基于代數(shù)思維探索“運算定律”單元整體教學路徑

張平 裘一能

【摘要】本文以“代數(shù)思維”這個大概念為切口，溯源“運算定律”單元教學短板，重組“運算定律”單元教學序列，在確定重組思路、說明重組意圖、以重組課例落實課堂教學五策略的過程中，緊緊握住本單元教學本質(zhì)，以準變量思維引領(lǐng)學生由算術(shù)思維逐漸向代數(shù)思維過渡。

【關(guān)鍵詞】代數(shù)思維 運算定律 準變量思維 單元整體教學

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）04-0073-03

人教版教材四年級下冊第三單元“運算定律”主要教學加法的交換律、結(jié)合律以及乘法的交換律、結(jié)合律、分配律，用字母表征運算定律是代數(shù)思維在本單元的直接表達，這種表達方式在小學高年級乃至初中將被一直沿用。五條運算定律作為“數(shù)學大廈的基石”，在整個運算定律系統(tǒng)中發(fā)揮著重要的奠基作用。因此，本單元亦可稱為運算定律教學的“種子單元”。

人教版《義務(wù)教育教科書教師教學用書·數(shù)學四年級下冊》（以下簡稱《四下教學用書》）在“運算定律”單元的備課資料中，提供了一篇《代數(shù)思維及其教學》的文章，意在提醒教師關(guān)注本單元教學中的代數(shù)思維滲透。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師并未認真閱讀此文，自然也沒有關(guān)注到代數(shù)思維這個概念。鑒于“運算定律”單元在運算定律教學中的獨特地位，本文將以“代數(shù)思維”這個大概念為切口，揭示本單元知識間的縱橫聯(lián)系，進而構(gòu)建“運算定律”單元整體教學的基本路徑。

一、單元整體教學的價值探討

數(shù)學學習內(nèi)容的本質(zhì)決定了教學的主旨和方向。我們認為，“運算定律”單元學習內(nèi)容與代數(shù)思維有極大關(guān)聯(lián)。首先，所謂代數(shù)，顧名思義就是用字母或圖形符號等表示數(shù)。其次，代數(shù)思維與算術(shù)思維的本質(zhì)不同在于：算術(shù)思維是從條件出發(fā)，利用具體的數(shù)量計算來記錄思考的過程，左邊表示具體的計算，右邊則是計算的結(jié)果;代數(shù)思維研究的對象則是代數(shù)式及其運算與變換，是通過聯(lián)系條件與問題，利用數(shù)量相等建立關(guān)系并將這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為表達式結(jié)構(gòu)的過程，其數(shù)學本質(zhì)是對等關(guān)系。因此，代數(shù)思維既有代數(shù)的結(jié)構(gòu)化和符號化特點，又有數(shù)學思維的抽象化和概括化特點。從單元整體教學出發(fā)，本單元的教學價值主要體現(xiàn)在兩個方面。

（一）突顯基礎(chǔ)目標

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011年版數(shù)學課標》）關(guān)于第二學段（4—6年級）課程內(nèi)容“數(shù)的運算”中有如下表述：探索并了解運算律，會應(yīng)用運算律進行一些簡便運算。將運算律與簡便運算相提并論，關(guān)注了運算律的應(yīng)用。人教版教材采用不完全歸納法抽象概括五條運算定律，并用字母式表征運算定律，體現(xiàn)了代數(shù)思維中的結(jié)構(gòu)化和符號化特點，為定律系統(tǒng)建立了基本模型。

（二）設(shè)計分層目標

從基礎(chǔ)目標出發(fā)，設(shè)計“運算定律”單元的第一層次目標，應(yīng)是讓學生學會在一組相等的式子中厘清對等關(guān)系，發(fā)現(xiàn)對等思想的本質(zhì)，從中歸納概括相應(yīng)的運算律;第二層次目標，應(yīng)是讓學生學會靈活運用運算定律進行簡便計算。

二、“運算定律”教學的短板溯源

（一）“運算定律”教學短板分析

在“運算定律”單元教學中，一線教師更加注重引導學生理解整數(shù)四則運算的意義，體會運算之間的關(guān)系，選擇合理的算法運用運算定律，而往往忽視了運算定律產(chǎn)生及運用的前提是式與式之間的對等關(guān)系。

