基于改進(jìn)Voronoi 圖法的焊接接頭微觀組織建模

劉小剛，申順，朱陽(yáng)陽(yáng)

(南京航空航天大學(xué)，航空發(fā)動(dòng)機(jī)熱環(huán)境與熱結(jié)構(gòu)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京，210016)

0 序言

金屬材料的微觀結(jié)構(gòu)通常由晶粒、第二相粒子和夾雜物等組成，研究表明，材料的強(qiáng)度、疲勞等力學(xué)性能與晶粒形貌、大小及滑移取向等息息相關(guān)[1].獲取材料力學(xué)性能的傳統(tǒng)方法往往是通過(guò)大量試驗(yàn)，這會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間和經(jīng)濟(jì)成本.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，許多學(xué)者開(kāi)始嘗試采用數(shù)值模擬的方法建立材料微觀組織模型，進(jìn)而模擬和預(yù)測(cè)材料的力學(xué)性能，這樣可以節(jié)約經(jīng)費(fèi)和縮短試驗(yàn)周期.因此，通過(guò)模擬的方法建立材料微觀組織模型具有非常重要的意義.

材料的微觀組織建模方法多種多樣，目前比較有代表性的方法有基于凝固過(guò)程的微觀組織模擬方法、電子背散射衍射圖(electron backscattered diffraction，EBSD)法和Voronoi 圖法等[2].一些研究學(xué)者基于凝固過(guò)程的數(shù)值模擬法建立了多種材料的微觀組織并實(shí)現(xiàn)了晶體的形核長(zhǎng)大過(guò)程模擬，可獲得三維晶粒形貌[3-6].還有一些研究學(xué)者采用EBSD 法獲得了材料的微觀晶體形貌及晶粒取向等信息，并建立了具有代表性的微觀體積單元[7-10].基于凝固過(guò)程的微觀組織模擬法雖然能夠模擬晶粒的真實(shí)生長(zhǎng)過(guò)程，物理意義明確，但往往要考慮熱模型及邊界條件，計(jì)算量巨大，目前只能用于建立小尺度晶體模型.而EBSD 法雖然能夠準(zhǔn)確得到試樣的微觀組織圖像，但是其獲取的微觀組織只能代表所使用的試樣，并不具有普遍適用性.Voronoi 圖法的種子生成多邊形的過(guò)程與真實(shí)多晶體材料的結(jié)晶過(guò)程具有一定的相似性[10]，并且還具體計(jì)算速度快，構(gòu)圖方法多，模型便于導(dǎo)入有限元軟件進(jìn)行后續(xù)分析等優(yōu)點(diǎn).因此，采用該方法建立材料的微觀組織日益受到研究者的青睞.Hoshide 等人[11]采用Voronoi 圖法建立了多種材料的微觀組織模型，對(duì)缺口件的多軸疲勞進(jìn)行了裂紋萌生有限元模擬，較好的模擬了裂紋形貌.史君林等人[12]基于Voronoi圖法建立了面心立方金屬微觀多晶體模型，并采用晶體塑性模擬了材料單軸拉伸過(guò)程中的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng).Kramberger 等人[13]和牟園偉等人[14]采用Voronoi 圖法建立了馬氏體鋼的微觀組織模型，成功應(yīng)用于鋼的疲勞裂紋萌生過(guò)程模擬，對(duì)平板試件疲勞壽命預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.王東等人[15]基于Voronoi 圖法構(gòu)建了陶瓷刀具材料的基體微觀結(jié)構(gòu)，有效表征了基體的晶粒尺寸及其分布等微觀結(jié)構(gòu)參數(shù).劉俊卿等人[16]采用Voronoi 圖法模擬了F82H 鋼的微觀組織模型并賦予模型材料參數(shù)和晶粒取向，修正了以拉伸硬化為主的疲勞裂紋起裂模擬方法.鐘飛[17]基于Voronoi 圖法建立了高溫合金微觀組織模型并進(jìn)行了晶體塑性有限元仿真，實(shí)現(xiàn)了高溫合金疲勞裂紋萌生過(guò)程模擬.

