應(yīng)用實(shí)測資料的橋址區(qū)設(shè)計風(fēng)速推算方法改進(jìn)

張 田，孫銘悅，何 理

（大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧 大連 116026）

0 引言

抗風(fēng)設(shè)計是橋梁設(shè)計的重要組成部分，橋址區(qū)設(shè)計風(fēng)速的推算是橋梁抗風(fēng)設(shè)計的基礎(chǔ)，是保障橋梁抗風(fēng)安全首要解決的問題.目前，推算橋址區(qū)風(fēng)速的一般方法是按實(shí)測資料序列計算統(tǒng)計參數(shù)，包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差σ、離差系數(shù)Cv、偏差系數(shù)Cs，由以上參數(shù)確定一條理論頻率分布曲線（極值-I型曲線或Pearson-III型曲線）[1-4]，再計算不同重現(xiàn)期下的設(shè)計風(fēng)速值.然而，由于實(shí)測資料觀測年限與總體相比相差很遠(yuǎn)，而且經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)分布不是一條光滑連續(xù)曲線，直接由統(tǒng)計參數(shù)得到的理論頻率分布曲線與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)偏離較大.因此，借鑒水文學(xué)中推算設(shè)計流量的方法[5]，即適線法，通過調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)值，以一定的準(zhǔn)則選配出一條與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)擬合最好的理論頻率分布曲線，進(jìn)而推算設(shè)計風(fēng)速.

1 橋址區(qū)風(fēng)速理論頻率分布曲線

由于氣象記錄中的極大風(fēng)速值是觀測期內(nèi)的極大值，工程中可能遇到的極端風(fēng)速情況不能簡單地取氣象資料中觀測到的極大值，而需要利用最大風(fēng)速的頻率分布來推算橋位處的風(fēng)速極值.常用的風(fēng)速頻率分布曲線形式有極值-I型和Pearson-III型[6-9].

1.1 極值-I型分布曲線

極值-I型分布函數(shù)為

其超過保證率的函數(shù)為

式中，x為隨機(jī)變量；xp為頻率p時的隨機(jī)變量取值；α和μ分別為分布的尺度參數(shù)和位置參數(shù)，只要利用已知的樣本序列x1，x2，…，xn-1，xn，合理估計出參數(shù)α和μ的值，則F(x)就可確定.

重現(xiàn)期為T年（累積頻率為p=1/T）的風(fēng)速值可表示為

對于參數(shù)α和μ的估計，可以采用矩法.由數(shù)學(xué)期望和方差的計算公式，進(jìn)一步推導(dǎo)得

一般采用有限樣本容量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為理論值Ex和σ的近似估計.

1.2 Pearson-III型分布曲線

設(shè)風(fēng)速值為隨機(jī)變量x，則Pearson-III型曲線的密度函數(shù)為

式中，Γ(α)為α的伽馬函數(shù)，α、β和x0為曲線的參數(shù)，可以用樣本序列的3個統(tǒng)計參數(shù)即均值、離差系數(shù)Cv和偏差系數(shù)Cs來表示

式中，

式中，n為樣本數(shù)，σ為樣本推算總體的標(biāo)準(zhǔn)差.

計算時不計算α、β和x0，只計算、Cv和Cs，以及給定工程設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)，即重現(xiàn)期T的設(shè)計要求，則累積頻率p=1/T，于是有

對式（8）進(jìn)行積分計算，就可以得到頻率分布曲線縱坐標(biāo)值，即累積頻率p對應(yīng)的隨機(jī)變量值為

式中，Φ為離均系數(shù)，是頻率和偏差系數(shù)的函數(shù)，

2 風(fēng)速頻率分布曲線的適線調(diào)整

2.1 適線法及其準(zhǔn)則

適線法為選定最優(yōu)理論頻率曲線的方法，即通過不斷優(yōu)化調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)，繪制多條理論頻率曲線，選擇其中與實(shí)測資料吻合最好的曲線作為最終的理論頻率曲線.適線之前需要繪制經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)圖，其步驟為：將已知的風(fēng)速序列不論年序按數(shù)值大小遞減次序排列x1≥x2≥…≥xi≥…≥xn-1≥xn；按Weibull公式，即式（10），計算各風(fēng)速值的經(jīng)驗(yàn)頻率，并在海森機(jī)率格紙上繪出經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群.

