三參數(shù)Pasternak黏彈性地基中錐形樁的橫向自由振動特性研究

張金輪， 張阿祥， 葛仁余， 孫俊偉

(安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

錐形樁的楔型構(gòu)造改變了樁周土的天然結(jié)構(gòu)狀態(tài)，可改善土的物理力學(xué)性質(zhì)，有利于提高其承載力[1]，適用于一般土層結(jié)構(gòu)[2]，具有顯著的技術(shù)經(jīng)濟(jì)效果。我國于20世紀(jì)70年代已將圓錐形樁、正方錐形樁及矩形楔形樁等漸變截面樁應(yīng)用于實(shí)踐[3]，由于對其承載特性及樁身側(cè)面與樁周土相互作用的機(jī)理研究還不夠充分，使得在設(shè)計(jì)使用時(shí)尚無對應(yīng)的規(guī)范和計(jì)算方法，因而限制了其推廣應(yīng)用[4]。隨著理論方法與試驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步，相關(guān)變截面樁的動力特性研究逐漸受到關(guān)注[5-6]。單樁自振頻率是其動力分析的基本參數(shù)，與地基的物理力學(xué)指標(biāo)、樁的幾何力學(xué)性質(zhì)、質(zhì)量分布情況及樁端約束條件等因素有關(guān)[7]。關(guān)于單樁自由振動特性的相關(guān)理論與數(shù)值研究，Yesilce[8]僅考慮地基彈性剛度的影響，利用微分變換法和微分求積元法對彈性地基上半剛體連接的Reddy-Bickford型矩形梁的橫向自由振動特性進(jìn)行分析。王奎華等[9]基于廣義Voigt模型，在考慮樁身阻尼情況下，應(yīng)用阻抗傳遞法及Laplace變換技術(shù)研究了成層土體中帶明置承臺單樁的縱向自由振動問題，給出了自由振動位移的半解析解，但并沒有對樁的自振頻率及其衰減系數(shù)進(jìn)行具體分析。彭麗等[10-11]應(yīng)用復(fù)模態(tài)方法研究了三參數(shù)黏彈性地基上等截面梁的橫向自由振動特性，該法需求解超越方程使計(jì)算變得復(fù)雜。Mohammadimehr等[12]利用微分求積方法研究了三參數(shù)Pasternak黏彈性地基上錐形黏彈性微桿的橫向自由振動特性。Ma等[13]對樁的臨界荷載和屈曲結(jié)構(gòu)進(jìn)行解析求解，討論了地基彈性剛度與剪切剛度對單樁的屈曲響應(yīng)和自由振動特性的影響，但并未考慮地基阻尼的作用。柳偉等[14-15]基于Timoshenko梁理論的Winkler地基模型，運(yùn)用回傳射線矩陣法及求根法研究了黏彈性地基中單樁的外露長度、埋置深度、樁端約束情況對其縱-橫向耦合自由振動各階自振頻率及其衰減系數(shù)與振型的影響，但未考慮地基剪切剛度的作用。Zhang等[16]基于Timoshenko梁理論，應(yīng)用插值矩陣法研究了三參數(shù)Pasternak黏彈性地基上錐形梁的橫向自由振動特性，將地基參數(shù)設(shè)為常量分析了兩端簡支邊界下錐度系數(shù)與地基阻尼對梁固有頻率的耦合效應(yīng)。基于Euler-Bernoulli理論，Lee等[17]考慮長圓錐形摩擦樁的樁側(cè)均布摩阻力與樁周土地基彈性剛度沿樁身的變化，建立了一種求解非均質(zhì)彈性地基中錐形樁的固有頻率和振型的理論模型；Liu等[18]同時(shí)考慮樁周土的線性軸向摩擦和線性側(cè)移剛度，通過近似解析方法研究了非均質(zhì)彈性地基中圓錐形摩擦樁的屈曲特性；但均未考慮樁周土阻尼與剪切剛度的影響。綜上所述，目前考慮黏彈性地基中錐形樁有阻尼橫向自由振動特性的研究鮮見報(bào)道。

本文在Zhang等研究的基礎(chǔ)上，將樁體簡化為線彈性錐形Timoshenko梁-柱，考慮圓截面錐形樁樁徑沿縱向線性變化引起樁側(cè)摩阻力與樁周土地基參數(shù)沿樁身縱向連續(xù)分布的不均勻性，提出三參數(shù)Pasternak黏彈性地基中錐形樁的動力學(xué)模型，利用微元體的平衡條件建立其振動控制方程，應(yīng)用微分求積法與QR法求解該樁-土體系的橫向自由振動響應(yīng)。通過算例，分析了相應(yīng)邊界條件欠阻尼狀態(tài)下樁身錐角、地基阻尼、地基橫向彈性剛度與剪切剛度、樁側(cè)摩阻力、軸向荷載、樁長徑比等參數(shù)對其橫向自由振動頻率特性的影響。