Voronoi 圖法優(yōu)點(diǎn)眾多，應(yīng)用也較為廣泛，但是傳統(tǒng)的Voronoi 圖法多被用于建立單一晶粒度的等軸晶組織，在對(duì)較為復(fù)雜的微觀組織如焊接接頭焊縫區(qū)混合晶區(qū)進(jìn)行模擬時(shí)存在很大的局限性.航空發(fā)動(dòng)機(jī)中常用電子束焊工藝為典型熔化焊，其焊縫區(qū)包括熔合區(qū)(fusion zone，F(xiàn)Z)柱狀晶、熱影響區(qū)(heat affected zone，HAZ)細(xì)等軸晶及母材區(qū)(base metal，BM)粗等軸晶.也正因?yàn)殡娮邮附宇^微觀組織非均勻?qū)е缕淞W(xué)性能非均勻.因此采用改進(jìn)的Voronoi 圖法建立焊接接頭混合晶區(qū)微觀組織模型，進(jìn)而開(kāi)展其疲勞裂紋萌生過(guò)程數(shù)值模擬，文中研究旨在發(fā)展一種電子束焊接頭微觀組織建模方法，并為其疲勞性能評(píng)估提供新的思路.

1 Voronoi 圖法微觀組織建模

1.1 Voronoi 圖法基本原理

Voronoi 圖法，又被稱為泰森多邊形法[18]，由俄羅斯數(shù)學(xué)家M.G.Voronoi 基于凸多邊形分割空間的算法提出的一種將空間填滿切割的方法，用于表達(dá)空間要素之間距離的鄰近關(guān)系.Voronoi 圖法在圖像處理、資源配置和材料科學(xué)等領(lǐng)域運(yùn)用廣泛.

Voronoi 圖的基本原理是在一個(gè)給定的平面上隨機(jī)定義N個(gè)離散點(diǎn)，設(shè)為P=(P1，P2，···，PN)，其中P為N個(gè)離散點(diǎn)的集合.這N個(gè)離散點(diǎn)將平面切割成了N個(gè)區(qū)域，每一個(gè)離散點(diǎn)Pi都對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)域，用S(Pi)代 表任意離散點(diǎn)Pi所分割的空間.其中每一個(gè)分割區(qū)域S(Pi)中都包含了除給定離散點(diǎn)外的其它點(diǎn)P，用d(P，Pi) 表示點(diǎn)P到 點(diǎn)Pi之間的距離.根據(jù)Voronoi 圖法的定義，每一個(gè)區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)P到分割這個(gè)區(qū)域的離散點(diǎn)Pi的距離要小于這個(gè)點(diǎn)到其它離散點(diǎn)Pj的距離，用式(1)進(jìn)行表示.

根據(jù)上述的公式對(duì)整個(gè)平面區(qū)域進(jìn)行切割計(jì)算，最終將平面分為N個(gè)凸多邊形.切割后的平面可以表示為.

1.2 Voronoi 圖構(gòu)圖方法

構(gòu)建Voronoi 圖的步驟如圖1 所示.首先，在給定的平面區(qū)域上隨機(jī)定義N個(gè)離散點(diǎn)；其次，將相鄰兩個(gè)點(diǎn)相互連接構(gòu)建三角網(wǎng)；再次，找到相鄰三角形的垂直平分線并連接，即得到Voronoi 圖.

圖1 Voronoi 圖構(gòu)建Fig.1 Voronoi diagram construction.(a) define discrete points；(b) connect triangle mesh；(c) partition the Voronoi diagram

1.3 等軸晶組織微觀組織建模

為了驗(yàn)證Voronoi 圖法能夠建立材料的微觀結(jié)構(gòu)，現(xiàn)利用Voronoi 圖法建立GH4169 高溫合金的微觀組織模型.平均晶粒尺寸可以通過(guò)金相試驗(yàn)在Image Pro Plus 晶粒測(cè)量軟件中獲取.圖2 為GH4169 高溫合金的微觀組織形貌，通過(guò)photoshop軟件對(duì)金相圖隨機(jī)選取一定數(shù)量的晶粒，并將選取出的晶粒圖片導(dǎo)入到Image Pro Plus 中對(duì)每個(gè)晶粒進(jìn)行編號(hào)并測(cè)量尺寸，重復(fù)以上過(guò)程多次隨機(jī)選取晶粒進(jìn)行尺寸測(cè)量(100～ 200 個(gè))，統(tǒng)計(jì)不同尺寸范圍內(nèi)的晶粒數(shù)量，最終求得的平均值即為平均晶粒尺寸.根據(jù)上述方法測(cè)得GH4169 母材的平均晶粒尺寸為60 μm.

