基于簡化素養(yǎng)　解決簡算不“簡”的問題

宋元春

摘要：簡化會通過轉(zhuǎn)化、變換、推理、分析讓人們把生活中一些復(fù)雜的問題或現(xiàn)象變得更加簡單。當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在遇到可以采用簡化方法的題目時，很多學(xué)生仍習(xí)慣采用列算式的方法來計算。究其原因，與教師在平時的教學(xué)中忽視培養(yǎng)學(xué)生的簡化素養(yǎng)有關(guān)。教學(xué)中，我們應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的簡化意識，使學(xué)生牢固掌握簡化方法，強化簡化素養(yǎng)的滲透方式，以此來解決簡算不“簡”的問題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);簡算;意識;素養(yǎng)

數(shù)學(xué)意義上的簡化可看作“數(shù)學(xué)神奇”的一個主要方面，它會通過運用轉(zhuǎn)化、變換、推理、分析、統(tǒng)籌、預(yù)測等方法，讓人們把生活中一些復(fù)雜的問題或現(xiàn)象變得更加簡單。正是由于“簡化”的數(shù)學(xué)方法具有實用性和廣泛性，使得它能夠處理包括空間和運動、幾率和概率、統(tǒng)計學(xué)和社會科學(xué)、藝術(shù)和文學(xué)、邏輯學(xué)和哲學(xué)、倫理學(xué)和戰(zhàn)爭、音樂和建筑、食物和醫(yī)藥、倫琴射線和晶體、遺傳和繼承等領(lǐng)域中的很多問題。

下面是2018年某地小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科能力檢測中的一道題：請你用合理的方法計算350×18和600÷25。

測試結(jié)果顯示，只有少部分學(xué)生運用了“合理”的方法進行計算，大部分學(xué)生采用了列算式的方法計算。題目中沒提出簡便計算要求，學(xué)生就不用簡便方法計算，怎么辦？

顯然，這道題除了采用列算式的方法外，還可以采用簡便計算的方法，即：

1. 350×18=350×（2×9）=350×2×9=700×9=6300

2. 600÷25=（600×4）÷（25×4）=2400÷100=24

不可否認(rèn)，運用列算式的方法確實能正確計算出上述兩道題目的結(jié)果，而且“合理”指的是合乎道理或事理，對于不同的學(xué)生而言，“合理”的意義不盡相同。所以，用列算式方法解決以上兩道題目，毫無疑問是正確的。

但同時，上述兩道題目又具有明顯的簡算特征，即先轉(zhuǎn)換成與整十、整百、整千相關(guān)聯(lián)的數(shù)再進行計算，這樣明顯可以更加簡便。問題恰恰在于此，在題目沒有明確簡算要求的情況下，大部分學(xué)生并沒有選擇簡便算法，而是選擇了更為通用的列算式方法。這是為什么呢？對這一問題進一步思考，我們可以提出兩個問題：一是學(xué)生是否形成了簡算的意識？二是學(xué)生是否掌握了簡算的方法？

結(jié)合這兩個問題，我在實踐中探索了如何在數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生簡化素養(yǎng)的策略。

一、注重培養(yǎng)簡化意識

北京師范大學(xué)彭聃齡教授在《普通心理學(xué)》一書中認(rèn)為，心理學(xué)界對“意識”概念的理解分廣義和狹義兩種。廣義的是指大腦對客觀世界的反應(yīng)，這表現(xiàn)了心理學(xué)脫胎于哲學(xué)的一種特殊的學(xué)術(shù)現(xiàn)象，而狹義的則是指人們對外界和自身的覺察與關(guān)注程度，現(xiàn)代心理學(xué)中對意識的論述則主要是指狹義的意識概念。

簡化意識是指學(xué)生對簡化的覺察與關(guān)注程度。覺察，指發(fā)現(xiàn)、察覺或覺知;關(guān)注，指關(guān)心、重視。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的簡化特性，體會簡化在解決實際問題中的簡單、方便、好用，使學(xué)生對數(shù)學(xué)簡化特性形成深刻的認(rèn)知，建立積極的情感與態(tài)度。