1 錐形樁-土體系動力學(xué)模型及控制方程

1.1 基本假定及計(jì)算模型

結(jié)合現(xiàn)有研究成果，為便于建立方程，做以下基本假定：①將錐形樁簡化為線彈性錐形Timoshenko梁-柱，即同時(shí)考慮樁橫截面彎矩變形、剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量的影響；②樁周土土質(zhì)均勻、各向同性，視為黏彈性連續(xù)介質(zhì)，采用三參數(shù)Pasternak黏彈性地基模型模擬樁周土；③考慮樁-土相互作用受樁徑大小的影響，假定樁側(cè)摩阻力與各地基參數(shù)自樁頂至樁底均與樁徑呈等比例線性變化，形成樁-土體系的計(jì)算模型，如圖1所示。

圖1 樁-土體系的計(jì)算模型

圖1中：樁長為l；x為橫向坐標(biāo)；z為從樁頂沿豎向的坐標(biāo)；t為時(shí)間；P為承臺傳遞的軸向荷載。設(shè)任意z處截面中性軸上的橫向位移為u(z,t)，截面彎曲轉(zhuǎn)角為φ(z,t)；樁的彈性模量為Ep、質(zhì)量密度為ρp、剪切模量為Gp、泊松比為νp、截面剪切修正系數(shù)為κ，均為常量，且有Gp=Ep/[2(1+νp)]；樁橫截面的周長、面積與慣性矩分別用up(z)、Ap(z)與Ip(z)表示，均為關(guān)于z的連續(xù)可微函數(shù)，設(shè)up(z)=up0h1(z)，Ap(z)=Ap0h2(z)，Ip(z)=Ip0h3(z)，up0、Ap0、Ip0對應(yīng)于樁頂橫截面的周長、面積與慣性矩。對于圓錐形樁，其截面幾何性質(zhì)描述如下式

(1)

式中：d0為樁頂截面直徑；m為描述截面幾何性質(zhì)變化的錐度系數(shù)，且0≤m<1。設(shè)錐形樁錐角為θ，樁頂截面半徑為r0，則有：m=tanθ·l/r0。可知，當(dāng)m值為零時(shí)，表示為等截面樁；當(dāng)l/r0值一定時(shí)，m值越大，反映錐形樁的錐角越大。

圖1(a)中，φ、γ、α分別為樁身微元段中性軸由純彎矩引起的轉(zhuǎn)角、由純剪力引起的剪切角、由彎矩和剪力共同作用引起的轉(zhuǎn)角，且φ=α-γ。圖1(b)中：M(z,t)、Q(z,t)、N(z,t)分別為樁身任意深度z處橫截面上的彎矩、剪力與軸力；fI(z,t)為由橫向振動引起的單位長度橫向慣性力；mI(z,t)為由橫向振動引起的單位長度轉(zhuǎn)動慣性力矩；Rs(z,t)為樁周土的地基反力。由Timoshenko梁理論可得如下關(guān)系[19]

(2)

(3)

(4)

(5)

設(shè)任意深度z處，軸向力N(z,t)始終與樁軸線方向相切，且不計(jì)樁自質(zhì)量對軸向力的影響，N(z,t)>0表示為軸向壓力；樁-土界面處的摩擦力用單位摩阻力f(z)表示，假定樁側(cè)摩阻力隨深度均勻線性變化，即

(6)

式中：f0為樁頂位置處對應(yīng)的樁側(cè)摩阻力；n1為比例系數(shù)。則深度z處樁橫截面上的軸向力表示為

(7)

將式(1)的第1項(xiàng)與式(6)代入式(7)，得

P-f0up0lh4(z)

(8)

式中，h4(z)為關(guān)于z的連續(xù)可微函數(shù);可知，當(dāng)f0=0時(shí)表示樁身不考慮土的豎向摩擦力影響，為端承樁。

由前述基本假定可得，微元體變形后，橫截面上的水平向力H(z,t)與剪力Q(z,t)及軸向力N(z,t)的關(guān)系為[20]

(9)

土層任意深度z處，設(shè)樁周土模型的橫向彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)與剪切系數(shù)分別用k(z)、c(z)和g(z)表示。由三參數(shù)Pasternak黏彈性地基模型，可知

(10)

根據(jù)基本假定式(3)，可設(shè)

(11)

式中：k0、c0、g0分別為樁頂位置處對應(yīng)的地基橫向彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)與剪切系數(shù)，分別反映樁周土的地基橫向彈性剛度、阻尼效應(yīng)與剪切剛度對樁身的作用；n2、n3、n4為比例系數(shù)。

1.2 錐形樁橫向自由振動控制方程及邊界條件

根據(jù)圖1(b)微元段變形后的動力平衡條件即截面橫向受力與彎矩的平衡，結(jié)合式(2)～式(5)、式(9)、式(10)，推導(dǎo)出錐形樁橫向自由振動的控制方程為

(12)

