基于遺傳算法求解一類分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程反問題

邱中龍,胡彬,王澤文

(東華理工大學(xué) 理學(xué)院,江西 南昌 330013)

眾所周知,分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程已成功應(yīng)用于許多反常擴(kuò)散物理現(xiàn)象的建模中[1-3]。為了更好地對(duì)反常擴(kuò)散物理現(xiàn)象建模,多分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的時(shí)間擴(kuò)散方程被提出來,一些學(xué)者對(duì)之進(jìn)行了細(xì)致研究[4-7]。設(shè)Ω是空間?d中具有光滑邊界?Ω的有界開區(qū)域(1≤d≤3),為Ω的閉包,并設(shè)T＞0,本文考慮如下多時(shí)間分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的擴(kuò)散方程:

其中u＝u(x,t)為某種物理量在空間x點(diǎn)t時(shí)刻的分布,q1,q2,…,qS是正常數(shù),β1,β2,…,βS是時(shí)間分?jǐn)?shù)階階數(shù)且滿足:

定解問題(1)中的時(shí)間分?jǐn)?shù)階均指卡普托(Caputo)型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),即:

同時(shí),設(shè)aij(x)∈C1()和c(x)∈C(),且c(x)≤0,以及存在常數(shù)μ＞0,使得:

這里C()表示在上連續(xù)的函數(shù)全體,C1()表示在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)全體。

現(xiàn)實(shí)物理世界中,擴(kuò)散方程中分?jǐn)?shù)階階數(shù)βs、常數(shù)系數(shù)qs以及反應(yīng)系數(shù)C(x)可能是未知的,需要通過附加的測(cè)量數(shù)據(jù)來確定它們,這就是分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程反問題需要研究的內(nèi)容之一。文獻(xiàn)[8]研究了識(shí)別多分?jǐn)?shù)階階數(shù)的反問題,在已知分?jǐn)?shù)階個(gè)數(shù)的前提下,作者利用邊界內(nèi)部某個(gè)點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù),通過同倫正則化算法識(shí)別多分?jǐn)?shù)階的階數(shù)。文獻(xiàn)[9]考慮了在時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中同時(shí)重建空間源項(xiàng)和分?jǐn)?shù)階階數(shù)的反問題,在不同的觀測(cè)數(shù)據(jù)下,分別證明了一維和二維情形下反問題解的唯一性,構(gòu)造了一種交替最小化的數(shù)值反演算法。

本文主要考慮以下兩個(gè)反問題:

反問題I: 假設(shè)q1,q2,．．．,qS,aij(x),c(x)和u0(x)均已知,且分?jǐn)?shù)階項(xiàng)數(shù)S已知,由數(shù)據(jù)u(x0,t),t∈I?[0,T]識(shí)別分?jǐn)?shù)階階數(shù)β1,β2,…,βS;

反問題II: 假設(shè)aij(x)和u0(x)均已知,分?jǐn)?shù)階項(xiàng)數(shù)S已知,由附加數(shù)據(jù)u(x0,t),t∈I?[0,T],重建q1,q2,．．．,qS和β1,β2,…,βS。

上述反問題的唯一性已在文獻(xiàn)[5]中得到證明,在此以下述引理形式給出該結(jié)論:

引理1設(shè)d＝1時(shí)有u0(x)∈C()和2≤d≤3時(shí)有u0(x)∈C1()。u是定解問題(1)的解,v是下述定解問題:

其中aij(x)∈C1()且滿足(5)、c(x)∈C()且c(x)≤0。對(duì)于給定x0∈Ω,若u(x0,t)＝v(x0,t),t∈I,則有βs ＝αs,qs＝rs,s＝1,2,…,S。