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多這樣的例子，如計算1+2+3+……+100，按照常規(guī)算法，需花費不少時間。但如果采用高斯的方法進行首尾相加，則只需套用101×50就可以了;再如，計算[1/2]+[1/4]+[1/8]+[1/16]，按照常規(guī)算法，需先將這些分?jǐn)?shù)通分，轉(zhuǎn)換成同分母分?jǐn)?shù)再計算，如果轉(zhuǎn)換思維，采用圖1的圖式簡算思路，則直接用1-[1/16]就可解決。又如，計算形狀不規(guī)則平面圖形的面積時，我們只需把它轉(zhuǎn)換成一些基本的平面圖形，如長方形、平行四邊形、三角形、梯形等就可以化繁為簡進行計算。

另外，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的廣泛使用也能讓學(xué)生充分體驗到數(shù)學(xué)簡化的價值。如在圖形的測量中，平行四邊形的面積計算可以轉(zhuǎn)化成長方形的面積計算、三角形的面積計算可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積計算、梯形的面積計算可以轉(zhuǎn)化成三角形的面積計算、圓的面積計算可以轉(zhuǎn)化成長方形的面積計算等。在數(shù)的運算中，異分母分?jǐn)?shù)加減法可以轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法，分?jǐn)?shù)除法可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法，除數(shù)是小數(shù)的除法可以轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法等。如同搭建房子需從下往上逐層建設(shè)一般，數(shù)學(xué)體系也是基于數(shù)學(xué)對象的“抽象—推理—建?！橄蟆边^程而不斷完善與擴展。

從這個意義上說，數(shù)學(xué)即可視為簡化的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)知識本身自帶簡化屬性。法國思想家狄德羅說：“在（數(shù)學(xué)中）美的各個屬性之中，首先要推崇的大概就是簡單性了。結(jié)果的意思及其意義馬上就會被讀者掌握，而這一點本身可能就使得人們覺得這個結(jié)果多么漂亮。”這就要求教師在平時教學(xué)中不能僅僅停留在對知識技能的理解與掌握上，還應(yīng)以此為基礎(chǔ)及時滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)簡化特性的方便與好用，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)簡化的眼光理解問題、用數(shù)學(xué)簡化的方法解決問題，真正讓數(shù)學(xué)簡化意識融入學(xué)生的思想，讓數(shù)學(xué)簡化方法融入學(xué)生的認(rèn)知，讓數(shù)學(xué)簡化魅力融入學(xué)生的情感，使學(xué)生對數(shù)學(xué)簡化的覺察與關(guān)注成為一種習(xí)慣。

二、牢固掌握簡化方法

如果說簡化意識的培育是學(xué)生簡化素養(yǎng)形成的前提，那么簡化方法的掌握就是學(xué)生簡化素養(yǎng)形成的保障。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！庇纱丝芍囵B(yǎng)學(xué)生簡化素養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生掌握簡化方法，形成良好運算能力，需幫助學(xué)生做好以下兩個方面的學(xué)習(xí)。

（一）理解和掌握小學(xué)數(shù)學(xué)運算法則和運算律

完成運算，得出結(jié)果的方法、程序或途徑，通常叫做運算方法或計算方法。把運算方法所要求的操作程序和要點用相對準(zhǔn)確、規(guī)范且比較容易理解的文本語言表述出來，或者將當(dāng)前運算歸結(jié)為學(xué)生早先已經(jīng)掌握的相關(guān)運算，就是運算法則。關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)的運算法則，東北師范大學(xué)史寧中教授指出：“在混合運算中，關(guān)于運算次序有兩個基本法則，包括有括號，先計算括號中的算式;沒有括號，先乘除后加減?！庇捎谶@兩個法則在整個小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運算中都是適用的，通常大部分學(xué)生掌握得都比較好，在此不再贅述。

運算律是通過對一些等式的觀察、比較和分析而抽象、概括出來的運算規(guī)律。小學(xué)階段的運算律，主要包括交換律（加法及乘法）、結(jié)合律（加法及乘法）與分配律（乘法對加法或乘法對減法）。

1.交換律

交換律是一個和二元運算及函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)。而若交換律對于特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是“可交換”的。可見，交換律的核心在于“可交換”?！翱山粨Q”一詞被使用于如下3個相關(guān)的概念中。一是在集合S上的一元和二元運算?中被稱之為“可交換”的：若x?y=y?x（?x，y∈S），一個不滿足上述性質(zhì)的運算則稱之為“不可交換”的。二是若稱x在?下和y“可交換”，即表示：x?y=y?x。三是一元和二元函數(shù)f：A×A→B被稱之為“可交換”的，若f（x，y）=f（y，x）（?x，y∈A）。交換律在數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)證明中的廣泛應(yīng)用，證明了其在整個數(shù)學(xué)體系中的基礎(chǔ)地位。如在群論和集合論中，若其中的運算域滿足交換律，則這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)被稱做是“可交換”的。如上所述，“可交換”及“廣泛應(yīng)用”可視為交換律的基本特征。