將式(1)、式(8)、式(10)、式(11)代入式(12)，整理得

(13)

考慮自由振動問題，可設(shè)

u(z,t)=U(z)eλt,φ(z,t)=Φ(z)eλt

(14)

式中：U(z)、Φ(z)分別為樁身橫向位移和截面彎曲轉(zhuǎn)角的振型函數(shù)；λ為錐形樁的特征復(fù)頻率；e為自然底數(shù)。

將式(14)代入式(13)，則通過分離變量消除eλt項(xiàng)后，樁的橫向自由振動控制方程轉(zhuǎn)化為下式

(15)

(16)

式(16)中系數(shù)項(xiàng)含有Ω2項(xiàng)，為便于求解方程組，引入2個(gè)新的變量函數(shù)Y1(ξ)、Y2(ξ)，即

(17)

將式(17)代入式(16)，并聯(lián)立得如下方程組

(18)

為便于描述本文方法的求解過程，引入下列系數(shù)參量代入式(18)得式(19)。

(19)

式中：g(ξ)為方程組中不含特征值Ω的系數(shù)項(xiàng)；q為含特征值Ω的系數(shù)項(xiàng)；g(ξ)與q的第1個(gè)下標(biāo)為微分方程組的方程，3為第3個(gè)方程，4為第4個(gè)方程；第2個(gè)下標(biāo)為微分方程組中相應(yīng)的函數(shù)，1為Y1(ξ)，2為Y2(ξ)，3為W(ξ)，4為Φ(ξ)；第3個(gè)下標(biāo)為對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)階數(shù)，1為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，2為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

關(guān)于樁端的邊界條件，下面對固支(C)、鉸支(H)、約束轉(zhuǎn)角(P)和自由(F)4種邊界約束條件對應(yīng)的方程進(jìn)行描述。

(1)對于固支邊界條件，z=0或l位置：u(z,t)=0，φ(z,t)=0。無量綱化后，ξ=0與ξ=1處的邊界條件方程為

(20)

(2)對于鉸支邊界條件，z=0或l位置：u(z,t)=0，M(z,t)=0。無量綱化后，ξ=0與ξ=1處的邊界條件方程為

(21)

(3)對于約束轉(zhuǎn)角邊界條件，z=0或l位置：H(z,t)=0，φ(z,t)=0。無量綱化后，ξ=0與ξ=1處的邊界條件方程為

(22)

(4)對于自由邊界條件，z=0或l位置：H(z,t)=0，M(z,t)=0。無量綱化后，ξ=0與ξ=1處的邊界條件方程為

(23)

至此，軸向荷載作用下黏彈性地基中錐形樁橫向自由振動的固有頻率及其對應(yīng)振型函數(shù)求解問題，已經(jīng)轉(zhuǎn)化為求解滿足相應(yīng)邊界條件方程式(20)～式(23)的變系數(shù)常微分方程組式(19)的一次特征值及其特征向量問題。

2 振動控制方程的微分求積法求解

由于錐形樁-土體系的振動控制方程式(19)及邊界方程式(20)～式(23)中均含有變系數(shù)項(xiàng)，該類問題很難獲得解析解，本文采用微分求積法進(jìn)行數(shù)值解析。鑒于微分求積法對節(jié)點(diǎn)的離散形式較為敏感，基于數(shù)學(xué)角度，選取靠近邊界的節(jié)點(diǎn)步長逐步減小的分布形式對減少權(quán)系數(shù)的截?cái)嗾`差、提高計(jì)算精度有利；基于力學(xué)角度，如剛度在端部附近區(qū)域發(fā)生突變或由于端部邊界條件的影響，使得端點(diǎn)附近成為位移和內(nèi)力變化最敏感的區(qū)域，在端部區(qū)域布置較多細(xì)密非均勻節(jié)點(diǎn)同樣利于計(jì)算精度的提高。因此，本文采用非均勻分布的等比數(shù)列節(jié)點(diǎn)離散形式對ξ∈[0,1]區(qū)間進(jìn)行節(jié)點(diǎn)變步長設(shè)置，如圖2所示，對應(yīng)節(jié)點(diǎn)離散公式如下[21]

圖2 樁的離散模型

(24)

式中:ξi∈[0,1]，區(qū)間分段數(shù)n取為偶數(shù)，q1為調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)步長的公比，可根據(jù)邊界條件與計(jì)算精度的需要調(diào)整，Zhang等給出了q1的合理取值范圍，并驗(yàn)證了該類型節(jié)點(diǎn)與微分求積法中常用的以切比雪夫多項(xiàng)式根為節(jié)點(diǎn)具有相同的幾何特征和計(jì)算精度。本文相關(guān)數(shù)值計(jì)算均取n=32,q1=1.2，后面不再贅述。

根據(jù)微分求積法原理，函數(shù)W(ξ)、Ф(ξ)在各節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)函數(shù)值可用(n+1)個(gè)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)線性求和來近似表示。函數(shù)及其相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值用拉格朗日插值表示為