圖2 GH4169 微觀組織Fig.2 GH4169 microstructure metallography

根據(jù)GH4169 微觀組織形貌，建立大小為0.6 mm×0.5 mm 的區(qū)域模型.GH4169 的平均晶粒尺寸為60 μm，模型內(nèi)包含的等軸晶約為100 個(gè)等軸晶.如圖3 所示，根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得的實(shí)際晶粒尺寸，利用Voronoi 圖法建立的GH4169 等軸晶組織模型.對(duì)比模型與金相試驗(yàn)照片可以看出，利用Voronoi 圖法建立的模型與實(shí)際組織具有較高的相似性.

圖3 Voronoi 圖法生成的等軸晶模型Fig.3 Equiaxed crystal model generated by Voronoi diagram method

2 改進(jìn)的Voronoi 圖法微觀組織建模

2.1 改進(jìn)的Voronoi 圖法

傳統(tǒng)的Voronoi 圖法能快速建立材料的微觀模型，但是多用于建立等軸晶模型.典型的電子束焊接頭焊縫區(qū)微觀組織較為復(fù)雜，一般包括柱狀晶、細(xì)等軸晶及粗等軸晶等[19].傳統(tǒng)的Voronoi 圖法難以實(shí)現(xiàn)焊縫區(qū)微觀組織建模，文中對(duì)此進(jìn)行改進(jìn)，以建立焊接接頭焊縫區(qū)的微觀組織模型.具體改進(jìn)方法如下.

(1)通過(guò)在平面上劃分種子生長(zhǎng)區(qū)域的方式來(lái)模擬不同形貌的晶粒.

(2)根據(jù)試驗(yàn)觀測(cè)到的實(shí)際焊接接頭微觀組織，構(gòu)建與真實(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的分區(qū)，通過(guò)控制不同分區(qū)的種子的密度和位置，建立焊接接頭的不同組織區(qū)域的微觀模型，再通過(guò)整合分區(qū)的方法得到完整的焊接接頭微觀組織模型.

圖4 為GH4169 電子束焊接頭典型宏觀形貌.圖5 為焊縫區(qū)A，B，C，D 4 個(gè)不同位置微觀組織.如圖5 所示，其中C 點(diǎn)熔合區(qū)為柱狀晶，A，B 點(diǎn)熱影響區(qū)為細(xì)等軸晶，D 點(diǎn)母材區(qū)為粗等軸晶.GH4169電子束焊接頭的微觀組織有明顯的形貌差異，同時(shí)存在柱狀晶和等軸晶，兩者在形態(tài)上相差較大.為了建立柱狀晶模型，首先將一個(gè)矩形平面區(qū)域劃分成多個(gè)小矩形，根據(jù)柱狀晶形貌特征，在寬度方向上劃分兩個(gè)矩形，以保證生成的柱狀晶的形態(tài)符合其細(xì)長(zhǎng)粗大的特點(diǎn)，然后向劃分后的小矩形內(nèi)布置種子點(diǎn).在布置種子點(diǎn)時(shí)需要控制種子點(diǎn)在每個(gè)小矩形內(nèi)的位置和數(shù)量，一般來(lái)說(shuō)，柱狀晶的形狀并不規(guī)整，在撒種子點(diǎn)時(shí)盡量使種子點(diǎn)的位置偏離其所在小矩形的重心，否則生成的柱狀晶會(huì)過(guò)于均勻.同時(shí)，若是柱狀晶內(nèi)還存在一些枝晶結(jié)構(gòu)，此時(shí)可以在一個(gè)小矩形內(nèi)布置兩個(gè)種子點(diǎn)，其中一個(gè)種子點(diǎn)靠近重心，另一個(gè)種子點(diǎn)遠(yuǎn)離重心，即會(huì)生成帶枝晶結(jié)構(gòu)的柱狀晶.圖6 為用改進(jìn)后的Voronoi圖法得到的柱狀晶模型.

圖4 GH4169 電子束焊接頭典型宏觀形貌Fig.4 Typical macro morphology of GH4169 electron beam welding joint

圖5 焊接接頭不同區(qū)域微觀組織Fig.5 Microstructure metallography of different positions of welded joints.(a) zone of point A；(b) zone of point B；(c) zone of point C；(d) zone of point D

圖6 柱狀晶生成模型Fig.6 Columnar crystal formation model.(a) divide rectangles；(b) create columnar grains

2.2 焊接接頭微觀組織建模

為了驗(yàn)證改進(jìn)的Voronoi 圖法的適用性，以GH4169 電子束焊接頭為例，建立焊接接頭微觀組織模型.按照改進(jìn)的Voronoi 圖法，GH4169 電子束焊接頭的具體建模步驟如下.

