復合內(nèi)齒輪泵參數(shù)優(yōu)化設(shè)計及其性能分析

沈佳興，潘子豪，徐 平，張興元，于英華

（1. 遼寧工程技術(shù)大學 礦產(chǎn)資源開發(fā)利用技術(shù)及裝備研究院，遼寧 阜新 123000； 2. 遼寧工程技術(shù)大學 機械工程學院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

內(nèi)嚙合齒輪泵是一種由小齒輪、內(nèi)齒圈、月牙型隔板等結(jié)構(gòu)構(gòu)成的齒輪泵[1-2].內(nèi)齒輪泵具有結(jié)構(gòu)緊湊、自吸性能好、運轉(zhuǎn)平穩(wěn)等優(yōu)點[3-4]，但其內(nèi)齒圈易磨損致使其壽命較低，流量脈動和壓力脈動與柱塞泵等相比較大，在一定程度上限制其使用范圍.

目前最常使用的提高內(nèi)嚙合齒輪泵性能的方法是優(yōu)化齒輪泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)[5-7]，這種方式在一定程度上能夠改善其性能，但沒有改變齒輪泵實際結(jié)構(gòu)，因此沒有從根本上改善齒輪泵的性能.為此，設(shè)計一種復合內(nèi)齒輪泵（簡稱復合齒輪泵），利用復合齒輪泵多個內(nèi)嚙合子泵的流量疊加，既提高齒輪泵的流量又能改善其流量和壓力特性.同時復合齒輪泵的結(jié)構(gòu)具有對稱性，其內(nèi)齒圈的徑向液壓力幾乎為零，進而提高其使用壽命.

1 復合齒輪泵基本結(jié)構(gòu)及工作原理

復合齒輪泵的基本結(jié)構(gòu)，見圖1.小齒輪1為主動輪，與驅(qū)動機構(gòu)連接，小齒輪1與內(nèi)齒圈5嚙合使其轉(zhuǎn)動，同時帶動小齒輪2、小齒輪3繞自己的軸心轉(zhuǎn)動.在各小齒輪與內(nèi)齒圈嚙合處兩側(cè)分別布置有吸油口和出油口.星型密封塊將各嚙合內(nèi)齒輪分割開并構(gòu)成3個獨立子泵.當齒輪的輪齒個數(shù)設(shè)計合理時，各子泵的流量疊加既能增加齒輪泵的總流量又可以降低齒輪泵的流量脈動.

圖1 復合齒輪泵的基本結(jié)構(gòu) Fig.1 basic structure of the composite gear pump

2 復合內(nèi)齒輪泵優(yōu)化設(shè)計

2.1 復合齒輪泵的瞬態(tài)流量

根據(jù)文獻[8]和文獻[9]，傳統(tǒng)內(nèi)嚙合齒輪泵的瞬態(tài)流量為

式中，ω1為主動小齒輪角速度，rad/s；B為齒寬，mm；r1、r2分別為主動輪節(jié)圓半徑、內(nèi)齒圈節(jié)圓半徑，mm；ha1、ha2分別為主動輪齒頂高、內(nèi)齒圈齒頂高，mm；f為嚙合點位移，mm.

將r1=mz1/2，r2=mz2/2，f=rb2φ2，rb2=mz2cosαn/2，ha1=ha2=m，ω1/ω2=z1/z2代入式（1）可得

式中，m為齒輪模數(shù)，mm；z1、z2分別為主動輪齒數(shù)、內(nèi)齒圈齒數(shù)；αn為壓力角，取20°；ω2為內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)速，rad/s；φ2為內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)角，rad；系數(shù)a、b分別為

復合齒輪泵內(nèi)部有3個子泵，為減小復合內(nèi)齒輪泵的流量脈動，分析復合內(nèi)齒輪泵的內(nèi)齒圈齒數(shù)對其流量特性的影響規(guī)律.