(25)

式中，lj(ξ)為拉格朗日插值多項(xiàng)式，即

(26)

對式(25)函數(shù)W(ξ)、Ф(ξ)分別求一階導(dǎo)數(shù)，得

(27)

將式(27)中的ξ離散化，可知

(28)

依次類推，則

i,j=0,1,2,…,n

(29)

(30)

式(29)用向量形式表示為

(31)

W(r)(ξi)={W(r)(ξ0),W(r)(ξ1),…,W(r)(ξn)}T，

W(ξj)={W(ξ0),W(ξ1),…,W(ξn)}T，

Φ(r)(ξi)={Φ(r)(ξ0),Φ(r)(ξ1),…,Φ(r)(ξn)}T，

Φ(ξj)={Φ(ξ0),Φ(ξ1),…,Φ(ξn)}T，

由函數(shù)微分關(guān)系

(32)

可得，函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)矩陣之間的關(guān)系如下

(33)

將振動控制方程式(19)數(shù)值離散，并用向量形式表示，方程中的變系數(shù)項(xiàng)寫成對角陣形式，即

G332=diag{g332(ξ0),g332(ξ1),…,g332(ξn)},

G331=diag{g331(ξ0),g331(ξ1),…,g331(ξn)},

G330=diag{g330(ξ0),g330(ξ1),…,g330(ξn)},

G340=diag{g340(ξ0),g340(ξ1),…,g340(ξn)},

G310=diag{g310(ξ0),g310(ξ1),…,g310(ξn)},

G431=diag{g431(ξ0),g431(ξ1),…,g431(ξn)},

G441=diag{g441(ξ0),g441(ξ1),…,g441(ξn)},

G440=diag{g440(ξ0),g440(ξ1),…,g440(ξn)},

Q310=diag{q310,q310,…,q310},

Q420=diag{q420,q420,…,q420}

結(jié)合式(31)、式(33)，將振動控制方程式(19)轉(zhuǎn)化為向量矩陣形式如下

(34)

關(guān)于邊界條件的處理，不失一般性地以樁頂約束轉(zhuǎn)角、樁底固支邊界條件(P-C)為例，對應(yīng)邊界條件方程的向量形式可寫為

(35)

式中，[…]L為矩陣[…]的第L行元素。

式(34)由4個(gè)最高階導(dǎo)函數(shù)為2階的代數(shù)方程組成，可采用直接法引入式(35)中的4個(gè)邊界條件方程。具體做法是分別用式(35)第1式中向量W前的行元素替換式(34)第3式中矩陣B的第1行元素，向量Ф前的行元素替換矩陣C的第1行元素、第3式的其余系數(shù)項(xiàng)矩陣的第1行元素均用數(shù)值0替換；用式(35)第2式中向量Ф前的行元素替換式(34)第4式中矩陣E的第1行元素，第4式的其余系數(shù)項(xiàng)矩陣的第1行元素均用數(shù)值0替換；用式(35)第3式中向量W前的行元素替換式(34)第3式中矩陣B的第(n+1)行元素，第3式的其余系數(shù)項(xiàng)矩陣的第(n+1)行元素均用數(shù)值0替換；用式(35)第4式中向量Ф前的行元素替換式(34)第4式中矩陣E的第(n+1)行元素，第4式的其余系數(shù)項(xiàng)矩陣的第(n+1)行元素均用數(shù)值0替換。

(36)

式(36)為含有(4n+4)個(gè)未知向量的一般線性代數(shù)特征方程組，進(jìn)而應(yīng)用QR分解技術(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可同時(shí)得到一系列特征值Ω及其對應(yīng)特征向量Y1、Y2、W、Φ，且均為復(fù)數(shù)形式。其中：Ω即為錐形樁的無量綱特征復(fù)頻率；W、Φ為其對應(yīng)的橫向位移與彎曲轉(zhuǎn)角的復(fù)振型，相應(yīng)振型的虛部與實(shí)部分別用WI、WR與ΦI、ΦR表示。

3 算例與討論

根據(jù)第2章微分求積法求解黏彈性地基中錐形樁橫向自由振動控制微分方程組的方案，采用FORTRAN語言編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并在1 s以內(nèi)完成相應(yīng)問題的求解。下面先通過2個(gè)已知結(jié)果的算例驗(yàn)證目前方法的適用性，進(jìn)一步分析各相關(guān)參數(shù)及比例系數(shù)對樁固有特性的影響。

