基于量子多目標優(yōu)化算法的回焊爐爐溫設計

周文婷，司玉鵬，何宏舟，王榮杰

(1.集美大學，福建省能源清潔利用與開發(fā)重點實驗室，廈門，361021；2.集美大學，福建省清潔燃燒與能源高效利用工程技術研究中心，廈門，361021；3.集美大學，廈門，361021)

0 序言

回焊爐爐溫曲線反映了焊接過程中焊點的溫度變化情況[1]，影響爐溫曲線調(diào)節(jié)的因素一般有爐溫曲線峰值溫度、升溫速率、電路板上的溫度分布、預熱時間等[2-5].若回焊爐各小溫區(qū)溫度調(diào)節(jié)不良，會導致電路板變色變形、空洞、潤濕不良等，影響產(chǎn)品焊接質(zhì)量和可靠性[6]，因此可以通過對爐溫曲線的優(yōu)化設計來提高焊接質(zhì)量.

針對爐溫曲線優(yōu)化設計，李楠等人[7]在RSS(Ramp-Soak-Spike)升溫-保溫-峰值曲線基礎上，利用牛頓冷卻定律建立傳熱模型，運用數(shù)值計算的方法進行求解，得到通過控制傳送帶速度和溫區(qū)溫度會提高焊接質(zhì)量的結論，獲得了模擬爐溫曲線，但該方法未考慮溫區(qū)間隙對回焊爐溫度場的影響，會導致最終爐溫曲線在相鄰溫區(qū)過渡時仿真效果較差.王明泉等人[8]基于傅里葉定律建立一維偏微分熱傳導模型，運用有限差分法求解爐溫曲線優(yōu)化參數(shù)，研究如何通過控制溫區(qū)溫度提高產(chǎn)品質(zhì)量，為實際生產(chǎn)提供理論支持，但該求解方法的計算精度還有待提高.方灝航等人[9]利用Fourier 定律和牛頓冷卻定律，建立爐溫曲線差分模型，運用模擬退火算法全局尋優(yōu)，獲得高經(jīng)濟效益基礎上的最大過爐速度和各溫區(qū)的最優(yōu)穩(wěn)定溫度，然而模擬退火算法可能無法得到全局最優(yōu)解，影響計算結果.Lei 等人[10]建立熱傳導方程模型，使用經(jīng)典粒子群算法計算熱導率并進行誤差分析，利用蒙特卡羅仿真(Monte Carlo simulation)[11]得到傳送帶的最大速度，但該算法易于陷入局部最優(yōu)解，對仿真結果產(chǎn)生影響.祝勝光等人[12]提出一種小型智能數(shù)控回焊爐溫度控制器的設計和實現(xiàn)方法，采用PID 算法控制溫度，縮短調(diào)節(jié)時間，提高溫控精度.綜上可知，目前在研究爐溫曲線模型參數(shù)時大多采用數(shù)值解法和傳統(tǒng)優(yōu)化算法，計算繁瑣，計算結果的精確性和收斂性還有待提高；在爐溫曲線優(yōu)化設計時，均采用單一目標進行優(yōu)化，沒有綜合考慮其它因素影響，整體實用性較差.因此，設計一種有效的方法來解決多目標爐溫曲線優(yōu)化問題十分必要.

量子粒子群優(yōu)化算法(quantum particle swarm optimization，QPSO)是Sun 等人[13]基于量子力學提出的一種新的粒子群優(yōu)化算法.該算法因?qū)崿F(xiàn)簡單方便、搜索高效準確、迭代收斂快速、結果預測精準、需要控制的參數(shù)少，全局搜索能力強，被廣泛用于處理各種工程實際優(yōu)化問題[14-17].文中運用QPSO算法，在滿足制程界限的同時，以加熱因子[18]最小和傳送帶速度最優(yōu)為目標，對回焊爐爐溫曲線進行優(yōu)化設計，為解決目標沖突的回焊爐溫區(qū)溫度設置提供一種解決方案.

1 爐溫曲線模型建立

1.1 基本參數(shù)

電子元器件的焊接過程會經(jīng)歷爐前區(qū)域、爐內(nèi)區(qū)域和爐后區(qū)域.根據(jù)回焊爐內(nèi)部各區(qū)段溫度和功能的不同可分為預熱區(qū)段、恒溫區(qū)段、回流區(qū)段、冷卻區(qū)段，并分為11 個小溫區(qū).環(huán)境溫度為25 ℃，回焊爐各溫區(qū)長度和溫度見表1.

