基于變分模態(tài)分解和同步提取變換識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率

唐 蕾， 黃天立， 萬 熹

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

在實(shí)際運(yùn)營過程中，由于環(huán)境和荷載的變化會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)時(shí)變特性，如斜拉橋拉索的索力變化、列車過橋引起的橋梁振動(dòng)以及環(huán)境溫度等都會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性隨時(shí)間而改變。這使得結(jié)構(gòu)具有時(shí)變特征，結(jié)構(gòu)響應(yīng)表現(xiàn)出非平穩(wěn)特性。因此，開展時(shí)變結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率等特征參數(shù)識(shí)別方法研究，對(duì)于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)具有重要意義。目前國內(nèi)外對(duì)時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別的方法可以分為兩類。第一，基于時(shí)頻分析的方法，即從信號(hào)時(shí)頻譜圖中獲取時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率等參數(shù)，并進(jìn)一步通過時(shí)頻重排、能量重組等方法提高識(shí)別精度；第二，基于信號(hào)自適應(yīng)分解的方法，即將多分量信號(hào)分解成多個(gè)單分量信號(hào)，再對(duì)各個(gè)單分量信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率等參數(shù)識(shí)別。

時(shí)頻分析方法能同時(shí)在時(shí)域和頻域內(nèi)分析信號(hào)的時(shí)頻特征，是分析非平穩(wěn)信號(hào)的有力工具[1]。傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法，如Wigner-Ville分布、Gabor變換、短時(shí)Fourier變換(short-time Fourier transform，STFT)[2]、小波變換[3-4]等，已在時(shí)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別和非線性系統(tǒng)識(shí)別等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。為提高時(shí)頻分析方法的精度，發(fā)展了針對(duì)時(shí)頻譜進(jìn)行能量重組的方法。Daubechies等[5]提出了同步壓縮變換(synchrosqueezing transform，SST)，該方法將小波變換后的小波時(shí)頻譜圖進(jìn)行重組，將小波系數(shù)壓縮到中心頻率附近獲取更高精度的時(shí)頻表示。劉景良等[6-7]采用同步壓縮小波變換對(duì)Duffing系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)和兩層剪切型框架模型在地震激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別。王超等[8]采用同步壓縮小波變換識(shí)別了移動(dòng)車輛荷載作用下的橋梁時(shí)變參數(shù)。Oberlin等[9]在同步壓縮小波變換的基礎(chǔ)上，提出了同步壓縮Fourier變換(fourier-based synchrosqueezing transform，F(xiàn)SST)。徐曉迪等[10]利用同步壓縮短時(shí)Fourier變換，提取了高速列車軸箱振動(dòng)加速度信號(hào)的瞬時(shí)頻率。FSST提高了時(shí)頻分辨率，但噪聲同樣也會(huì)被壓縮，使得該方法的抗噪性能差。針對(duì)FSST存在的問題，于剛等[11]提出同步提取變換(synchroextrcting transform，SET)，SET提取STFT譜圖在瞬時(shí)頻率位置上的時(shí)頻系數(shù)，具有較強(qiáng)的時(shí)頻聚焦性。使用SET識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率可以較好地剔除環(huán)境或溫度等引起的噪聲。應(yīng)該指出，SET方法是針對(duì)STFT的改進(jìn)，在處理多分量信號(hào)時(shí)，各分量成分信號(hào)的頻譜之間須具有一定的距離，才能獲得精度較高的時(shí)頻譜圖。因此，尋找適合的信號(hào)分解方法，有效分解近距離頻率成分分量對(duì)于SET的應(yīng)用至關(guān)重要。