3.1 數(shù)值算例對比驗(yàn)證

3.1.1 等截面Timoshenko梁的橫向自由振動

當(dāng)式(16)中無量綱參量m=β=k=c=g=0時(shí)，模型退化為等截面Timoshenko梁的橫向自由振動問題。表1列舉了當(dāng)無量綱參量r=0.01、s=0.031 2、p=0時(shí)，不同邊界條件下等截面Timoshenko梁前5階無量綱固有頻率。由表1可知，本文解與Tang等的精確解幾乎完全吻合，驗(yàn)證了目前方法在求解不同邊界條件下等截面Timoshenko梁橫向自由振動固有頻率良好的適用性與高精度。此外，與Zhang等的解相比，本文方法的區(qū)間分段數(shù)n明顯較小，求解一般線性代數(shù)特征方程組矩陣的階數(shù)為132×132，而Zhang等的解為324×324?？梢?，在達(dá)到同等精度條件下，目前方法的計(jì)算效率優(yōu)于Zhang等的解。

表1 不同邊界下，等截面Timoshenko梁橫向自由振動前5階固有頻率(r=0.01, s=0.0312, p=0)

3.1.2 黏彈性地基上錐形梁的橫向自由振動

當(dāng)不考慮樁-土界面摩擦力影響，且樁周土的地基參數(shù)沿樁縱向?yàn)槌Ａ考词?16)中無量綱參量β=0,n1=n2=n3=n4=0時(shí)，模型退化為三參數(shù)Pasternak黏彈性地基上錐形Timoshenko梁的橫向自由振動問題，梁的幾何性質(zhì)同式(1)。表2列舉了無量綱參量r=0.002 5,s=0.012 5,p=0.25,k=2.5,g=0.246時(shí)，不同邊界條件下梁的前3階無量綱固有頻率及對應(yīng)衰減系數(shù)，并與Zhang等的研究進(jìn)行對比，相關(guān)數(shù)值結(jié)果高度吻合?？梢?，目前方法適用于求解三參數(shù)黏彈性地基上變截面Timoshenko梁的橫向自由振動問題。此外，由表2可知，邊界條件、錐度系數(shù)與地基阻尼系數(shù)對梁的各階固有頻率及其衰減系數(shù)均有較大影響；相同參數(shù)下，梁的各階頻率相差較大，而衰減系數(shù)相差相對較小。

表2 不同邊界下，三參數(shù)Pasternak黏彈性地基上錐形Timoshenko梁橫向自由振動前3階固有頻率及其衰減系數(shù)(r=0.002 5, s=0.012 5, p=0.25, k=2.5, g=0.246; n=32, q1=1.2)

3.2 黏彈性地基中錐形樁橫向自由振動特性分析

參照文獻(xiàn)[22-23]進(jìn)行樁-土體系的參數(shù)取值，設(shè)均質(zhì)黏彈性地基中，圓截面錐形樁的彈性模量Ep=2.0×1010N/m2，質(zhì)量密度ρp=2.5×103kg/m3，泊松比νp=0.17，樁頂截面半徑r0=d0/2=0.15 m，樁長l=1.8 m，截面剪切修正系數(shù)κ=0.75；樁周土的彈性模量Es=4.0×106N/m2，質(zhì)量密度ρs=2.0×103kg/m3，泊松比νs=0.4。參照Liu等的研究，取樁頂處樁側(cè)摩阻力的初值f0=100 kPa；取樁頂承受軸向壓力的初值為P=100 kN；考慮樁頂平臺的影響，將樁頂邊界條件近似為轉(zhuǎn)角約束。對應(yīng)地基參數(shù)，k0按經(jīng)驗(yàn)公式取值[24]，即

k0=1.2Es

(37)

根據(jù)文獻(xiàn)[25]提供的c0參數(shù)建議取值范圍，確定無量綱參數(shù)c的取值范圍為[0, 0.1]；設(shè)無量綱參數(shù)g的值范圍為[0, 0.1]，當(dāng)g=0時(shí)，樁周土模型退化為動力Winkler模型。根據(jù)上述已知條件，相應(yīng)無量綱參數(shù)為：r=1.736×10-3,s=5.417×10-3,p=2.207×10-4,β=3.744×10-4,k=0.034 3 , 取初值c=g=0.02。在具體數(shù)值計(jì)算中，為便于參數(shù)分析，由樁側(cè)摩阻力隨楔角增大而增大，取比例系數(shù)n1=-m；由Voigt體的彈性系數(shù)、粘壺系數(shù)與樁徑成正比[26]，取比例系數(shù)n2=n3=n4=m。

表3給出了3種邊界條件下，錐度系數(shù)m=0和m=0.5時(shí)樁的前5階無量綱固有頻率及其衰減系數(shù)。其中，固有頻率為欠阻尼自振頻率；對應(yīng)衰減系數(shù)為負(fù)值反映了地基阻尼對樁位移輸出響應(yīng)的衰減特性，數(shù)值越小，位移振幅衰減越快。由表3可知：樁頂約束轉(zhuǎn)角時(shí)，固有頻率隨樁底約束的減弱明顯降低，而對應(yīng)衰減系數(shù)小幅增大；樁頂直徑相同時(shí)，錐形樁較等截面樁的固有頻率降低，而對應(yīng)衰減系數(shù)增大，描述了樁身沿縱向逐漸變?nèi)岷蠊逃刑匦缘娘@著變化；相同參數(shù)時(shí)，各階固有頻率相差較大，而衰減系數(shù)相差微小，反映本文錐形樁-土體系可近似視為比例阻尼系統(tǒng)。

