構(gòu)建“方”與“圓”的聯(lián)系，延伸數(shù)學思維的觸角

虢小鵬

圓在小學數(shù)學“圖形與幾何”板塊有著重要的地位，學生對圓的面積推導相對直邊圖形的面積推導要困難許多。學生要探索并掌握圓的面積公式，發(fā)現(xiàn)圓的面積公式與其他平面圖形面積公式的聯(lián)系和區(qū)別，尋求問題解決的思路，獲取理性的認知。六年級上冊“圓”這一單元，在小學數(shù)學“圖形與幾何”板塊有著重要的地位，特別是“圓的面積”推導，相對低年級時學習的直邊圖形的面積推導，學生在理解和掌握上顯得困難重重。圓的面積學習的目標行為動詞為“探索”和“掌握”——探索并掌握圓的面積公式，也就是要求學生經(jīng)歷圓面積公式的探究過程，發(fā)現(xiàn)圓與已學過的平面圖形存在的聯(lián)系和區(qū)別，從而找到研究的方向和思路，并獲得理性、嚴謹?shù)恼J知。

從縱向來看學生所要學習的數(shù)學知識，“圓”的學習是學生在整個“形”的認識過程中，由“直邊”進入“曲邊”的重要一步，數(shù)學思想從“有限”踏入“無限”的關(guān)鍵一環(huán)。在“圓的面積”一課中，在學生已有的直邊圖形面積公式推導過程中的“化歸思想”，在圓的面積計算公式推導中同樣適用;在推導過程中，學生的思維需要實現(xiàn)化曲為直，實現(xiàn)有限和無限、近似和精確的轉(zhuǎn)換，這是一個科學辯證過程。在這個過程中，運用了極限思想和極限方法。面積是一個二維概念，學生能直觀地感受到它所占的區(qū)域具有一定的大小。在授課之初，教師要對其度量意義有一定的認識：一是邊長為1個單位長度的正方形作為面積單位;二是“運動不變性”，即圖形經(jīng)過有限次的平移、旋轉(zhuǎn)后面積大小不變;三是“有限可加性”，即兩個不重疊的圖形合并的面積，等于這兩個圖形的面積之和。

一、回憶舊知，確定研究方案

圓的面積一課是在學生認識了圓的特征及其本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上展開教學的，故在教學圓的面積前，要準確把握學生已有的知識和能力水平。一是課前要進一步的溝通圓各部分與圓的面積之間聯(lián)系（半徑?jīng)Q定圓的大?。?二是要加深圓的面積相關(guān)因素的分析（半徑、直徑、周長）;三是圓面積公式探究的研究方案要細致指導（回憶長方形、正方形、平行四邊形面積公式推導過程）。必要的教學前導，能促進學生知識的正向遷移。新課伊始，要讓學生復習長方形、平行四邊形的面積公式的推導過程，總結(jié)、回憶已有的探索平面圖形面積的基本策略是數(shù)方格、轉(zhuǎn)化為已知圖形，并進一步回憶平行四邊形的面積公式的探索過程，得出剪拼、觀察、推理的活動步驟。

（1）出示大方格中的圓，提出問題：我們先用數(shù)方格的形式，得到一個圓的面積。數(shù)一數(shù)，你有什么感受？

（2）出示小方格中的圓，提出問題：你又有什么想法？要更精確還能怎么做？

學生通過回憶、遷移，發(fā)現(xiàn)運用數(shù)方格的方法，格子分得越小，越來越接近圓的面積，可以估出圓的面積的取值范圍，但是不好測量，比較麻煩，無法精確的探究曲邊圖形“圓”的面積。課堂上學生的思維自然轉(zhuǎn)移到“轉(zhuǎn)化”上，再根據(jù)教師有目的、有意義的學習任務的設(shè)計和引導，逐步明晰研究的路徑。經(jīng)歷從現(xiàn)象到本質(zhì)的認識過程是數(shù)學探究活動的著力點。在整個研究過程中，教師所設(shè)計的學習任務要讓不同層次的學生都能動手，并呈現(xiàn)不同的思維方式。學生在同伴互助和思維碰撞中實現(xiàn)知識的獲取、情感上的愉悅。班級中不同層次的學生思維的深度與廣度是不同的，根據(jù)同伴不同的思維表現(xiàn)，學生更有興趣去探究、傾聽他人的想法，完善自己的思考，進而會共同加深對圓面積公式的理解。