表 1 回焊爐各溫區(qū)長度和溫度Table 1 Length and temperature of each temperature zone in rewelding furnace

1.2 基本假設

由于受到模擬和實際研究難度的限制，將忽略回焊爐內(nèi)溫度場熱輻射的傳熱；假設電路板的材料均勻，具有各向同性，忽略其內(nèi)部溫差，溫度分布均勻；假設電路板進入溫區(qū)瞬間其內(nèi)部溫度保持穩(wěn)定且不變；由于電路板厚度較小，其沿厚度方向的熱傳導將忽略.

1.3 熱傳導模型

通過已知各小溫區(qū)溫度可獲得回焊爐內(nèi)溫度隨時間的數(shù)學表達式.各小溫區(qū)溫度恒定不變，則對應回焊爐內(nèi)溫度場的溫度恒定不變；相鄰溫區(qū)若不存在溫差，則溫區(qū)間隙溫度也恒定不變；反之，間隙溫度呈線性變化.

對于回焊爐空間內(nèi)的物體而言，可建立三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程，如式(1)所示[19].

式中：τ為 時間；T為回焊爐內(nèi)的溫度場溫度；ρ為密度；c為比熱容；λ為導熱系數(shù)；Φ˙為單位時間單位體積中的內(nèi)熱源生成熱；x，y，z分別為該物體在空間x，y和z3 個方向上的坐標值.

由于各間隙的邊界溫度穩(wěn)定不變，可將式(1)簡化為一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源常物性導熱微分方程，如式(2)所示.

對式(2)進行微分求解，可得溫區(qū)間隙處的溫度分布，如式(3)所示.

式中：i表示溫區(qū)區(qū)段，i=0，1，2，3···；εi，βi為第i溫區(qū)的常數(shù)參數(shù)；xi為爐前到第i溫區(qū)與(i+1)溫區(qū)之間間隙的距離；Ti表示第i溫區(qū)處對應的溫度場溫度.

回焊爐各小溫區(qū)間隙溫度的線性分布如式(4)所示.

式中：v表示電路板的過爐速度；表示為從爐前到離開第i溫區(qū)區(qū)段的距離；表 示從爐前到進入第i+1溫區(qū)區(qū)段開始位置的距離.

1.4 電路板焊接中心溫度模型

電路板進入回焊爐瞬間，其內(nèi)部溫度保持不變，隨后焊接中心溫度隨時間開始發(fā)生變化，最終趨近于回焊爐的溫度場溫度，故可將其簡化為非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導熱微分方程，如式(5)所示.

式中：t為焊接中心溫度；a為熱擴散系數(shù).

由于焊接中心處吸收的熱量與焊接表面上的對流換熱量相等，得到熱平衡公式，如式(6)所示.

式中：Qa為焊接中心處吸收的熱量.

采用牛頓冷卻定律建立界面換熱模型，如式(7)[20]所示.

式中：h(T)為回焊爐溫度場內(nèi)空氣流體與電路板之間的對流換熱系數(shù)；A為換熱面積；V為體積.將式(7)化簡，即

式中：θ=t(h，τ)-Ti為過余溫度.邊界條件為初始溫度，如式(9)所示.

式中：ti為進入第i溫區(qū)時焊接中心的初始溫度；θi為進入第i溫區(qū)時焊接中心的初始過余溫度.

綜上所述，可得到焊接中心處溫度變化表達式，如式(10)所示[21].

式中：T∞為回焊爐溫度場內(nèi)經(jīng)一段時間傳熱后恒定不變時溫度場的溫度；取，i=0，1，2···10，RCi的 值僅與回焊爐內(nèi)流體溫度有關；hi(T)表示第i溫區(qū)回焊爐溫度場內(nèi)空氣流體與電路板之間的對流換熱系數(shù).

2 多目標爐溫曲線優(yōu)化模型

加熱因子是指使回焊爐爐溫曲線溫度從錫膏熔點溫度到峰值溫度所覆蓋的面積，即回焊爐爐溫曲線液相線以上的溫度對時間的積分[22-24]，文中采用無鉛常規(guī)錫膏，熔點為217 ℃.在建立焊接中心溫度變化模型的基礎上，以加熱因子最小和傳送帶速度最大為目標，利用量子粒子群算法進行多目標優(yōu)化，進而獲得最優(yōu)回焊爐爐溫曲線.

2.1 目標函數(shù)1：加熱因子最小

為使加熱因子最小，建立目標函數(shù)如式(11)所示.

式中：ta為無鉛常規(guī)錫膏熔點，ta=217 ℃；Scover表示加熱因子；τa表示焊接中心溫度第一次達到ta的時間；τmax表示焊接中心溫度達到峰值溫度的時間；τb表示焊接中心溫度第二次達到ta的時間.