當內(nèi)齒圈齒數(shù)為z2=3k（k為正整數(shù)）且小齒輪均布置在內(nèi)齒圈的120°角分線上時，各小齒輪與內(nèi)齒圈的嚙合點具有中心對稱性，即各子泵與內(nèi)齒圈的嚙合點的相對位置相同，見圖2，所以復合齒輪泵的總流量實質(zhì)為3個完全相同的子泵的流量和，其對于減小流量脈動無實際意義，但其流量可以提高為

圖2 z2=3k時嚙合位置示意 Fig.2 schematic of meshing position when z2=3k

當內(nèi)齒圈齒數(shù)為z2=3k+1且小齒輪均布置在內(nèi)齒圈的120°角分線上時，各小齒輪將均分內(nèi)齒圈多出的一個輪齒，各嚙合點的相位差為2π/(3z2)，各子泵的流量曲線見圖3.

圖3 子泵流量 Fig.3 sub-pump flow

由圖3可知，在區(qū)間(-π/z2，-π/(3z2)和區(qū)間(-π/(3z2)，π/(3z2))，及區(qū)間(π/(3z2)，π/z2))內(nèi)復合齒輪泵的瞬時流量是相同的，分析復合齒輪泵在區(qū)間(-π/(3z2)，π/(3z2))內(nèi)的瞬時流量為

齒輪泵的流量脈動系數(shù)[9]為瞬時流量的波動幅值與理論流量之比為

式中，qmax、qmin、分別為復合齒輪泵瞬時流量的最大值、最小值和理論流量，

根據(jù)分析可知：當φ2=0時，式（4）有最大瞬時流量，為

當φ2=±π/(3z2)時，式（4）有最小瞬時流量，為

將復合齒輪泵的最大流量和最小流量代入式（5），可得其流量脈動系數(shù)為

2.2 復合齒輪泵參數(shù)優(yōu)化

優(yōu)化設(shè)計時，以理論流量為50 L/min、額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min、額定工作壓力為10 MPa的齒輪泵為優(yōu)化對象.

（1）設(shè)計變量的確定

根據(jù)式（4）可知復合齒輪泵的瞬態(tài)流量和流量脈動系數(shù)均與齒輪的角速度、主動輪齒數(shù)z1和內(nèi)齒圈齒數(shù)z2、齒寬B、模數(shù)m有關(guān).但根據(jù)已知條件可知齒輪泵的轉(zhuǎn)速已經(jīng)給定，所以優(yōu)化時的設(shè)計變量為X=[z1，z2，B，m]T=[x1，x2，x3，x4]T.

（2）目標函數(shù)的確定

齒輪泵的瞬時流量對泵的流量脈動系數(shù)及壓力脈動均有較大影響.工程中常用流量脈動系數(shù)表征齒輪泵流量特性的好壞，因?qū)秃蟽?nèi)齒輪泵的流量脈動系數(shù)最小視為一個優(yōu)化目標函數(shù)，則

從降低成本和節(jié)省安裝空間的角度考慮，復合輪泵的體積越小，制造的材料成本越低且能夠在一些狹小空間使用，所以復合齒輪泵的體積越小越好.將齒輪泵的體積最小視為另一個優(yōu)化目標函數(shù).為簡化分析，用復合齒輪泵的內(nèi)齒圈和3個外齒輪的體積作為評價指標[10]，則它們的總體積為

該優(yōu)化問題是多目標優(yōu)化問題且兩個目標函數(shù)的量綱和量級均不同，首先對各目標函數(shù)用最大值最小值法無量綱化處理后，再采用等權(quán)重線性疊加的方式將多目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標函數(shù)，如下式

式中，f1min(X)、f1max(X)分別為流量脈動系數(shù)目標函數(shù)的最小值和最大值；f2min(X)、f2max(X)分別為體積目標函數(shù)的最小值和最大值.