式中，P為風(fēng)速系列中第i項(xiàng)隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)頻率；n為風(fēng)速系列的容量；i為計算隨機(jī)變量的序號.

根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計相關(guān)計算方法，適線準(zhǔn)則可以采用離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則（OLS準(zhǔn)則）和離（殘）差絕對值和最小準(zhǔn)則（ABS準(zhǔn)則）.

①由OLS準(zhǔn)則得目標(biāo)函數(shù)為

②由ABS準(zhǔn)則得目標(biāo)函數(shù)為

2.2 對極值-I型曲線的適線調(diào)整

對極值-I型分布曲線，由上述兩種不同的適線準(zhǔn)則給出的目標(biāo)函數(shù)，將式（3）代入式（11）、式（12）得

以O(shè)LS準(zhǔn)則為例給出計算過程，若Q1取最小值，則令和?Q1?α=0，則有

式（15）是關(guān)于α和μ的非線性方程組，可采用迭代法求解.令

設(shè)迭代的初始值為 1α和1μ，將式（4）計算結(jié)果作為初始值.將 1φ和 2φ在(1α,1μ)的鄰域作Taylor展開，略去高次項(xiàng)后的迭代方程組為

直到滿足下式時迭代終止，即

式中，1ε和 2ε為預(yù)先給定的允許誤差.

2.3 對Pearson-III型曲線的適線調(diào)整

對Pearson-III型分布曲線，將式（9）代入式（11）、式（12）得

以O(shè)LS準(zhǔn)則為例，若Q1取最小值，則令和，有

由于經(jīng)驗(yàn)頻率pi為已知，所以給定一個Cs，可以查表求出與pi相對應(yīng)的Φi，由式（22）按上述迭代求解方法可解出此時使Q1最小的和Cv值.為此，將Cs從0開始，按步長Δ增長（取Δ為0.001），從而得到不同組值，每一組值都對應(yīng)一條Pearson-III型理論頻率曲線，也對應(yīng)一個按式（20）計算的Q1值，最后選用使Q1最小的一組作為計算結(jié)果.

2.4 模擬退火算法計算統(tǒng)計參數(shù)

對極值-I型或Pearson-III型分布曲線的參數(shù)，雖然可以由上述的迭代方法求解，但從推導(dǎo)過程可以看出，該方法需要推求偏導(dǎo)數(shù)矩陣，且涉及到矩陣的求逆過程，求解復(fù)雜，收斂速度較慢.可以采用模擬退火算法[10-13]，該方法對優(yōu)化目標(biāo)要求較低，一般只需要知道其數(shù)值關(guān)系，不受函數(shù)連續(xù)性、光滑性的限制，避免了大量求導(dǎo)數(shù)計算.

采用模擬退火算法對于一般無約束優(yōu)化求最小值問題的求解過程[14-17]如下.

（1）給定起始溫度T0、終止溫度Tfinal和初始解x0.

（2）在x0的鄰域內(nèi)模擬產(chǎn)生隨機(jī)擾動Δx.

（3）計算擾動引起的目標(biāo)函數(shù)值的變化ΔE.

（4）若ΔE≤0，接受新值x→x0+Δx，轉(zhuǎn)向步驟（5）；否則，若exp(ΔE/T)＞rand(0,1)，rand(0,1)表示0～1內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，也接受新值x→x0+Δx，轉(zhuǎn)向步驟（5）；否則就拒絕x→x0+Δx，轉(zhuǎn)向步驟（6）.