表3 不同邊界下，樁的前5階無量綱固有頻率及其衰減系數(shù)(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, c=g=0.02; n1=-m, n2=n3=n4=m)

3.2.1 錐角與地基阻尼對樁固有特性的影響

由式(1)可知，當(dāng)樁長與樁頂截面半徑之比l/r0不變時(shí)，錐形樁的錐角與錐度系數(shù)成正比，可通過調(diào)整錐度系數(shù)m值分析錐角θ對樁固有頻率及其振型的影響。

圖3、圖4分別描述了欠阻尼狀態(tài)下，3種邊界條件樁前2階固有頻率及其衰減系數(shù)隨錐度系數(shù)在[0, 0.85]內(nèi)變化的關(guān)系曲線。由圖3可知：樁頂約束轉(zhuǎn)角時(shí)樁底約束越強(qiáng)，基頻越大，對應(yīng)衰減系數(shù)越??；基頻及其衰減系數(shù)均隨錐度系數(shù)的增加而降低，且降幅受邊界條件影響顯著，P-C邊界基頻降幅最大而衰減系數(shù)降幅相對較小，P-H邊界基頻降幅較小而衰減系數(shù)降幅居中，P-F邊界基頻降幅最小而衰減系數(shù)降幅相對較大。由圖4可見：P-C邊界與P-H邊界第2階固有頻率均隨錐度系數(shù)的增加而降低，P-C邊界降幅較大，而P-F邊界隨錐度系數(shù)的增加先降后增；3種邊界第2階衰減系數(shù)均隨錐度系數(shù)的增加呈明顯的非線性降低。結(jié)合圖3與圖4來看：考慮到常見錐形樁的楔角小于2°即當(dāng)m≤0.5時(shí)，固有頻率及其衰減系數(shù)隨楔角的增加而降低，數(shù)值上該降幅2階高于1階，且受邊界條件影響較大。

圖3 不同邊界下，樁第1階無量綱固有頻率及衰減系數(shù)隨錐度系數(shù)的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3,p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, c=g=0.02; n1=-m, n2=n3=n4=m)

圖4 不同邊界下，樁第2階無量綱固有頻率及衰減系數(shù)隨錐度系數(shù)的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, c=g=0.02; n1=-m, n2=n3=n4=m)

以P-C邊界為例，圖5、圖6分別刻畫了等截面樁(m=0)與錐形樁(m=0.5)前3階樁身截面橫向位移與彎曲轉(zhuǎn)角振型的虛部與實(shí)部。在給定邊界條件與參數(shù)范圍內(nèi)，樁頂直徑相同時(shí)，由圖5(a)、圖6(a)來看：錐形樁第1階位移與轉(zhuǎn)角幅值明顯大于等截面樁，最大位移幅值位于樁頂，最大轉(zhuǎn)角幅值向樁底偏離；第2、第3階相差并不大，且最大位移幅值不在樁頂處。由圖5(b)、圖6(b)可知：錐形樁第1、第3階衰減幅值明顯低于等截面樁，第2階衰減幅值則高于等截面樁，這表明在欠阻尼狀態(tài)下地基阻尼對錐形樁基頻響應(yīng)的影響較大，而對高頻響應(yīng)的影響并不突出。

圖5 P-C邊界，樁的前3階截面橫向位移振型(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, c=g=0.02; n1=-m, n2=n3=n4=m)

圖6 P-C邊界，樁前3階截面彎曲轉(zhuǎn)角振型(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, c=g=0.02; n1=-m, n2=n3=n4=m)

圖7反映了P-C邊界樁頂直徑相同時(shí)，不同錐度系數(shù)m下樁的無量綱基頻ω1及其衰減系數(shù)δ1隨無量綱地基阻尼系數(shù)c的變化曲線。由圖7(a)可知：在欠阻尼狀態(tài)，m=0，0.1，0.3，0.5時(shí)對應(yīng)的無量綱基頻ω1均隨無量綱地基阻尼系數(shù)c的增大而非線性降低，直至c=ccr達(dá)到各自臨界阻尼狀態(tài)時(shí)ω1剛好為0，之后隨著c繼續(xù)增大，樁進(jìn)入過阻尼狀態(tài)，此時(shí)ω1≡0，樁不發(fā)生振動而變?yōu)榧兯p運(yùn)動，最后停止運(yùn)動[27]；取相同的c值，錐度系數(shù)m值越大，欠阻尼狀態(tài)下基頻越小，進(jìn)而衰減振動周期越長；m=0，0.1，0.3，0.5達(dá)到各自臨界阻尼狀態(tài)對應(yīng)的無量綱臨界阻尼分別為ccr=0.074 15，0.068 14，0.057 16，0.047 52。由圖7(b)可見：在cccr時(shí)為過阻尼范圍，ω1≡0，特征方程有2個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，此時(shí)變?yōu)榧兯p運(yùn)動，曲線開口向右，且開口隨m值的增大而減小，同時(shí)注意到不同m值曲線部分疏離明顯，表明過阻尼狀態(tài)下，錐角大小對樁的位移輸出響應(yīng)有較大影響。