2.結(jié)合律

在數(shù)學(xué)中，結(jié)合律是二元運算下可以具備的一個性質(zhì)，指在一個包含有2個以上的可結(jié)合“算子”的表示式，只要“算子”的位置沒有改變，其運算的順序就不會對運算結(jié)果有影響。即重新排列表示式中的括號并不會改變其值。其定義是：形式上，一個在集合S上的二元運算?被稱之為“可結(jié)合”的，若其滿足（x?y）?z=x?（y?z）（?x，y，z∈S）。運算的順序并不會影響到表示式的值，且可證明這在含有“任意”多個運算的表示式之下也依然是成立的。

由此發(fā)現(xiàn)，交換律和運算律的相同之處是：運算順序發(fā)生改變但結(jié)果不變。而這恰恰也是它們的本質(zhì)屬性，即“可交換”與“可結(jié)合”的前提條件是“運算值不變”。同時，交換律和結(jié)合律也有明顯的不同，即交換律中“算子”（加數(shù)或因數(shù)）的位置可以改變但結(jié)合律中“算子”（加數(shù)或因數(shù)）的位置不允許發(fā)生改變。

3.分配律

分配律是離散信號卷積和運算最常用的幾個基本運算規(guī)則之一，離散序列卷和運算滿足分配律，即兩個序列先行相加運算再與第3個序列做卷積和運算，其結(jié)果等于這兩個序列分別與第3個序列先做卷積和運算，然后二者再相加，即：

[f1（k）+f2（k）]·f3（k）=f1（k）·f3（k）+f2（k）·f3（k）

給定集合S上的兩個二元運算×和+，若對任意S中的a，b，c有c×（a+b）=（c×a）+（c×b），則稱運算×對運算+滿足左分配律。若對任意S中的a，b，c有（a+b）×c=（a×c）+（b×c），則稱運算×對運算+滿足右分配律。

借助系統(tǒng)論和集合論的內(nèi)容來開闊視野，使我們對乘法分配律的理解更加深刻，即乘法分配律可看作為3個“序列（數(shù)）”之間的“卷和運算（乘法和加法）”，它不僅滿足乘法對加法的左（右）分配律，同時乘法對減法的左（右）分配律也是成立的。需要指出的是，除法對加法及減法只滿足右分配律，其對加、減法的左分配律是不成立的。

（二）尋求合理簡潔解決問題的運算途徑

學(xué)生在掌握運算法則和運算律的前提下，如何尋求合理簡潔的運算途徑來解決問題？靈活運用所學(xué)知識（即運算法則和運算律）就是實現(xiàn)巧算與簡算的關(guān)鍵。靈活性是重要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)之一，是指善于根據(jù)客觀實際情況的變化而及時改變原來的工作計劃或解決問題的思路與方案。思維的靈活性表現(xiàn)為：不囿于過時的方案，而善于根據(jù)實際情況的變化靈活地改變原有方案，采用新的方法、途徑去解決問題。具體從以下三個角度來進行分析。

1.建立良好的簡算結(jié)構(gòu)

美國著名教育家布魯納曾指出：“掌握一個學(xué)科的結(jié)構(gòu)是理解該學(xué)科的一種方式，使許多其他相關(guān)的事物有意義。簡而言之，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物相關(guān)性……舉一個數(shù)學(xué)例子，代數(shù)是在方程式中排列已知和未知內(nèi)容的一種方式，從而使未知變成已知?！边@涉及三個基本法則：交換律、分配律和結(jié)合律。學(xué)生一旦掌握了這三個基本法則所體現(xiàn)的理念，他就能認(rèn)識到“新”方程式其實并不難理解。