2.2 目標函數(shù)2：最優(yōu)傳送帶速度

傳送帶速度最優(yōu)，即在滿足爐溫曲線制程界限和工藝要求的前提下過爐速度最大，如式(12)所示.

式中：Vbest為電路板的最大過爐速度.

2.3 約束條件

約束條件包括傳送帶的過爐速度、爐溫曲線的峰值溫度和焊接中心溫度的變化速率、預熱時間、焊接區(qū)域溫度超過無鉛常規(guī)錫膏熔點所用時間.

實際生產(chǎn)時傳送帶速度需滿足速度限值，如式(13)所示.

電路板在焊接生產(chǎn)過程中，爐溫曲線需滿足的制程界限如表2 所示.

表 2 傳送帶速度需滿足的制程界限Table 2 Process limits for conveyor speed

3 量子粒子群算法

在量子粒子群優(yōu)化算法中，將粒子的搜索空間從經(jīng)典空間轉(zhuǎn)化為量子空間，并使用薛定諤方程的波函數(shù)對量子空間中的粒子狀態(tài)進行表述.由于局部吸引子，粒子將最終會聚集到某個區(qū)域，其如式(14)[25]所示.

式中：o為粒子數(shù)；j為解空間維數(shù)；d為迭代次數(shù)；poj(d)為局部吸引子；Goj(d)為粒子的個體最佳位置；Zj為種群的全局最佳位置；φoj(d)是區(qū)間(0，1)上具有均勻概率密度函數(shù)的隨機數(shù).

在解空間中，粒子根據(jù)量子阱和波函數(shù)給出的密度函數(shù)向阱中心收斂，然后使用式(15)和式(16)更新所有粒子.

式中：Xoj(d+1)為粒子o在第(d+1)次迭代中的位置；u為收縮擴張因子，以控制量子粒子群的收斂速度，介于[0，1]之間的服從均勻分布的隨機數(shù)；Pbesdj(d)為粒子群的平均最優(yōu)位置；r為在區(qū)間(0，1)上分布的隨機數(shù)；M為種群規(guī)模.

為了避免人為因素對最優(yōu)結果選擇的影響，利用模糊隸屬函數(shù)[26]從帕累托(pareto)最優(yōu)解集中選擇合適的加熱方案.模糊隸屬函數(shù)計算的綜合滿意度值越大，說明求解的結果越好.模糊隸屬函數(shù)如式(17)所示.

式中：φk為對所有目標函數(shù)的總體滿意程度，φk值越高說明解越好；表示第l個目標的帕累托最優(yōu)解xm的滿意度；分別為第k個目標函數(shù)的最大值和最小值；Nf為帕累托解的個數(shù)；k為目標數(shù)；Nobj為目標函數(shù)的數(shù)量[27].

基于量子多目標粒子群算法的爐溫曲線優(yōu)化設計的算法流程如下.

(1)設定外部檔案最大儲存量Lmax、種群規(guī)模M等，根據(jù)制程界限確定可行解，在可行解中隨機初始化粒子群的位置.

(2)根據(jù)公式(11)和公式(12)計算適應度值，將非劣解存入外部檔案中，確定粒子個體最優(yōu)位置及全局最優(yōu)位置.

(3)根據(jù)公式(15)和公式(16)計算粒子群的平均最優(yōu)位置，并更新粒子狀態(tài).

(4)判斷更新后的粒子是否滿足制程界限，若滿足，則根據(jù)式(11)和式(12)計算該粒子的適應度值；若不滿足，則舍棄該粒子.

(5)利用pareto 原則更新非劣解集，并將其存入外部檔案.

(6)利用擁擠度排序法完成外部檔案更新.

(7)判斷是否滿足終止條件，若不滿足則返回step3重復計算直到達到最大迭代次數(shù)或滿足終止條件.

(8)利用模糊規(guī)則從pareto 解集中選擇最終方案.

4 模型求解和結果分析

根據(jù)1.3 節(jié)建立的熱傳導模型通過仿真模擬獲得回焊爐溫度場的溫度分布曲線如圖1 所示.以回焊爐基本參數(shù)為基礎，運用量子粒子群算法和最小二乘法擬合求解焊接中心溫度變化模型中的待定參數(shù)獲得模擬爐溫曲線，并與測試數(shù)據(jù)進行對比，如圖2 所示.電路板焊接中心溫度變化分布仿真結果如圖3所示.從圖2～圖3 可以很直觀的看出，模擬爐溫曲線與實測數(shù)據(jù)曲線的走勢大致相同，且收斂較好，驗證了所建模型的合理性.