二、借助幾何直觀，發(fā)展推理能力

（一）化曲為直，初步體會極限思想

（1）出示圓的外切正方形和內(nèi)接正方形，你有什么想法？（正方形和圓的面積相差太大）

（2）出示正方形演變成了正八邊形，你又有什么想法？

（正八邊形與圓的面積更加接近）教師指出這就是化曲為直的數(shù)學方法。

在“轉(zhuǎn)化”環(huán)節(jié)，首先出示圓的外切正方形和內(nèi)接正方形，讓學生直觀地感受圓的面積和正方形面積的“大小”關(guān)系——圓的面積和正方形的面積相差太大。然后進行切割，得到正八邊形，再來說一說切割前后又有什么感受？通過觀察，學生自然發(fā)現(xiàn)，通過切割得到的正八邊形的面積無論是“外切”還是“內(nèi)接”都接近圓的面積了。教師適時追問：“如果用這兩種方法繼續(xù)切割下去，你覺得會怎么樣？”師生共同討論，最后達成一致意見：當切割的正多邊形的邊數(shù)越多時，它的面積就越接近圓的面積。當切的邊數(shù)足夠多時，正多邊形的面積就無限趨近于圓的面積——這就是化曲為直的數(shù)學方法。

（二）直觀想象，確定圓的轉(zhuǎn)化方向

通過剛才的觀察、討論學生會自然聯(lián)想：只要求出了所切割的正八邊形的面積，就能近似求出圓的面積。研究的問題就轉(zhuǎn)換成了：那如何計算圓內(nèi)的正八邊形得到面積呢？師生交流，將正八邊形分割成8個同樣的三角形后，可以得出三種策略：

（1）測量其中一個三角形的底和高，再計算它的面積，最后乘三角形個數(shù)得出正八邊形的面積。

（2）將分割后的8個三角形拼成一個梯形，梯形的上底等于一個三角形的底;下底等于3個三角形的底;梯形的高等于2個三角形的高。測量出它們的長度，然后運用公式算出梯形的面積，算出正八邊形的面積。

（3）將這些三角形拼成一個平行四邊形，再測量它的底和高，利用公式算出面積。

教師組織學生進行交流討論，可以得出：根據(jù)減少誤差（計算三角形面積和梯形面積時有可能出現(xiàn)不是整除的情況）的標準確定第三種轉(zhuǎn)化的策略。

緊接著教師追問：“將正八邊形轉(zhuǎn)化成平行四邊形可以求出它的面積，圓的面積又接近正八邊形，那圓能不能用剛才的辦法也求出它的面積？”

動手操作。教師先示范等分4份的情況。再出示小組活動要求：

活動目的：圓能不能轉(zhuǎn)化為平行四邊形

活動要求：1.每組2個人合作剪一個，拼成平行四邊形。

2.觀察拼成的平行四邊形，隨著等分份數(shù)的增加，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學生展開聯(lián)想：對圓也可以嘗試向正八邊形一樣平均分成若干份，然后拼成近似的平行四邊形。等分的份數(shù)越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。

（三）體會圖形運動過程，進一步感受極限思想

學生在之前的學習中已經(jīng)了解過“無限”，如直線向兩端無限延伸，自然數(shù)是無限的。“無限”概念的傳授，在小學階段，一是用有限的動態(tài)方式體現(xiàn)“無限”的過程，如“兩條直線永不相交”;二是用極限的方法處理“無限”，如圓的周長和面積探索。

而在將圓轉(zhuǎn)化成長方形的過程中，學生動手操作（剪、拼），然后通過同時呈現(xiàn)幾幅（將圓等分成4份、8份、16份、32份……）等分拼接圖進行想象：當分到足夠多份時，圓最終轉(zhuǎn)化成了長方形。學生在直觀中經(jīng)歷極限的想象過程，也就是在觀察圖形“有限分割”的基礎(chǔ)上，想象“無限分割”。首先進一步強調(diào)轉(zhuǎn)化后的圖形面積等于圓的面積;接著組織學生小組討論，自己聯(lián)系“轉(zhuǎn)化”前后圖形的關(guān)系，也就是圓的半徑等于長方形的寬，圓周長的一半等于長方形的長;最后自行推導出圓的面積公式。不同層次學生在交流中進行互相啟發(fā)，從而使各自的思維達到更深層次。

（1）理清圓和長方形之間的聯(lián)系

小組交流：觀察等分32份的情況，你發(fā)現(xiàn)圓和長方形之間有什么聯(lián)系？

（2）學生推導公式

根據(jù)你們找到的圓和長方形的關(guān)系，你能得到圓的面積公式嗎？先在組內(nèi)說一說，你們小組是如何想的？再請你寫一寫。

（3）展示學生成果

（4）回顧反思：回顧一下，我們是怎樣將一個圓轉(zhuǎn)化為長方形的？它們之間有什么聯(lián)系？如何得到圓的面積公式？

（5）介紹割圓術(shù)