信號(hào)的自適應(yīng)分解方法中，Huang等[12]提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?empirical mode decomposition，EMD)方法影響較大，通過EMD分解得到的固有模式函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)，結(jié)合Hilbert變換可提取多分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率等參數(shù)。Shi等[13-14]基于EMD和Hilbert變換識(shí)別了剛度慢變、周期改變和突變3種類型單自由度時(shí)變系統(tǒng)在自由振動(dòng)情況下和多自由度時(shí)變系統(tǒng)在受迫振動(dòng)情況下的瞬時(shí)頻率和阻尼系數(shù)。EMD通過包絡(luò)線擬合的方法將多分量信號(hào)分解成多個(gè)固有模式函數(shù)之和，但是在擬合的過程中容易出現(xiàn)欠包絡(luò)或過包絡(luò)，從而導(dǎo)致模態(tài)混疊。許多學(xué)者利用EMD分解的思路發(fā)展了許多多分量信號(hào)分解方法，如局部均值分解[15]、局部特征尺度分解[16]等。相比EMD分解方法這些方法在一定程度上改善了分解效果，但是由于這些方法仍然都是基于包絡(luò)線擬合的方法，不能完全解決模態(tài)混疊的問題。變分模態(tài)分解(variational mode decomposition，VMD)[17]是一種新近提出的信號(hào)自適應(yīng)分解方法，它舍棄了包絡(luò)線擬合，將基于極值點(diǎn)模態(tài)獲取問題變?yōu)樽兎帜Ｐ偷臉?gòu)造，將分解方式變?yōu)樽兎帜Ｐ偷那蠼?，解決了模態(tài)混疊的問題，同時(shí)VMD相當(dāng)于自適應(yīng)的維納濾波器組，具有較強(qiáng)的抗噪性能。結(jié)合信號(hào)分解方法與單分量信號(hào)參數(shù)識(shí)別方法可以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率等參數(shù)的識(shí)別。趙亞軍等[18]利用VMD和經(jīng)驗(yàn)包絡(luò)法對(duì)密集模態(tài)和瞬態(tài)系統(tǒng)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)阻尼比進(jìn)行了識(shí)別。王超等[19]提出基于VMD和廣義Morse小波相結(jié)合的時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別方法，用具有時(shí)變特性的移動(dòng)小車試驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。

針對(duì)SET不能分離頻率成分間隔相近的多分量信號(hào)的問題，本文結(jié)合VMD和SET，提出了高能量聚集性的時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別方法。首先，通過傅里葉變換確定預(yù)設(shè)模態(tài)數(shù)量，利用VMD對(duì)多分量信號(hào)進(jìn)行分解處理得到多個(gè)模態(tài)分量；然后，采用SET對(duì)每個(gè)模態(tài)分量進(jìn)行時(shí)頻分析獲取瞬時(shí)頻率；最后，將各個(gè)模態(tài)分量的時(shí)頻譜圖疊加得到完整的多分量信號(hào)時(shí)頻譜圖。該方法結(jié)合了VMD和SET的優(yōu)勢(shì)，解決了SET處理具有近距離頻率成分多分量信號(hào)的不足，準(zhǔn)確識(shí)別了時(shí)變結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。多分量時(shí)變信號(hào)和兩自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)數(shù)值算例和時(shí)變拉索試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的正確性和適用性。

1 基本原理

1.1 變分模態(tài)分解

VMD是一種新近提出的信號(hào)自適應(yīng)分解方法，它假設(shè)信號(hào)的每個(gè)模態(tài)分量具有不同中心頻率且具有圍繞各自中心頻率最緊的帶寬。VMD分解主要基于維納濾波、希爾伯特變換、頻率混合這3個(gè)概念，為了使得估計(jì)帶寬之和最小，將待分解信號(hào)引入變分模型，求解變分模型的最優(yōu)解獲取信號(hào)的最佳分解。

1.1.1 變分模型構(gòu)造

原始信號(hào)s(t)由K個(gè)分量信號(hào)構(gòu)成，通過傅里葉變換等方法確定預(yù)設(shè)模態(tài)數(shù)量，VMD假定原始信號(hào)s(t)可被分解為K個(gè)IMF分量，定義各IMF分量為調(diào)頻調(diào)幅信號(hào)uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))，構(gòu)造變分模型。

對(duì)uk(t)進(jìn)行Hilbert變換，得到解析信號(hào)

(1)

式中：δ(t)為Dirac函數(shù)；j為虛數(shù)單位；*為卷積運(yùn)算。

利用解析信號(hào)的頻移特性，對(duì)其混合一個(gè)中心頻率e-jωkt，將uk(t)的頻譜移動(dòng)到相應(yīng)的基頻帶

(2)

計(jì)算頻移后信號(hào)梯度范數(shù)的平方估計(jì)各模態(tài)分量的帶寬，為使各IMF分量的帶寬之和最小，建立約束變分模型如下

(3)

式中：{uk}和{ωk}為VMD分解得到的模態(tài)分量和對(duì)應(yīng)的中心頻率；s(t)為被分解信號(hào)。

1.1.2 變分模型求解

步驟1為了求解約束變分模型，引入拉格朗日乘子λ對(duì)約束嚴(yán)格控制，再引入二次懲罰因子α提高該變分問題的收斂性，將有約束變分問題轉(zhuǎn)化為無約束變分問題