（3）約束條件的確定

1）齒數(shù)約束.若齒輪齒數(shù)過少，齒輪將發(fā)生根切現(xiàn)象，這不僅會降低齒輪的強度，還會使齒輪泵的泄漏流量增加，降低容積效率，因此要求

齒輪泵需要有封油區(qū)間，由文獻[11]可知每個密封區(qū)間至少要保有3個齒.根據(jù)連續(xù)傳動條件，同一時間內(nèi)處于嚙合狀態(tài)的輪齒至少應保證為2個.同時考慮到小齒輪與內(nèi)齒圈的裝配關(guān)系所以初步設(shè)定內(nèi)齒圈的齒數(shù)范圍為

2）流量誤差約束.對泵類元件一般要求其瞬時流量與理論流量的誤差不超過5%[8]，則

3）齒寬約束.若齒輪泵的齒寬過大，會使齒輪軸及其軸承的載荷過大易使齒輪泵失效.通常對齒輪泵的齒寬和模數(shù)[8]有如下要求

4）流量脈動約束.通過第2節(jié)分析可知，要復合齒輪泵具有較小的流量脈動系數(shù)，內(nèi)齒圈的齒數(shù)應當不是3的倍數(shù)，則

式中，%為取余符號.

5）齒輪軸強度約束.復合齒輪泵中，齒輪材料為20CrMnTi，因齒輪泵工作時齒面接觸強度較小，所以考慮主動輪和內(nèi)齒圈的齒根彎曲強度約束為

式中，σ1F、σ2F分別為主動輪、內(nèi)齒圈的彎曲強度；[σF]為20CrMnTi的許用彎曲強度，取512 MPa.

由式（9）、式（11）～式（15）可知該優(yōu)化問題為非線性優(yōu)化問題，利用Matlab優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)能夠求解[12-13].求解前先區(qū)分線性和非線性不等式約束，并寫成矩陣形式，然后統(tǒng)一將約束條件、目標函數(shù)及求解范圍按照fmincon函數(shù)格式編寫.m文件，并在Matlab中求解.優(yōu)化解為：z1=x1=18；z2=x2=47；B=x3=11.2 mm；m=x4=3 mm.將優(yōu)化后的各參數(shù)代入式（4）得到復合齒輪泵的瞬時流量，見圖4.

圖4 優(yōu)化后復合齒輪泵流量 Fig.4 optimized composite gear pump flow

由圖4可見，齒輪泵的最大流量為50.69 L/min，最小流量為 50.48 L/min，其理論流量為50.585 L/min，流量脈動系數(shù)為0.41%，其遠低于傳統(tǒng)內(nèi)嚙合齒輪泵的流量脈動系數(shù)2%～5%.

3 復合齒輪泵壓力脈動分析

齒輪泵的流量脈動會使其產(chǎn)生周期性的壓力脈動，該壓力脈動會產(chǎn)生周期性的徑向液壓力易使齒輪軸和軸承發(fā)生疲勞破壞.因此研究復合齒輪泵在額定壓力下的壓力脈動也具有現(xiàn)實意義.

3.1 齒輪泵的職能模型

分析優(yōu)化后復合齒輪泵的壓力脈動.根據(jù)齒輪泵各結(jié)構(gòu)的功能，將其視為圖5的職能模型.圖中q(t)為齒輪泵的瞬態(tài)流量，其大小為2.1節(jié)計算的瞬態(tài)流量；qp(t)為齒輪泵的實際出口流量；Pp(t)為齒輪泵的工作壓力；ΣΔqi(t)為齒輪泵的內(nèi)泄流量；V為齒輪泵的工作腔容積；P0為齒輪泵的泄漏流量的出口壓力，取0 MPa.

圖5 齒輪泵職能模型 Fig.5 Gear pump function model

由齒輪泵的流量連續(xù)性方程[14]可知

式中，K為介質(zhì)的體積彈性模量.

根據(jù)式（16）可知，要求得齒輪泵的瞬態(tài)壓力，需要求得齒輪泵的工作腔容積和總泄漏流量.

工作腔容積可以近似認為是除去嚙合輪齒的各齒槽的體積和[9]，為

式中，V1為主動輪齒槽體積，20.8 mL；V2為內(nèi)齒圈齒槽體積，17.1 mL.

3.2 復合齒輪泵的泄漏流量

復合齒輪泵的泄漏與傳統(tǒng)齒輪泵一樣，主要包括：徑向泄漏、軸向泄漏、傳動不良導致的嚙合線處泄漏[15].