(1)熔合區(qū)、熱影響區(qū)和母材區(qū)的創(chuàng)建.根據(jù)金相圖測(cè)量3 種晶區(qū)的具體尺寸范圍，使用ABAQUS有限元軟件創(chuàng)建與晶區(qū)形狀對(duì)應(yīng)的3 個(gè)區(qū)域.

(2)柱狀晶及等軸晶的生成.采用改進(jìn)的Voronoi 圖法在一定的矩形區(qū)域內(nèi)根據(jù)所測(cè)得的晶粒尺寸劃分足夠多的小矩形，然后以隨機(jī)數(shù)形式在小矩形內(nèi)撒種子點(diǎn)，控制種子點(diǎn)的位置建立對(duì)應(yīng)的等軸晶模型.通過(guò)第一步中創(chuàng)建出母材區(qū)和熱影響區(qū).柱狀晶區(qū)的生成如前文所述在長(zhǎng)度方向劃分兩個(gè)矩形，并使矩形的大小與實(shí)際柱狀晶尺寸接近，保證能夠建立細(xì)長(zhǎng)的柱狀晶模型.

(3)混合晶區(qū)的整合.上述步驟完成后，得到3 個(gè)分散的晶區(qū)，此時(shí)需要通過(guò)ABAQUS 有限元軟件中布爾運(yùn)算的功能進(jìn)行晶區(qū)的整合，對(duì)3 個(gè)分區(qū)進(jìn)行部件合并，最終得到完整的混合晶區(qū)模型.

(4)有限元模型的建立.建立混合晶區(qū)幾何模型后，可以分別對(duì)3 個(gè)晶區(qū)賦予不同的材料參數(shù)，劃分有限元網(wǎng)格及施加邊界條件，在ABAQUS 有限元軟件中進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算.

圖7 為焊接接頭建模流程圖.首先，根據(jù)改進(jìn)的Voronoi 圖法分別生成等軸晶和柱狀晶；其次，通過(guò)布爾運(yùn)算得到完整的混合晶區(qū)模型；最后，對(duì)3 個(gè)晶區(qū)賦予不同的材料參數(shù)，在ABAQUS 中進(jìn)行有限元計(jì)算.

圖7 焊接接頭建模流程圖Fig.7 Flow chart of welding joint modeling

圖8 為按照焊接接頭建模流程圖得到的熔合區(qū)、熱影響區(qū)和母材區(qū)的模型.通過(guò)布爾運(yùn)算的方式合并分區(qū)得到了如圖9 所示的焊接接頭不同微區(qū)的整體的微觀組織模型.從圖9 可以看出，熔合區(qū)生成了粗大的柱狀晶，熱影響區(qū)生成了細(xì)等軸晶，而母材區(qū)則是粗等軸晶.

圖8 分區(qū)建模示意圖Fig.8 Schematic diagram of zoning modeling.(a) fusion zone；(b) heat affected zone；(c) base material

圖9 焊接接頭完整模型Fig.9 Complete model of welded joint

通過(guò)與圖4 及圖5 的GH4169 電子束焊接頭金相圖進(jìn)行對(duì)比，用改進(jìn)的Voronoi 圖法建立的焊接接頭微觀組織模型和真實(shí)組織結(jié)構(gòu)有較高的相似度，證明了改進(jìn)的Voronoi 圖法建立焊接接頭微觀組織模型的合理性.

3 焊接接頭裂紋萌生過(guò)程數(shù)值模擬

在上述所建立的焊接接頭模型的基礎(chǔ)上，將對(duì)焊縫區(qū)施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，進(jìn)行有限元模擬計(jì)算，結(jié)合Tanaka-Mura 模型[20-21]，對(duì)焊接接頭模型進(jìn)行裂紋萌生數(shù)值模擬并預(yù)測(cè)壽命.

根據(jù)Tanaka-Mura 裂紋萌生理論，位錯(cuò)會(huì)在晶粒內(nèi)不斷塞積，引起畸變能的增加，晶粒內(nèi)每條滑移帶裂紋萌生對(duì)應(yīng)循環(huán)次數(shù)可以用式(2)表示.