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，τ為迭代步長。

步驟4設(shè)定判別精度e>0，若滿足收斂條件式(8)，則分解結(jié)束，否則循環(huán)迭代步驟2和步驟3直到滿足收斂條件

(8)

1.2 同步提取變換

SET是一種新近提出的高分辨率時(shí)頻分析方法，其僅提取STFT譜圖在瞬時(shí)頻率位置上的時(shí)頻系數(shù)，大大減少了噪聲的影響，具有優(yōu)越的抗噪性能；同時(shí)SET克服了同步壓縮Fourier變換在能量壓縮過程中將噪聲分量壓縮到時(shí)頻譜圖的缺陷。 SET基本步驟如下。

步驟1由STFT計(jì)算信號(hào)s(t)的時(shí)頻譜圖

(9)

令gω(u)=g(u-t)·ejωu，由于窗函數(shù)g通常采用實(shí)函數(shù)，故窗函數(shù)的復(fù)共軛等于它本身，根據(jù)Parseval定理，式(9)可以寫成

(10)

(11)

(12)

(13)

步驟3提取STFT在瞬時(shí)頻率位置的時(shí)頻系數(shù)。為盡可能減輕噪聲影響，采用δ函數(shù)僅提取ω=ω0處的時(shí)頻系數(shù)，得到一個(gè)具有高分辨率的時(shí)頻譜Te(t,ω)，

Te(t,ω)=Ge(t,ω)δ(ω-ω0(t,ω))

(14)

式中，δ(ω-ω0(t,ω))為同步提取算子(synchroextracting operator,SEO)。

考慮到計(jì)算誤差，同時(shí)實(shí)際應(yīng)用中要用到SEO的實(shí)部，建議用式(15)計(jì)算SEO

(15)

式中，Δω為離散頻率之間的間隔。

對(duì)于多分量信號(hào)，STFT時(shí)頻譜圖為

(16)

根據(jù)相位信息估計(jì)的瞬時(shí)頻率為

(17)

此時(shí)，SET的表達(dá)式為

Te(t,ω)=Ge(t,ω)δ(ω-φ′(t,ω))

(18)

1.3 時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別流程

VMD可以有效地分解多分量信號(hào)，對(duì)于多自由時(shí)變結(jié)構(gòu)也適用，解決了SET無法識(shí)別頻率間隔較近多分量信號(hào)的不足，同時(shí)VMD+SET方法利用了SET高能量聚集性的優(yōu)點(diǎn)，可以識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。圖1給出了基于VMD+SET方法識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率的流程圖，其基本步驟如下。

圖1 VMD+SET方法識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率流程圖

步驟1基于待分析時(shí)變結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的傅里葉幅值譜圖確定預(yù)設(shè)模態(tài)數(shù)量K。

步驟2采用VMD對(duì)多分量信號(hào)進(jìn)行分解得到K個(gè)模態(tài)分量。

步驟3采用SET對(duì)每個(gè)模態(tài)分量進(jìn)行時(shí)頻分析獲取瞬時(shí)頻率。

步驟4將各個(gè)模態(tài)分量的時(shí)頻譜圖疊加得到完整的多分量信號(hào)時(shí)頻譜圖，從而揭示時(shí)變結(jié)構(gòu)的時(shí)變特性。

2 數(shù)值算例

2.1 多分量時(shí)變信號(hào)

考慮一模擬多分量時(shí)變信號(hào)s(t)，由3個(gè)分量信號(hào)s1(t)、s2(t)和s3(t)組成，各分量瞬時(shí)頻率分別隨時(shí)間產(chǎn)生線性、突變和二次變化。取信號(hào)時(shí)長為60 s，采樣頻率為50 Hz，考慮到實(shí)際工作測(cè)試中噪聲的影響，對(duì)信號(hào)添加10 dB的高斯白噪聲，其時(shí)程曲線如圖2所示。

圖2 模擬的含噪多分量時(shí)變信號(hào)s(t)

(19)

