數(shù)加法、乘法同樣適用”作為具體內(nèi)容。學習乘法分配律時，僅憑這種簡單的語言和個別案例進行過渡的方式，學生很難實現(xiàn)思維從整數(shù)到小數(shù)和分數(shù)的遷移。如何幫助學生整體建構(gòu)乘法分配律，讓規(guī)律在不同的數(shù)領(lǐng)域靈活運用，是亟待解決的問題。

心理學研究表明，前面學過的知識會影響后面學習的知識，產(chǎn)生前攝抑制;后面學習的知識對以前學過的舊知也會出現(xiàn)倒干擾或者倒排斥，從而產(chǎn)生倒攝抑制。到了乘法分配律的推廣階段，學生已經(jīng)學習了四則混合運算的運算順序和所有的運算律及其運用，前攝抑制和倒攝抑制嚴重影響了學生合理、靈活地進行相關(guān)的運算。所以教師應(yīng)充分考慮到這一點，要設(shè)計一些有針對性的辨錯訓練，幫助學生積累解題經(jīng)驗。

如5.4×0.9+0.1和5.4×（0.9+0.1）這兩道題可幫助學生辨清：不能看到0.9和0.1能配成1就不顧運算順序，盲目配成1。前面一題根本不符合使用乘法分配律的條件，并非所有的題都可以簡便運算。125×4×25×8和125×8+25×4 這兩道題可幫助學生辨清什么時候應(yīng)用乘法結(jié)合律，什么時候應(yīng)用乘法分配律。（27+[9/14]）÷9 和9÷（27+[9/14]）這兩道題可幫助學生辨清什么時候可以直接把除法轉(zhuǎn)化成乘法，不能一看到除號，就想直接轉(zhuǎn)化成乘法。1.25×8÷1.25×8和1.25×8÷（1.25×8）這兩道題則可幫助學生辨清除法性質(zhì)的應(yīng)用。

在辨錯訓練時，教師要根據(jù)學生的“最近發(fā)展區(qū)”，通過探索、求異的思維活動，使學生進一步理解運算律的真正含義，從而掌握簡便運算的精髓。

三、保持敏感，洞察奧秘

教學中，學生學習了乘法分配律并且經(jīng)常應(yīng)用乘法分配律進行簡便運算，熟練背出字母表達式之后，我發(fā)現(xiàn)并非每個學生都真正理解了乘法分配律。學生之所以在應(yīng)用時出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，究其根本原因就是對乘法分配律的理解并不透徹。

培養(yǎng)學生對算式認真觀察的能力，提高對算式中一些數(shù)據(jù)的敏感性，區(qū)分一些易混淆的題目是提高學生簡便運算能力的關(guān)鍵。所以，教師要有意識地幫助學生洞察算式的奧秘，使學生能靈活應(yīng)用定律進行簡便運算。我們要力爭使學生在此過程中體會到簡便運算的價值，把簡便運算當做是自發(fā)需求，在此過程中碰撞出創(chuàng)造性思維的火花。

首先，要幫助學生學會熟練轉(zhuǎn)化。整數(shù)運算律推廣到小數(shù)和分數(shù)四則混合運算后，往往有學生一看見一道題目中既有分數(shù)又有小數(shù)或者百分數(shù)，就眼花繚亂。這就要求學生熟練掌握分數(shù)、百分數(shù)和小數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化。一些常用的數(shù)據(jù)更須熟記于心。例如，0.25=[1/4]=25%，0.125=[1/8]=12.5%等。

其次，要幫助學生學會巧妙拆數(shù)。在簡便運算中，學生經(jīng)常出現(xiàn)拆數(shù)錯誤，因此在推廣時對拆數(shù)的原則一定要進行復習。拆數(shù)一般使用加減乘法，運用加減法拆數(shù)一般應(yīng)用乘法分配律，運用乘法拆數(shù)一般應(yīng)用乘法結(jié)合律。拆數(shù)原則是拆數(shù)前后一定要保持相等，一般把一個約等于1或約等于整十整百的數(shù)拆成1、10、100加上或減去零頭數(shù)。例如，10.1拆成10+0.1; 999拆成1000-1，等等。

最后，要幫助學生學會“一眼看穿”。125和8、25和4是非常特殊的兩組數(shù)，遇上了要特別注意（當然0.125和0.8、2.5和0.04之類也同樣）。只要題目中有能配成整十、整百、整千數(shù)的，小數(shù)能配成1或其它一些整數(shù)的，分數(shù)遇到同分母分數(shù)加減的或者除法改寫成乘法后能約分的，都要引起高度重視，這往往就是解此類題的關(guān)鍵所在。

這些專項訓練對培養(yǎng)和發(fā)展學生的求異思維、發(fā)散思維和逆向思維相當有益，能使學生全方位、多角度地思考問題。同時，這些專項訓練也是提高數(shù)學練習效率的有效途徑。只要教師充分發(fā)揮主導作用，引導學生總結(jié)并尋找解題突破口的方法，及時歸納題目的共性和異性，學生解題時就能融會貫通，觸類旁通。

教師應(yīng)該充分把握知識的“生長點”與“延伸點”，在課堂上對學生進行價值引導、智慧啟迪和思維點撥，使學生不僅能正確、熟練地計算，還能根據(jù)題目條件尋求合理、簡潔的運算途徑去解決問題。

（責任編輯：楊強）