在學生自主推導出“圓的面積公式”后，“頭腦風暴”式的成果交流展示是“重頭戲”。一般在平時的課堂中，在此環(huán)節(jié)教師基本有三種策略：一是從低水平到高水平的分析學生成果;二是展示最高水平的成果，再對比低水平成果中存在的問題，并進行完善和調(diào)整;三是同時對比、分析不同水平的作品，組織學生討論它們的相同點和缺憾。教師采用那種策略取決于教學內(nèi)容，學生的認知水平以及成果的完成程度也具有一定影響。“圓的面積”一課應采取第二種策略，讓學生在思維的碰撞中擦出靈感的火花，更深入探究圓的面積與半徑之間的關(guān)系，提升學習的興趣，讓不同層次學生在交流、討論中都能有所思、有所得。

在本課中，學生思維難點在“為什么最終會是一個長方形？”因為在學生看來，有限地等分成小扇形后，它們的弧依然是“彎彎”的，不是直的，所拼成的近似長方形的長是一條曲線。這里的關(guān)鍵是要在“有限”的圖形上，引導學生進行想象“無限”：當?shù)确值姆輸?shù)趨向于無限的時候，拼成的圖形才越來越接近長方形，長方形就是這個“無限圖形”的終極形態(tài)。在學生觀察想象時，要整體呈現(xiàn)多幅轉(zhuǎn)化后的圖形，著重引導學生思考拼成的圖形的變化趨勢。在這一過程中，教師要強調(diào)運動的觀點，引導學生思維向“無限”延伸，想象所拼圖形的終極形態(tài)，從而最終領(lǐng)會圓經(jīng)過無限等分后拼成的是一個真正的長方形。在推導出圓的面積公式的同時，真正體會到數(shù)學中的“極限思想”，提升學生的抽象和推理能力。

三、數(shù)學思維要在有價值的學習任務中走向深刻

圓的面積公式的推導有其特殊性，相對學習直邊平面圖形面積來說，需要學生經(jīng)過“化曲為直”來操作，有時候甚至是“以直代曲”，從而感悟“極限思想”的內(nèi)涵，在有限和無限、近似和精確中相互轉(zhuǎn)換思維，這是一個復雜的辯證過程。在教學前，教師要找準學生的知識起點;在教學中要及時掌握學生思維動態(tài)，讓學生參與連貫的、系列性的圓的面積推導過程;在教學后讓學生在知識與技能方面進行實踐，運用學習的知識、思想、方法等解釋現(xiàn)象、解決問題。直觀的圖形往往比千言萬語更能把握研究對象的的本來面貌。從內(nèi)接正方形與外切正方形聯(lián)系猜想圓的面積，再到圓的面積與其他直邊圖形面積的辯證關(guān)系，這些都可以借助幾何直觀完成，把復雜的問題形象化，把抽象的問題直觀化。在學生的整個學習過程中，既有歸納（合情推理），也有演繹（邏輯推理），二者相輔相成。學生在一系列的觀察、猜想、驗證等探究學習活動中，以“割補法”為推理起點，聯(lián)系長方形面積公式，并進行歸納，得到推理的結(jié)果：圓的面積等于無限分割后所拼成長方形的面積。

在小學數(shù)學課堂教學中，數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學思維的培養(yǎng)，不僅要看結(jié)果，更要重視積累的過程;不僅要引導學生對原有經(jīng)驗的內(nèi)化，更要促進學生新的生成經(jīng)驗。在平時的教學實踐中，教師要善于建構(gòu)教材，對知識的前后聯(lián)系和影響要做到心中有數(shù)，通過巧妙的教學設(shè)計將數(shù)學活動經(jīng)驗和數(shù)學思想方法直觀地呈現(xiàn)在學生面前，幫助學生形成知識脈絡，促進經(jīng)驗的正向遷移和內(nèi)化，讓學生學會舉一反三，靈活運用和遷移已有的經(jīng)驗解決實際新的問題，以此推動學生多元思維的發(fā)展。

總之，高質(zhì)量的“交流”源于值得交流的數(shù)學活動，而承載“值得交流”的，是教師精心設(shè)計的有挑戰(zhàn)性的學習任務，這樣的任務使學生經(jīng)歷真研究、真思考、真理解，從而形成富有生命力的課堂。這樣的課堂教學對學生來說，是自信的開端、求知的呼喚、精神的愉悅和個性的彰顯;而對教師來說，是經(jīng)驗的分享、智慧的傳遞、心靈的溝通與真情的交融。

（邱瑞玲）