（5）按退火策略進(jìn)行降溫T→update(T).

采用指數(shù)退溫方式，設(shè)tk、tk-1分別為第k和k-1次迭代時的溫度，t0為初始溫度，η為參數(shù)，tk=η·tk-1.

（6）是否滿足T＞Tfinal?若滿足，則輸出求解結(jié)果，結(jié)束迭代計算；否則，轉(zhuǎn)向步驟（2）.

3 計算實(shí)例

作為實(shí)例，以貴州省興仁縣氣象站1966-1998年的實(shí)測風(fēng)速資料按不同的推斷方法推算氣象站10 m高度處的設(shè)計風(fēng)速值，經(jīng)高度換算后的實(shí)測資料[7]列于表1，其中1975年、1992年的資料缺失.

表1 興仁縣10 m高度，年最大10 min平均風(fēng)速 Tab.1 annual maximum 10 min average wind speed data at 10 m altitude in Xingren County

根據(jù)表1的觀測資料可以計算經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群圖，同時計算各統(tǒng)計參數(shù)的初始值，即α0、μ0，、Cv0、Cs0.為了使理論頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群吻合得更好，采用文中提出的模擬退火算法，按2種適線準(zhǔn)則逐步調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)以獲得最優(yōu)解，計算的統(tǒng)計參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)結(jié)果列于表2.

表2 不同方法獲得的參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)值 Tab.2 parameters and objective function values obtained by different methods

從表2可以發(fā)現(xiàn)，無論采用那種準(zhǔn)則，應(yīng)用模擬退火算法計算出的統(tǒng)計參數(shù)均優(yōu)于直接計算方法.利用上述方法求出的統(tǒng)計參數(shù)，來擬合理論頻率曲線，見圖1，進(jìn)而求出不同重現(xiàn)期的設(shè)計風(fēng)速列于表3.分布曲線的吻合程度可以通過直接觀察分布曲線與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群圖像或判定系數(shù)檢驗(yàn)、誤差平方和檢驗(yàn)等方法確定.在圖1中將理論頻率分布曲線與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群分布比較，可以直觀地看出Pearson-III型曲線作為理論頻率分布曲線與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群吻合得更好.

圖1 經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)及擬合頻率 Fig.1 empirical frequency point and fitting frequency

表3 不同重現(xiàn)期時采用模擬退火算法推算的設(shè)計風(fēng)速 Tab.3 design wind speed calculated by simulated annealing algorithm in different return periods

由表3和圖1可以發(fā)現(xiàn)，若采用Pearson-III型曲線作為理論頻率分布曲線，運(yùn)用模擬退火算法計算出的統(tǒng)計參數(shù)，所得的不同重現(xiàn)期時的設(shè)計風(fēng)速差別不大，可見模擬退火算法計算統(tǒng)計參數(shù)是有效可行的.

4 結(jié)論

（1）提出適線法，通過不斷調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)，使理論頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群盡可能吻合良好，同時給出相應(yīng)的適線準(zhǔn)則及采用模擬退火算法優(yōu)化統(tǒng)計參數(shù)的步驟.

（2）通過實(shí)例計算，得到：①基于經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群，采用適線法優(yōu)化統(tǒng)計參數(shù)比由觀測數(shù)據(jù)直接計算統(tǒng)計參數(shù)能使理論頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群擬合得更好；②給出適線準(zhǔn)則：離（殘）差平方和最小準(zhǔn)則（OLS準(zhǔn)則）和離（殘）差絕對值和最小準(zhǔn)則（ABS準(zhǔn)則），兩種目標(biāo)函數(shù)都能很好用于優(yōu)化統(tǒng)計參數(shù)；③采用模擬退火算法，可避免求解統(tǒng)計參數(shù)時大量的求導(dǎo)運(yùn)算，迭代過程簡單，對兩種適線準(zhǔn)則，都能使目標(biāo)函數(shù)快速收斂.