圖 1 回焊爐溫度場溫度分布曲線Fig. 1 Temperature distribution curve of reweld furnace temperature field

圖 2 模擬爐溫曲線與實測溫度曲線對比Fig. 2 Comparison between simulated furnace temperature curve and measured temperature curve

圖 3 電路板焊接中心溫度分布圖Fig. 3 Temperature distribution diagram of circuit board welding center

在上述建立的電路板焊接中心溫度模型的基礎上，為了驗證文中提出的多目標爐溫曲線優(yōu)化模型的有效性，另外設置3 組比較情況如下.

(1)以無鉛常規(guī)錫膏的加熱因子最小為優(yōu)化目標，進行爐溫曲線優(yōu)化設計.

(2)以最優(yōu)過爐速度為優(yōu)化目標，進行爐溫曲線優(yōu)化設計.

(3)同時以無鉛常規(guī)錫膏的加熱因子最小和最優(yōu)過爐速度為優(yōu)化目標，進行爐溫曲線優(yōu)化設計.

3 種不同優(yōu)化設計情況對比結果如表3 所示.由表3 可以看出，文中提出的焊接中心溫度變化模型可以同時考慮最優(yōu)過爐速度和最小加熱因子.倘若僅考慮最優(yōu)過爐速度，就會導致加熱因子增大，焊接區(qū)域中心溫度超過無鉛常規(guī)錫膏熔點的時間過長，降低焊接質(zhì)量；若僅考慮最小加熱因子，則會降低電路板的過爐速度，影響焊接效率.故僅考慮單一目標優(yōu)化的代價就是影響其它優(yōu)化目標，進而影響最終優(yōu)化結果.因此，設計一種可以同時兼顧最優(yōu)速度和最小加熱因子兩個目標的焊接中心溫度變化模型，獲得的最優(yōu)速度為95.55 cm/min，最小加熱因子為1 753.04.

表 3 3 種不同優(yōu)化情況結果Table 3 Results of three different optimization conditions

以傳送帶過爐速度最優(yōu)和加熱因子最小為目標，采用量子多目標粒子群算法進行優(yōu)化求解，獲得各溫區(qū)的最優(yōu)爐溫曲線如圖4 所示；圖4 中A，B，C，D，E 點坐標如表4 所示；各小溫區(qū)最優(yōu)溫度值如表5 所示.

圖 4 優(yōu)化后的爐溫曲線Fig. 4 Optimized furnace temperature curve

表 4 優(yōu)化后爐溫曲線內(nèi)特殊點坐標值Table 4 Coordinate values of special points in the furnace temperature curve after optimization

表 5 優(yōu)化后獲得的最優(yōu)溫區(qū)溫度值Table 5 Optimal temperature value of temperature zone obtained after optimization

相同焊接質(zhì)量條件下，傳送帶速度越快越好，優(yōu)化后的速度為95.55 cm/min，接近速度界限上限.在焊接過程中，為保證焊接質(zhì)量，焊接區(qū)域中心溫度超過217 ℃的時間不宜過長，峰值溫度也不宜過高，故爐溫曲線的溫度峰值越低，越接近制程界限，覆蓋面積越小，加熱因子越小，爐溫曲線越理想，優(yōu)化后的峰值溫度為240.01 ℃，接近溫度峰值界限下限.

由圖4 和表5 可知，焊接中心升溫過程中位于[150 ℃，190 ℃]溫度區(qū)間的時間為60.5 s，焊接中心溫度位于[217 ℃，tmax]溫度區(qū)間的時間為59.5 s，焊接中心溫度變化速率如式(18)所示.

5 結論

(1)以回焊爐爐溫曲線為研究對象，在滿足制程界限和實際工藝要求的前提下，以傳送帶速度最優(yōu)和以無鉛常規(guī)錫膏的加熱因子最小為目標，運用量子多目標粒子群算法對爐溫曲線進行優(yōu)化設計，獲得了最大過爐速度和各溫區(qū)的最優(yōu)溫度.

(2)運用量子粒子群算法和最小二乘法擬合求得焊接中心溫度變化模型中的待定參數(shù)，獲得的模擬爐溫曲線與實測數(shù)據(jù)曲線走勢大致相同且收斂較好.

(3)同時兼顧最優(yōu)速度和最小加熱因子兩個目標優(yōu)化后的電路板過爐速度為95.55 cm/min，接近速度界限上限，加熱因子最小為1 753.04；優(yōu)化后的爐溫曲線整體呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢，存在一個峰值溫度，該峰值溫度為240.01 ℃，接近溫度峰值界限下限.