圖7 P-C邊界，不同錐度系數(shù)下樁無量綱基頻及對應(yīng)衰減系數(shù)隨地基阻尼系數(shù)的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, g=0.02; n1=-m, n2= n3= n4= m)

此外，圖8描述了P-C邊界m=0.5且c∈[0, 0.03]的欠阻尼狀態(tài)下，不同比例系數(shù)n3時(shí)樁的無量綱基頻ω1隨c值的變化曲線，n3>0表示樁周土的橫向阻尼系數(shù)自樁頂至樁底逐漸線性減小，n3=0表示不變，n3<0表示線性增大。由圖8可知：c值較大時(shí)，樁周土地基阻尼系數(shù)沿樁身的變化對其基頻的影響不可忽略，需考慮由樁徑線性減小引起樁周土阻尼作用的變化。

圖8 P-C邊界，不同比例系數(shù)n3下樁無量綱基頻隨地基阻尼系數(shù)的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, g=0.02; m=0.5, n1=-m, n2=n4=m)

3.2.2 地基橫向彈性系數(shù)與剪切系數(shù)對基頻的影響

圖9、10分別反映了P-C邊界m=0.5及不同比例系數(shù)n2與n4時(shí)，欠阻尼狀態(tài)下樁周土無量綱地基橫向彈性系數(shù)k與剪切系數(shù)g對樁的無量綱基頻ω1的影響關(guān)系曲線，n2及n4>0表示樁周土的橫向彈性剛度與剪切剛度自樁頂至樁底逐漸線性減小，n2及n4=0表示不變，n2及n4<0表示線性增大。由圖9、圖10來看：欠阻尼自振基頻ω1均隨著k值與g值的增加而增大，進(jìn)而衰減振動的周期隨k值與g值的增加反而減?。豢紤]k值或g值自樁頂至樁底逐漸線性增大時(shí)(n2或n4<0)，基頻ω1值高于均勻分布(n2或n4=0)；考慮k值或g值自樁頂至樁底逐漸線性減小時(shí)(n2或n4>0)，基頻ω1值低于均勻分布。此外，數(shù)值結(jié)果表明樁周土無量綱地基橫向彈性系數(shù)k與剪切系數(shù)g對其衰減系數(shù)幾無影響。

圖9 P-C邊界，不同比例系數(shù)n2下樁無量綱基頻隨地基橫向彈性系數(shù)的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, c=g=0.02; m=0.5, n1=-m, n3= n4= m)

圖10 P-C邊界條件，不同比例系數(shù)n4下無量綱基頻隨地基剪切系數(shù)的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, β=3.744×10-4, k=0.034 3, c=0.02; m=0.5, n1=-m, n2=n3=m)

3.2.3 樁-土界面摩擦力、軸向荷載與樁長徑比對基頻的影響

圖11描述了P-C邊界m=0.5及不同比例系數(shù)n1時(shí)，欠阻尼狀態(tài)下樁的無量綱基頻ω1隨無量綱樁側(cè)摩阻力β值的變化曲線，n1=0表示樁側(cè)摩阻力自樁頂至樁底不變，n1<0表示線性增大。由圖11可見：樁的基頻隨樁周土摩阻力的增加而增大，且-n1值越大，基頻的增幅越大；β值很小時(shí)影響并不明顯，但β值較大時(shí)不考慮樁-土界面摩擦力的影響會低估樁的固有頻率。此外，數(shù)值結(jié)果表明樁-土界面摩擦力對其衰減系數(shù)幾無影響。

圖11 P-C邊界，不同比例系數(shù)n1下樁無量綱基頻隨樁側(cè)摩阻力的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, p=2.207×10-4, k=0.034 3, c=g=0.02; m=0.5, n2=n3=n4=m)

圖12刻畫了P-C邊界樁頂直徑相同時(shí)，欠阻尼狀態(tài)下不同錐度系數(shù)m對應(yīng)的樁無量綱基頻ω1隨樁頂無量綱軸向荷載p的變化曲線。由圖12來看：ω1隨p值的增加而快速減小，且減幅隨m值的增加而增大，當(dāng)ω1減小至0時(shí)樁發(fā)生屈曲，此時(shí)軸向荷載為其屈曲臨界荷載pcr；m=0，0.1，0.3，0.5時(shí)對應(yīng)的無量綱屈曲臨界荷載分別為pcr=0.075 8，0.065 4，0.047 2，0.032 0，即錐度系數(shù)越大，對應(yīng)錐形樁的屈曲臨界荷載越小。這表明隨著樁身沿縱向逐漸變?nèi)崾蛊湔w剛度降低，故而樁的屈曲穩(wěn)定性顯著降低。此外，數(shù)值結(jié)果表明樁頂軸向荷載對其衰減系數(shù)并無影響。