對(duì)于應(yīng)用遺傳算法求解非線性問題,已經(jīng)有些學(xué)者進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[10]將爬山算法和傳統(tǒng)遺傳算法相結(jié)合,提出一種求解非線性方程組的改進(jìn)遺傳算法。文獻(xiàn)[11]為了優(yōu)化傳統(tǒng)多址通信信道編碼的效率以及誤碼率,提出基于遺傳算法的多址通信信道編碼優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[12]基于最大熵法引入拉格朗日乘子構(gòu)建樣本可能的概率密度函數(shù),而后將拉格朗日乘子的求解轉(zhuǎn)化為最小值優(yōu)化問題,并利用遺傳算法的尋優(yōu)功能搜索問題的全局最優(yōu)解,從而得出了最大熵法與遺傳算法在確定數(shù)據(jù)概率密度函數(shù)中的有效性和可行性。文獻(xiàn)[13]將無功優(yōu)化規(guī)劃可歸結(jié)為非線性的條件組合優(yōu)化問題,然后利用遺傳算法進(jìn)行求解,但其在遺傳算法的基礎(chǔ)上對(duì)一些環(huán)節(jié)做出相應(yīng)的改進(jìn),利用靈敏度加強(qiáng)算法的交叉、變異性,使得遺傳算法在求取全局最優(yōu)解時(shí)有著更好的表現(xiàn),進(jìn)而使得算法整體的效率得到提升。

對(duì)于時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程反問題,文獻(xiàn)[14]考慮了由柯西(Cauchy)數(shù)據(jù)重建方程中的分?jǐn)?shù)階階數(shù)和零階項(xiàng)系數(shù)的反問題。文獻(xiàn)[15]研究了一類同時(shí)重建分?jǐn)?shù)階階數(shù)和初始分布的反問題,證明了反問題的解是唯一的。本文考慮一類多個(gè)時(shí)間分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的擴(kuò)散方程反問題,將識(shí)別分?jǐn)?shù)階階數(shù)及其系數(shù)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題,然后利用遺傳算法求解該優(yōu)化問題,算法過程中正問題的解法與文獻(xiàn)[8][16]類似。本文接下來的安排如下:第二小節(jié)將反問題建模為優(yōu)化問題并給出基于遺傳算法的求解方案;第三小節(jié)介紹了如何利用精確數(shù)據(jù)和噪聲數(shù)據(jù)對(duì)反問題進(jìn)行數(shù)值模擬;第四小節(jié)給出結(jié)論。

1 基于遺傳算法的數(shù)值反演方案

1．1 反問題的建模

記m(t)＝u(x0,t),t∈I?[0,T]。設(shè)m(t)測(cè)量數(shù)據(jù)為mδ(t),滿足:

其中δ是誤差水平。記f ＝(β1,β2,…,βS)T或者f＝(β1,β2,…,βS,q1,q2,…,qS)T,并記對(duì)應(yīng)于f的正問題的解(1)為u(f)(x0,t)。于是,可將反問題歸結(jié)為極小化泛函:

在極小化問題(7)中,u(f)(x0,t)通過有限差分方法計(jì)算得到。接下來,我們以Ω ＝(0,l)為例說明正問題的有限差分方法,并記此時(shí)的aij(x)為D(x),且D(x)∈C1[0,l]和D(x)＞0,x∈[0,l]。

首先,將區(qū)域[0,l]×[0,T]劃分為M×N網(wǎng)格,其上的網(wǎng)格點(diǎn)為(xm,tn),且xm＝mh(m＝0,1,…,M),tn＝nτ(n＝0,1,…,N),其中空間步長,時(shí)間步長,網(wǎng)格比為。記,Dm＝D(xm),cm＝c(xm)。

然后,根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義(3),可將其直接離散為:

對(duì)于(1)中第一個(gè)方程的右端,采用具有二階精度的數(shù)值微分公式離散為:

最后,在(8)(9)兩式中舍去高階小量,即得到(1)中第一個(gè)方程的有限差分格式:

即為:

對(duì)于m＝1,2,…,M-1,將上式簡(jiǎn)記為:

其中:

至此,得到了計(jì)算u(f)(x0,t)的有限差分格式(11)。

其中B ＝b[ij]M-1×M-1,且:

1．2 基于遺傳算法的求解方案

遺傳算法(Genetic Algorith m)最早是由美國的約翰·霍蘭德(John holland)于20世紀(jì)70年代提出的,該算法是根據(jù)大自然中生物體進(jìn)化規(guī)律而設(shè)計(jì)的,利用計(jì)算機(jī)仿真運(yùn)算,將問題的求解過程轉(zhuǎn)換成類似生物進(jìn)化中的染色體基因的交叉、變異等過程。遺傳算法已被人們廣泛地應(yīng)用于組合優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)以及信號(hào)處理等領(lǐng)域。