培養(yǎng)靈活簡算能力、形成簡化素養(yǎng)，教師先要引導(dǎo)學(xué)生建立應(yīng)用運算律進行簡便計算的基本結(jié)構(gòu)，即交換律、結(jié)合律、乘法分配律、減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)、除法的右分配律、商不變的性質(zhì)等。然后，要使學(xué)生對簡算結(jié)構(gòu)的“標(biāo)準(zhǔn)正例”（與簡算結(jié)構(gòu)形式上完全相同）或“非標(biāo)準(zhǔn)正例”（與簡算結(jié)構(gòu)相比形式上有變化，但實質(zhì)相同）能做出清晰的認(rèn)知，進而準(zhǔn)確判斷計算中能否簡算，該利用何種結(jié)構(gòu)簡算。例如，計算25×39×4，這屬于交換律的“標(biāo)準(zhǔn)正例”，所以可直接利用運算律進行簡算，即25×39×4=25×4×39=100×39=3900;再如，計算350×18，這不屬于交換律的“標(biāo)準(zhǔn)正例”，無法直接簡算，但是如果把18拆分成2×9，即350×18=350×（2×9）;此時，便可參照簡算結(jié)構(gòu)中的結(jié)合律進行簡算，即350×18=350×（2×9）=350×2×9=700×9=6300。

2.基于結(jié)構(gòu)進行狀態(tài)轉(zhuǎn)換

按照以往教學(xué)經(jīng)驗，參照前面引用的兩個例題（350×18及600÷25）可知，學(xué)生在面對簡算的“非標(biāo)準(zhǔn)正例”時，相較于“標(biāo)準(zhǔn)正例”要困難得多，這就需要培養(yǎng)學(xué)生具備“狀態(tài)轉(zhuǎn)換”的能力。

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，問題解決就是在問題空間中搜尋解決路徑，即“算子”（與前文中的“算子”意義不同），也就是問題由“初始狀態(tài)”向“目標(biāo)狀態(tài)”轉(zhuǎn)變的過程。找尋“算子”的時間越短、問題解決的“中間狀態(tài)”越少，即可視為問題解決的能力越強。結(jié)合簡算教學(xué)，這一理論也很有指導(dǎo)意義，如計算600÷25，首先要對問題深刻理解，即這是一道整數(shù)除法的計算題，不屬于簡算的“標(biāo)準(zhǔn)正例”，無法直接簡算;其次，要進行“狀態(tài)轉(zhuǎn)換”，即是否可以通過數(shù)的拆解或組合形成某種簡算結(jié)構(gòu)，進而嘗試變化為（600×4）÷（25×4）=600÷25，符合“標(biāo)準(zhǔn)正例”（商不變的性質(zhì)），可以簡算;最后，要實施簡便計算，使問題得以解決，即600÷25=（600×4）÷（25×4）=2400÷100=24。

由此可以看出，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)的湊整”意識對于簡算是格外重要的。我們要意識到，在小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)的運算中，整十、整百、整千、整萬的數(shù)總能使計算變得更加簡單。因此，教師要在平時的運算教學(xué)中，適時滲透“數(shù)的湊整”意識。例如，72與28的和是100，250與4的積是1000，1.25與8的積是10，1.37與0.37的差是1，101可以看成100+1，98可以看成100-2，等等;要引導(dǎo)學(xué)生通過“狀態(tài)轉(zhuǎn)換”，盡可能地把數(shù)或式轉(zhuǎn)換成整十、整百、整千、整萬的數(shù)，進而實施簡便計算，提升簡化素養(yǎng)。

3.適時提供反例進行比較

把握事物的本質(zhì)，僅僅從正例（“標(biāo)準(zhǔn)正例”與“非標(biāo)準(zhǔn)正例”）入手肯定是不夠的，還需要適時提供一些反例，引導(dǎo)學(xué)生進行比較，以達(dá)到對事物的內(nèi)涵及外延更深層次的理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運算”內(nèi)容中，往往會看到一些形似簡算結(jié)構(gòu)實質(zhì)卻無法簡算的計算題。例如，750÷25×4，出于“數(shù)的湊整意識”，很多學(xué)生可能馬上想到25×4=100，所以進行簡算：750÷25×4=750÷（25×4），顯然這種思路是錯誤的。

如何克服這種思維的局限性？提供正、反例進行比較，在此可視為一種有效的嘗試，即出示750÷25÷4與750÷25×4，引導(dǎo)學(xué)生進行比較。通過分析不難得出，750÷25÷4符合簡算結(jié)構(gòu)（即除法的性質(zhì)）可以簡算，即750÷25÷4=750÷（25×4）。而750÷25×4不符合簡算結(jié)構(gòu)，只能按照運算順序進行計算。