式中：N為滑移帶開(kāi)裂形成裂紋時(shí)所對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)；G為 剪切模量；Ws為 單位面積的起裂能；ν為泊松比；d為每個(gè)晶粒內(nèi)滑移帶的長(zhǎng)度；Δτ為循環(huán)加卸載平均剪切應(yīng)力變程；k為位錯(cuò)滑移阻力。其中，除滑移帶長(zhǎng)度以及剪切應(yīng)力變程外，其余參量均為與材料相關(guān)的常數(shù)，一旦得到與微觀組織結(jié)構(gòu)有關(guān)的d和 Δτ兩個(gè)參量，即可得到滑移帶開(kāi)裂時(shí)的循環(huán)次數(shù)N.

考慮到計(jì)算量，模擬所用的焊接接頭模型為實(shí)際電子束焊接頭的1/2 模型.圖10 為1/2 模型的邊界條件，在模型左邊界施加對(duì)稱約束，右邊界施加載荷，最大名義應(yīng)力為1 024 MPa.

圖10 模型邊界條件Fig.10 Model boundary conditions

GH4169 電子束焊接頭沿滑移帶單位面積起裂能Ws=6.5 kJ/m2，剪切模量G=79 GPa，泊松比ν=0.3，位錯(cuò)滑移阻力k=428 MPa.設(shè)定當(dāng)連續(xù)裂紋長(zhǎng)度超過(guò)0.5 mm，即視為裂紋萌生階段結(jié)束，此時(shí)的壽命為裂紋萌生壽命.

圖11 為模擬得到的裂紋萌生過(guò)程.當(dāng)N=875周次時(shí)，第一條裂紋萌生于熱影響區(qū)，該裂紋與疲勞加載方向近似為 45°，因?yàn)檠剡@個(gè)方向剪切應(yīng)力最大，這與文獻(xiàn)[22]中的試驗(yàn)結(jié)果也較為吻合.隨著循環(huán)數(shù)的增加，在其它晶粒內(nèi)隨機(jī)萌生分散的微裂紋，如圖11b 所示.受到應(yīng)力集中的影響，在已開(kāi)裂的晶粒附近又萌生了新裂紋，此時(shí)，出現(xiàn)了微裂紋群集現(xiàn)象，如圖11c 所示.微裂紋群集后，導(dǎo)致應(yīng)力集中效應(yīng)進(jìn)一步增強(qiáng)，群集的微裂紋開(kāi)始聯(lián)合為較長(zhǎng)的主裂紋，如圖11d 所示.隨后，主裂紋逐漸開(kāi)始擴(kuò)展，其它裂紋則停止聯(lián)合.當(dāng)N=51 714 周時(shí)，主裂紋長(zhǎng)度超過(guò)0.5 mm，達(dá)到終止條件，如圖11f 所示.

圖11 焊接接頭裂紋萌生過(guò)程Fig.11 Crack initiation process of welded joint.(a) N=875 cycle；(b) N=12 925 cycle；(c) N=32 894 cycle；(d) N=41 998 cycle；(e) N=48 818 cycle；(f) N=51 714 cycle

在相同條件下對(duì)GH4169 電子束焊接頭進(jìn)行疲勞試驗(yàn)[23]，得到的平均裂紋萌生壽命約為48 047周，文中模擬結(jié)果為51 714 周，與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.

4 結(jié)論

(1)采用Voronoi 圖法對(duì)GH4169 母材等軸晶組織進(jìn)行模擬，所建立的等軸晶幾何模型和實(shí)際金相試驗(yàn)觀測(cè)到的微觀組織有較高的相似性.

(2)對(duì)傳統(tǒng)的Voronoi 圖法進(jìn)行改進(jìn)，依據(jù)GH4169 電子束焊接頭金相試驗(yàn)結(jié)果將焊縫區(qū)劃分為不同微觀區(qū)域，控制不同微區(qū)種子點(diǎn)的密度和位置生成混合晶區(qū)的微觀組織模型，通過(guò)布爾運(yùn)算合并微區(qū)，建立了焊縫區(qū)混合晶區(qū)微觀組織模型.將所建立的模型與金相試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，混合晶區(qū)模型與真實(shí)組織有較高的相似性.

(3)將上述建立的焊縫區(qū)微觀組織模型導(dǎo)入有限元軟件中，結(jié)合Tanaka-Mura 位錯(cuò)滑移模型進(jìn)行給定邊界條件下的有限元計(jì)算，能夠較好的模擬電子束焊接頭疲勞裂紋萌生過(guò)程并預(yù)測(cè)其壽命.