對(duì)于反問題I,將待識(shí)別的分?jǐn)?shù)階階數(shù)βs(s＝1,2,…,S)記作向量f＝(β1,β2,…,βS)T。根據(jù)反問題I的假設(shè)條件,構(gòu)建如下約束條件:

其中:

對(duì)于反問題II,我們將分?jǐn)?shù)階階數(shù)βs(s ＝1,2,…,S)和分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的組合系數(shù)記作向量f ＝(β1,β2,…,βS,q1,q2,…,qS)T。顯然,向量f滿足約束條件:

其中:

因?yàn)楸疚牟捎糜邢薏罘指袷接?jì)算得到u(f)(x0,tj),所以遺傳算法中的適應(yīng)度函數(shù)實(shí)際上是(7)中泛函的離散形式,其中的積分由梯形公式近似得到:

其中tj是區(qū)間I的N等分點(diǎn)。在確定約束條件和適應(yīng)度函數(shù)后,即可建立反問題的遺傳算法求解方案,其中遺傳算法的計(jì)算步驟如圖1所示:

圖1 遺傳算法計(jì)算步驟圖

2 數(shù)值模擬

本文僅就以下定解問題:

進(jìn)行數(shù)值模擬,從而說明基于遺傳算法的數(shù)值反演方案在一定程度上是可行的。數(shù)值模擬中,我們始終取T＝1,測(cè)量數(shù)據(jù)始終取u(,t),t∈[0．3,1．0],正問題計(jì)算中始終取網(wǎng)格步長。誤差數(shù)據(jù)按以下方式獲得:

其中r(t)是[-1,1]上服從正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù),δ是相對(duì)誤差水平。接下來的數(shù)值模擬中,我們始終用f表示反演問題的精確解,而用finv表示反演解,他們之間的相對(duì)誤差定義為。

2．1 反問題I的數(shù)值模擬

為簡(jiǎn)單起見,取q1＝q2＝…＝qS＝1,f＝(β1,β2,…,βS)T。在遺傳算法中,設(shè)置種群大小為100,交叉概率為0．8,變異概率為0．1。運(yùn)行10次取平均的計(jì)算結(jié)果見表1和表2。

表1 相對(duì)誤差δ ＝0時(shí)分?jǐn)?shù)階階數(shù)的反演結(jié)果

表2 相對(duì)誤差δ ＝3%時(shí)分?jǐn)?shù)階階數(shù)的反演結(jié)果

2．2 反問題II的數(shù)值模擬

在反問題II 中,分?jǐn)?shù)階階數(shù)β1,β2,…,βS、系數(shù)q1,q2,…,qS均未知,記待識(shí)別參數(shù)變量為f ＝(β1,β2,…,βS,q1,q2,…,qS)T。在遺傳算法中,種群大小取為100,交叉概率為0．8,變異概率為0．1。運(yùn)行10次取平均的計(jì)算結(jié)果見表3和表4。

表3 相對(duì)誤差δ ＝0時(shí)分?jǐn)?shù)階階數(shù)和系數(shù)的反演結(jié)果

表4 相對(duì)誤差δ ＝3%時(shí)分?jǐn)?shù)階階數(shù)和系數(shù)的反演結(jié)果

3 結(jié)論

本文利用空間域內(nèi)的測(cè)量結(jié)果,研究了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中的兩個(gè)反問題。在已知反演問題是唯一的情況下,給出基于遺傳算法的求解方案后,利用遺傳算法進(jìn)行了精確數(shù)據(jù)的和隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的數(shù)值反演模擬。通過數(shù)值模擬的結(jié)果,可以看出:在只有兩個(gè)參數(shù)待識(shí)別時(shí),反問題I和反問題II均具有很好的反演效果,特別是基于精確數(shù)據(jù)的反演結(jié)果非常好;當(dāng)待識(shí)別的參數(shù)個(gè)數(shù)增多后,反演效果就差強(qiáng)人意了,但是所得結(jié)果已經(jīng)靠近真值,故可以作為其他方法的迭代初值。因此,當(dāng)待識(shí)別的分?jǐn)?shù)階階數(shù)和其組合系數(shù)的個(gè)數(shù)比較多時(shí),如何有效地重建這些參數(shù)是需要繼續(xù)深入研究的。