人教版教材將“運算定律”單元排在了“四則運算”單元之后，目的就是告訴師生，運算定律必須遵循四則運算規(guī)則，在對四則運算的原式進行變式的過程中必須確保變式前后式與式的對等關(guān)系。然而，教師在教學中因為忽略了對“對等關(guān)系”的強化，導致學生在進入簡便計算后很容易產(chǎn)生各種認知沖突。如，很多小學生會有這樣的疑問：35×49+35×51按照原先講的四則運算的順序，應(yīng)該先計算乘法，再將它們的積相加;為什么到了簡便計算時又可以先算加法了呢？更多學生在學了運算定律和簡便計算后，在進行一般的四則混合運算時錯誤率反而升高，原因竟是“亂用定律”“強行簡便計算”所致。

毫無疑問，靈活運用運算定律是數(shù)學教師對學生的共同期盼。但現(xiàn)實是，很多學生不會靈活運用運算定律。于是，教師落入俗套的做法便是多練，試圖以練促活，或者借一題多解訓練學生靈活運用運算定律進行簡便計算的技能，但結(jié)果總是不盡如人意。

（二）“運算定律”教學短板歸因分析

從教材層面講，“運算定律”單元編排體系清晰。8個例題都是從情境出發(fā)，通過不同方法的列式計算，得出兩個相等的式子;再通過類似例子的枚舉，歸納出運算定律。這樣的編排，最顯性的體現(xiàn)就是引導教師從形的角度入手，帶領(lǐng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出定律，形成建模。而對等思想的呈現(xiàn)與字母式歸納成模只是浸潤在教材當中，代數(shù)思維的培養(yǎng)相對隱蔽，容易被忽略。

從教師層面講，多數(shù)教師對“運算定律”的教學是建立在經(jīng)驗與目標表象之上的，很少去深層次理解運算定律背后所蘊含的數(shù)學思維的本質(zhì)。

三、單元整體教學的序列路徑

（一）教學重組的基本思路

首先，立足學科高度，從具體內(nèi)容出發(fā)確立向“代數(shù)思維”過渡的大概念，形成由“對等”主線貫穿的單元知識體系。

其次，根據(jù)《2011年版數(shù)學課標》要求和學情分析，借助代數(shù)思維早期孕伏階段的學情基礎(chǔ)，在單元整體教學中啟用準變量思維，解決算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的難題。準變量思維的主要對象是非符號化的語句或表達式，其本質(zhì)是一種整體性思維、關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維，而運算定律中的對等思想便是關(guān)系思維的一種。如，第一學段的人教版教材中便已經(jīng)孕伏了與交換律、結(jié)合律、分配律相關(guān)的一些練習，如圖1所示。

最后，運用符號系統(tǒng)促進代數(shù)思維在“運算定律”單元整體教學的落地實施。

（二）重組序列的課時說明

“運算定律”單元，《四下教學用書》建議用7個課時。在“代數(shù)思維”大概念引領(lǐng)下，我們將本單元的學習內(nèi)容劃分成對等中的交換律（第一課時）、對等中的結(jié)合律（第二課時）、對等中的減法和除法的簡便計算（第三、第四課時）、對等中的分配律（第五、第六課時）四個學習板塊，并另辟了一個運算定律融合練習板塊（第七課時），如表1所示。

教學內(nèi)容重組，希望達成如下教學意圖：第一，讓準變量思維架接交換律思維的困點?！皫е柊峒摇笔沁B加連乘與減法除法交換位置進行計算的有效方法。通常情況下，加法和乘法交換對等，學生比較容易接受;但減法和除法中的交換對等，學生較難處理。而準變量思維有助于學生突破減法和除法交換對等的困境。第二，讓準變量思維點亮結(jié)合律思維的盲點。去、添括號是加減混合運算、乘除混合運算中的“結(jié)合”盲點，同號結(jié)合易，異號結(jié)合難。借助準變量思維連接，找準去、添括號后的相等關(guān)系，是結(jié)合律教學的重點。第三，讓準變量思維突破分配律學習的難點。分配律的運用一般包含著幾個幾加減幾個幾“等于”幾個幾的準變量思維內(nèi)涵。找準相同因數(shù)個數(shù)相等由淺入深地突破分配律的內(nèi)涵，消除為何乘法分配律中有加減的疑惑，感受分配對等下的定律。

重組后的教學，應(yīng)緊緊圍繞“代數(shù)思維”的大概念，在準變量思維牽引下，讓學生感受交換、結(jié)合、分配等方法，靈活運用“湊整”“相消”等計算工具完成巧算，得出相應(yīng)的運算定律，進而形成“內(nèi)核本質(zhì)出發(fā)→實踐運用落實→代數(shù)符號表征”的教學序列。

（三）重組教學的課例枚舉

基于代數(shù)思維進行運算定律單元整體教學，我們以“分配律”教學為例，探討如何在教學實踐中落實我們的前期思考，讓“運算定律”單元整體教學走在代數(shù)思維相伴發(fā)生的路上。