圖12 P-C邊界，不同錐度系數(shù)下樁無量綱基頻隨軸向荷載的變化關(guān)系曲線(r=1.736×10-3, s=5.417×10-3, β=3.744×10-4, k=0.034 3, c=g=0.02; n1=-m, n2=n3=n4= m)

設(shè)錐形樁的樁長與樁頂直徑的比值為其長徑比即μ=l/d0，以樁頂直徑不變?yōu)榍疤?，可通過調(diào)整樁長反映長徑比的變化?？芍?，當(dāng)m值一定且不為零時(shí)，隨著樁長增大，錐角逐漸減?。幌嚓P(guān)無量綱參數(shù)中r、s隨樁長的增加而減小，k、β值隨樁長的增加而增大，c、g、p保持不變。為便于比較，將無量綱固有頻率ω轉(zhuǎn)化為含量綱的固有角頻率，并用λI表示?？傻?/p>

(38)

圖13刻畫了P-C邊界樁頂直徑相同時(shí)，欠阻尼狀態(tài)下不同錐度系數(shù)m對應(yīng)的樁基頻λI1隨樁長徑比μ的變化曲線。由圖13可知：樁的自振基頻隨樁長徑比的增加先快速降低后緩慢降低，進(jìn)而趨于穩(wěn)定；當(dāng)μ<10時(shí)錐度系數(shù)與長徑比的耦合作用對基頻影響較大，當(dāng)10<μ<20時(shí)該耦合作用對其基頻的影響逐漸減小，當(dāng)μ>20時(shí)該耦合作用對其基頻的影響可以忽略不計(jì)。這表明隨著樁長徑比的增大，一方面樁身截面剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量的影響逐漸降低即由Timoshenko梁逐漸向Euler-Bernoulli梁逼近；另一方面樁身錐角也逐漸減小，使得錐形樁的基頻逐漸趨向于等截面樁。此外，數(shù)值結(jié)果表明樁長徑比μ增加使基頻λI1對應(yīng)衰減系數(shù)λR1有微小增長，可忽略不計(jì)，在此不再贅述。

圖13 P-C邊界，不同錐度系數(shù)下樁基頻隨其長徑比的變化關(guān)系曲線(p=2.207×10-4, c=g=0.02; n1=-m, n2=n3=n4=m)

4 結(jié) 論

基于Timoshenko梁理論，利用樁身微元體變形后的受力平衡條件建立了三參數(shù)Pasternak黏彈性地基中錐形樁的動力學(xué)模型，通過2個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了目前方法的適用性。進(jìn)一步，應(yīng)用微分求積法分析了圓截面錐形樁的橫向自由振動特性。以錐度系數(shù)衡量樁身錐角的變化，同時(shí)考慮軸向荷載、樁-土截面摩擦力及其沿樁身線性分布、樁長徑比、地基參數(shù)及其沿樁身分布情況等對樁固有特性的影響，重點(diǎn)探討了P-C邊界條件下樁的自振基頻及其衰減系數(shù)隨錐角與地基阻尼的變化規(guī)律。在給定參數(shù)范圍內(nèi)，得到主要結(jié)論如下：

(1) 樁頂約束轉(zhuǎn)角時(shí)，固有頻率隨樁底約束的減弱明顯降低，而衰減系數(shù)小幅增大；相同參數(shù)時(shí)，各階固有頻率相差較大，而衰減系數(shù)相差微小，反映樁-土體系可近似視為比例阻尼系統(tǒng)。

(2) 當(dāng)錐度系數(shù)m≤0.5時(shí)，樁的固有頻率及其衰減系數(shù)隨錐角的增加而降低，且受邊界條件影響較大。隨著地基阻尼的逐漸增大，錐形樁經(jīng)歷欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)，且錐角越大，臨界阻尼越小。表明錐角與地基阻尼的有明顯的耦合效應(yīng)。

(3) 樁周土的地基橫向彈性剛度、剪切剛度與地基阻尼較大時(shí)，對于錐形樁需考慮由樁徑變化引起樁-土相互作用沿樁身縱向分布的不均勻性。

(4) 樁的基頻隨樁側(cè)摩阻力的增加而增大，樁側(cè)摩阻力較大時(shí)不考慮樁-土界面摩擦力的影響會低估樁的固有頻率。

(5) 樁長與樁頂直徑一定時(shí)，隨著錐角的增大，樁身沿縱向逐漸變?nèi)崾蛊湔w剛度降低，樁的屈曲臨界荷載明顯減?。粯俄斨睆揭欢〞r(shí)，樁的自振基頻隨樁長的增加先快速降低后緩慢降低，進(jìn)而趨于穩(wěn)定。