采用高斯窗函數(shù)g(t)=e-πt2/0.322，時(shí)寬為2 s，對(duì)含噪信號(hào)s(t)分別進(jìn)行STFT、FSST、SET處理得到時(shí)頻譜圖，如圖3所示，其局部放大圖如圖4所示。從圖3(a)和圖4(a)可以看出，信號(hào)經(jīng)STFT變換后，其時(shí)頻譜圖上的頻率軌跡線比較模糊，雖然可以大致看出信號(hào)瞬時(shí)頻率的變化趨勢(shì)，但是不能準(zhǔn)確地確定每個(gè)時(shí)刻各分量信號(hào)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)頻率。從圖3(b)和圖3(c)可以看出，信號(hào)經(jīng)過FSST和SET變換后，其時(shí)頻譜圖上的頻率軌跡線更為清晰，噪聲影響明顯減少。對(duì)比局部放大圖4(b)和圖4(c)可以發(fā)現(xiàn)SET的時(shí)頻譜圖能量較FSST更為集中，時(shí)頻分辨率更高，F(xiàn)SST的譜圖中的噪點(diǎn)較少，在能量壓縮過程中噪聲也不可避免地一同壓入。由此可見，SET能較好地識(shí)別頻率隨時(shí)間線性、突變和二次變化的信號(hào)，且比STFT和FSST的能量聚集性強(qiáng)，SET適用于識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。

圖3 含噪聲信號(hào)s(t)的時(shí)頻譜圖

圖4 含噪聲信號(hào)s(t)的時(shí)頻譜圖(局部放大圖)

進(jìn)一步采用VMD結(jié)合SET的方法識(shí)別該多分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率。根據(jù)傅里葉頻譜圖確定該多分量信號(hào)的模態(tài)數(shù)量K=4，用VMD對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解得到4個(gè)分量信號(hào)，如圖5所示。從圖5(b)和圖5(c)可以看出，VMD分解出了突變信號(hào)，但是單獨(dú)使用VMD無法判斷各模態(tài)分量的具體成分，結(jié)合SET對(duì)VMD分解的各模態(tài)分量進(jìn)行瞬時(shí)頻率的識(shí)別，再將各個(gè)模態(tài)分量的時(shí)頻譜圖疊加得到完整的多分量時(shí)變信號(hào)的時(shí)頻譜圖，如圖6所示。從圖6可以看出，對(duì)比理論值(點(diǎn)線)，VMD結(jié)合SET的方法能準(zhǔn)確識(shí)別頻率隨時(shí)間產(chǎn)生線性、突變和二次變化的3種時(shí)變信號(hào)的瞬時(shí)頻率。

圖5 VMD分解的各模態(tài)分量

圖6 含噪聲信號(hào)s(t)經(jīng)VMD+SET處理的時(shí)頻譜圖

采用Rényi熵定量評(píng)價(jià)STFT、FSST、SET和VMD+SET 4種時(shí)頻分析方法的時(shí)頻能量聚集特性。Rényi熵是描述系統(tǒng)混亂度的一種衡量指標(biāo)，熵值越低則代表時(shí)頻譜圖的能量聚集性更好，其計(jì)算公式為

(20)

式中：W(t,ω)為時(shí)頻系數(shù)；α為Rényi熵的次序，本文采用3次Rényi熵進(jìn)行評(píng)價(jià)。

對(duì)信號(hào)s(t)分別施加信噪比(signal-noise ratio ,SNR)從0～20 dB的噪聲，計(jì)算分別采用STFT、FSST、SET和VMD+SET 4種時(shí)頻分析方法獲取的信號(hào)時(shí)頻圖的Rényi熵值，如圖7所示。從圖7可以看出，基于SET時(shí)頻譜圖計(jì)算得到的Rényi熵值較STFT和FSST時(shí)頻譜圖計(jì)算得到的Rényi熵值更低，驗(yàn)證了SET具有較好的時(shí)頻聚焦能力。將信號(hào)先用VMD分解再采用SET處理，相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行了降噪處理。因此，基于VMD+SET時(shí)頻譜圖計(jì)算得到的Rényi熵值最低。由此可見，在評(píng)價(jià)的4種方法中，VMD+SET方法具有最高的時(shí)頻能量聚集特性和最優(yōu)的抗噪性能，可以用于高精度的時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別。

圖7 噪聲信號(hào)s(t)(信噪比0～20 dB)的STFT、FSST、SET和VMD+SET時(shí)頻譜圖的Rényi熵

2.2 兩自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)