采用平行平面間隙的壓差—剪切流理論計算復合齒輪泵的徑向泄漏[15].由圖1可知復合齒輪泵的星型密封塊與小齒輪1、2、3有3條徑向泄漏通道，星型密封塊與內(nèi)齒圈有3條泄漏通道，所以復合齒輪泵的總徑向泄漏為

式中，h1為徑向間隙，取0.01 mm；v1、v2為小齒輪和內(nèi)齒圈齒頂圓線速度，取4.71 m/s、4.42 m/s；S1、S2分別為小齒輪齒頂厚度、內(nèi)齒圈的齒頂厚度，分別取2.04 mm、2.31 mm；Z1、Z2分別為小齒輪和內(nèi)齒圈的密封齒數(shù)，分別取13、9；μ為介質(zhì)動力黏度，取0.391 Pa·s.

采用平面間隙二維流理論計算齒輪泵的軸向泄漏流量[15].復合齒輪泵的軸向泄漏主要由小齒輪的端面間隙引起，由圖1可知每個小齒輪有一個當量高壓區(qū)間角θ1，每個小齒輪有兩個泄漏端面，因此復合齒輪泵總軸向泄漏為

式中，h2為軸向間隙，取0.02 mm；Rf1為小齒輪的齒根圓半徑，取23.25 mm；Rzf1為小齒輪的齒輪軸半徑，取12.5 mm；θ1為當量高壓區(qū)間角，取π/2.

當齒輪泵正常工作時，嚙合線處泄漏約為徑向泄漏和軸向泄漏總流量的5%[9]，所以復合齒輪的總泄漏流量為

3.3 復合齒輪泵壓力脈動仿真分析

根據(jù)式（17）～式（20）分別計算復合齒輪泵的工作腔容積、徑向泄漏、軸向泄漏、總泄漏流量，再結(jié)合圖5利用AMEsim軟件搭建復合齒輪泵的仿真模型，分別將各式的計算結(jié)果代入圖6模型中.圖中Q為流量源，用于模擬齒輪泵的瞬態(tài)流量.圖中Ch為壓力容積，用于模擬齒輪泵的工作腔容積.圖中的兩個黏性泄漏模塊用于模擬小齒輪和內(nèi)齒圈的徑向泄漏，右側(cè)節(jié)流閥用于模擬軸向泄漏.

圖6 復合齒輪泵AMEsim模型 Fig.6 composite gear pump AMEsim model

復合齒輪泵的壓力脈動仿真結(jié)果見圖7.由圖7可知，在復合齒輪泵啟動時發(fā)生振蕩后迅速穩(wěn)定，然后壓力曲線變化形式與流量脈動相對且應呈近似二次曲線變化；復合齒輪泵穩(wěn)定工作時的最大壓力為10.880 MPa，最小壓力為10.830 MPa，平均壓力為10.865 MPa，壓力脈動為0.46%.復合齒輪泵壓力脈動已經(jīng)顯著降低，因此，復合齒輪泵能夠減小內(nèi)部結(jié)構(gòu)件受到的壓力脈動，進而提高結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命.

圖7 復合齒輪泵壓力脈動 Fig.7 compound gear pump pressure pulsation

4 結(jié)論

（1）建立復合內(nèi)齒輪泵的理論流量模型，理論流量為50 L/min、額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min、額定工作壓力為10 MPa的復合內(nèi)齒輪泵的最優(yōu)參數(shù)分別為：齒輪模數(shù)m=3 mm，小齒輪齒數(shù)z1=18，內(nèi)齒圈齒數(shù)z2=47，齒寬B=11.2 mm.

（2）優(yōu)化后復合內(nèi)齒輪泵的流量脈動系數(shù)為0.41%，壓力脈動為0.46%，流量脈動和壓力脈動遠低于傳統(tǒng)同等規(guī)格的內(nèi)齒輪泵，證明復合內(nèi)齒輪泵的優(yōu)越性.