這也啟示我們，思維的靈活、計算的快捷固然是對“數(shù)的運算”的追求，但對簡算的實質(zhì)理解從某種程度上來說更為重要，即“可不可以這樣做”“為什么可以這樣做”比“怎樣做”更重要，它關(guān)乎著運算的方向與運算結(jié)果的對錯。

三、注重簡化素養(yǎng)的滲透方式

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中解決簡算不“簡”的問題，教師除了要注重培養(yǎng)簡化意識，幫助學(xué)生牢固掌握簡化方法之外，還應(yīng)注重簡化素養(yǎng)的滲透方式。

（一）注重化歸思想的滲透

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，應(yīng)被看成數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)之一，其途徑在于以思想方法的分析促進知識技能的教學(xué)。我認(rèn)為，在數(shù)的簡算教學(xué)中應(yīng)突出化歸的思想方法，即事物基于規(guī)則，由某種狀態(tài)轉(zhuǎn)變成另一狀態(tài)。課堂教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生將算式由“變化結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)變成“標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”，將問題由“初始狀態(tài)”不斷逼近“目標(biāo)狀態(tài)”，進而找到方法去解決問題。例如，48×25可以轉(zhuǎn)化成12×4×25、6×8×25及40×25+8×25，101×56可以轉(zhuǎn)化成100×56+56，等等。從這個意義上說，培養(yǎng)學(xué)生的簡算能力，實質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生的問題轉(zhuǎn)換能力。

（二）注重優(yōu)化意識的滲透

在“數(shù)的運算”教學(xué)中，運算方法的多樣化和優(yōu)化一直是頗受關(guān)注的話題。多樣化，即倡導(dǎo)學(xué)生對知識的主觀建構(gòu)，尊重學(xué)生對知識的主觀理解;優(yōu)化，即尊重知識的客觀意義，還原知識的真實面目。在具體教學(xué)中，我們應(yīng)努力做到二者的必要平衡與統(tǒng)一，即鼓勵算法的多樣化，但也要做好必要的優(yōu)化。例如，計算98+375，我們可有多種計算方法：90+8+375、95+3+375、100-2+375、98+300+75、98+372+3、98+2+373等。這些計算方法都是正確的（即符合數(shù)的分解與組成規(guī)則），但顯然100-2+375與98+2+373兩種算法更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡化特性，即把復(fù)雜的問題變得簡單，把簡單的問題變得更簡單。所以，多樣化之后的比較和優(yōu)化就很有必要。

（三）注重元認(rèn)知能力的滲透

根據(jù)美國心理學(xué)家弗拉維爾的觀點，元認(rèn)知就是對認(rèn)知的認(rèn)知，具體地說，是個人對自己認(rèn)知過程的認(rèn)識和調(diào)節(jié)這些過程的能力以及對思維和學(xué)習(xí)活動的認(rèn)知和控制。簡而言之，元認(rèn)知就是對自己認(rèn)知過程和認(rèn)知結(jié)果的監(jiān)控與調(diào)節(jié)。

結(jié)合簡算教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力就顯得十分重要，這是因為，在解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算問題過程中，學(xué)生往往不能很快找出合理、簡潔的運算路徑，而需要不斷往返地進行猜想、嘗試、調(diào)整。對于具有一定元認(rèn)知能力的學(xué)生而言，其在此過程顯然游刃有余、得心應(yīng)手，可以快速在不同思維環(huán)節(jié)靈活轉(zhuǎn)換，從而更快、更好地解決問題。

對于教師而言，我們不應(yīng)僅僅停留在“求得問題的解答”這一層面，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：解決問題時我們用了什么方法？這種方法合理嗎？是否還有更簡潔的方法？促使學(xué)生對認(rèn)知過程和認(rèn)知結(jié)果實施評估和監(jiān)控，在解決問題的同時提升元認(rèn)知能力。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁。”可見，數(shù)學(xué)的簡化特性不僅給人們的工作和生活帶來了方便，也對社會和科學(xué)各領(lǐng)域快速發(fā)展起到了一定的助推作用。因此，引領(lǐng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中感悟數(shù)學(xué)簡化之美、體會數(shù)學(xué)簡化的價值、培育良好的數(shù)學(xué)簡化素養(yǎng)，非常重要。

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（責(zé)任編輯：楊強）