策略一：喚醒早期代數(shù)思維經(jīng)驗，形成對對等的直視。

出示情境：在嘉年華活動中買套環(huán)，購買紅色125個、藍色25個，每個4元，一共多少錢？

師：你會求嗎？會用幾種方法求？（要求不計算，只列式）

學生呈現(xiàn)兩種方法：125×4+25×4和（125+25）×4。兩種方法寫成等式是125×4+25×4=（125+25）×4。

師：“相等”體現(xiàn)在哪里？

生：都是求150個4，兩個式子相等。

設(shè)計意圖：以上情境，用于喚醒學生早期的代數(shù)思維經(jīng)驗。要求只列式不計算，旨在將學生的關(guān)注點引向式子之間的關(guān)系：如若進行結(jié)果計算，容易對關(guān)系探索產(chǎn)生負遷移;弱化因果計算，便可以讓學生集中精力從表達意義上感受式與式之間的相等。

策略二：相等關(guān)系多層表達，建立對對等的代數(shù)深思。

師：你能用畫圖、寫意義、算結(jié)果、建聯(lián)系等多種方法來表示這兩個式子都是在求150個4嗎？很直觀地讓我們看到這兩個式子確實存在相等的關(guān)系。

學生實踐，表達交流。

設(shè)計意圖：“相等”作為運算定律應(yīng)用的首要條件，可以通過畫圖、寫意義、算結(jié)果、建聯(lián)系四個不同的角度加以說明。這種相等思維超越因果，構(gòu)成聯(lián)系，是對對等的代數(shù)深思。

策略三：代數(shù)思維一舉勾連，跨越式發(fā)展形成符號表征。

師：你能舉一個類似的例子嗎？

生1：蘋果和梨各5千克，蘋果3元一千克，梨8元一千克，共多少錢？

生2：客車每小時行65千米，貨車每小時行36千米，兩車同時出發(fā)，7小時后相遇，兩地相距多少千米？

……

讓學生先列出等式，再交流下面的問題：你能用一個式子把這些例子中所要表達的關(guān)系表示出來嗎？

生順利列出等式（a+b）×c=a×c+b×c。

設(shè)計意圖：每個例子都能形成一個等式，完成關(guān)系的勾連。一組等式用字母式表征，則是對式與式關(guān)系的勾連。代數(shù)思維是形成勾連的前提，字母式表示運算定律是形成勾連的結(jié)果。

策略四：準變量思維助力，搭建計算思維向代數(shù)思維過渡的橋梁。

師：式子對等在計算上有用嗎？

生：可以讓計算簡單。如65×7+35×7，先乘后加計算復雜;（65+35）×7，先加后乘容易。

師：101×36，你能在找相等的幫助下進行計算嗎？

生：101=100+1，式子就成了（100+1）×36，分配計算就簡單了。

設(shè)計意圖：小學數(shù)學中經(jīng)常用到準變量思維。101=100+1這類對等的式子是運算定律建構(gòu)的前提。在課堂教學中強化師生討論，對學生進行準變量思維的啟發(fā)、引導，有助于學生從計算思維向代數(shù)思維順利過渡。

策略五：多層次遞進練習，代數(shù)思維助推分配律活用。

層次1.判斷下面哪些算式運用了乘法分配律。

（1）132×3+132×7=132×（3+7）

（2）25×（4×6）=25×6×4

（3）9×a+a×6=（9+6）×a

層次2.根據(jù)運算定律填空。

18×（11+12）=18×（? ）+12×（? ）

52×a-（? ）×b=（? ）×（a-b）

層次3.填空。

（1）在（? ）里填上合適的數(shù)，并進行簡便計算：25×（? ）+43×（? ）

（2）在橫線上填寫數(shù)與運算符號，使式子能簡便計算：25×43

設(shè)計意圖：層次性練習由淺入深，在代數(shù)思維的助推下，學生靈活運用乘法分配律的能力得以形成。

總之，基于代數(shù)思維這個大概念開展“運算定律”單元整體教學，握住的是本質(zhì)核心，邁向的是深度思維，實現(xiàn)的是教學通透。

參考文獻

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[2]頓繼安，何彩霞.大概念統(tǒng)攝下的單元教學設(shè)計[J].基礎(chǔ)教育課程，2019（18）：6-11.

作者簡介：張平（1983— ），小學一級教師，研究方向為小學數(shù)學教學;裘一能（2002— ），在讀本科，研究方向為小學數(shù)學教學。

（責編 白聰敏）