圖8所示為一兩自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)，調(diào)整其剛度使其兩階自振頻率接近，不滿足SET處理多分量信號(hào)的限制條件。在一定的初位移和初速度條件下，結(jié)構(gòu)發(fā)生自由振動(dòng)，振動(dòng)過程中假設(shè)結(jié)構(gòu)質(zhì)量和阻尼不隨時(shí)間變化，振動(dòng)過程中由于損傷結(jié)構(gòu)剛度隨時(shí)間變化，結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

圖8 兩自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)

(21)

式中，m1=m2=1 kg，c1=c2=0.15 N·s/m，k2=300 N/m，剛度k1按式(21)隨時(shí)間線性變化

(22)

設(shè)定初始條件x1(0)=0.3 m，x2(0)=-0.06 m，由四階Runge-Kutta法求解結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)響應(yīng)，其采樣頻率為100 Hz，信號(hào)時(shí)長為15 s?？紤]測(cè)量噪聲的影響，對(duì)質(zhì)量塊m1的位移響應(yīng)信號(hào)添加10 dB的高斯白噪聲，如圖9所示。

圖9 質(zhì)量塊m1的含噪聲位移響應(yīng)信號(hào)

根據(jù)“凍結(jié)法”的原理，假定短時(shí)間間隔內(nèi)時(shí)變結(jié)構(gòu)為時(shí)不變結(jié)構(gòu)，通過結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法求解得到各時(shí)刻時(shí)不變結(jié)構(gòu)的固有頻率，作為此時(shí)變結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率理論值。圖10(a)～圖10(c)給出了對(duì)圖9所示含噪聲位移響應(yīng)分別進(jìn)行STFT、FSST、SET處理后的時(shí)頻譜圖，采用高斯窗函數(shù)g(t)=e-πt2/0.322，時(shí)寬為1 s。從圖10可以看出，STFT時(shí)頻譜圖中能量主要集中在4～6 Hz內(nèi)，兩階頻率離得比較近，發(fā)散部分產(chǎn)生了交叉重疊，不能滿足間隔距離條件，導(dǎo)致兩階模態(tài)頻率沒有清晰地分離開；而FSST和SET作為對(duì)STFT 時(shí)頻譜圖的后處理手段，也不能將兩階模態(tài)分量清晰地分離開，由此使得低能量的一階模態(tài)頻率無法識(shí)別。采用VMD+SET方法對(duì)該兩自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)位移響應(yīng)進(jìn)行分析，首先由VMD分解信號(hào)得到振幅逐漸衰減的兩階模態(tài)分量信號(hào)，如圖11所示，再利用SET獲得時(shí)頻譜圖，如圖12所示(圖12中實(shí)線為理論頻率值)。從圖12可以看出，VMD+SET方法很好地分離了時(shí)變兩自由度結(jié)構(gòu)的兩階模態(tài)分量，且識(shí)別的瞬時(shí)頻率值與理論頻率值基本一致。

圖10 位移響應(yīng)的時(shí)頻譜圖

圖11 VMD分解的兩階模態(tài)分量

圖12 兩自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)位移響應(yīng)的VMD+SET時(shí)頻譜圖

3 時(shí)變拉索試驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證VMD+SET方法識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率的有效性，設(shè)計(jì)一個(gè)時(shí)變拉索裝置，通過改變拉索在不同時(shí)刻的張拉力，模擬拉索的剛度時(shí)變特性。

3.1 拉索試驗(yàn)裝置

圖13給出了拉索試驗(yàn)裝置的示意圖和現(xiàn)場布置圖[21]。試驗(yàn)拉索為7φS5一根的鋼絞線，水平放置，彈性模量為E=1.95×105MPa，截面積為1.374×10-4m2，線質(zhì)量密度為1.1 kg/m，兩錨固點(diǎn)間拉索總長度為4.55 m。拉索一端錨固于反力架上，一端用電液伺服加載系統(tǒng)(electro hydraulic servo,MTS)作動(dòng)器對(duì)其施加拉力，如圖13所示。試驗(yàn)開始時(shí)，首先對(duì)拉索施加20 kN的預(yù)拉力，然后通過MTS作動(dòng)器調(diào)整索力的大小，使得拉索剛度隨時(shí)間發(fā)生變化，從而導(dǎo)致拉索固有頻率隨之改變。在索力變化過程中，通過力錘敲擊拉索，并利用在拉索中部安裝的一個(gè)加速度傳感器，采集拉索的豎向加速度響應(yīng)。

圖13 拉索試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)研究索力線性和正弦變化兩種工況，對(duì)比基于MTS實(shí)測(cè)索力換算得到的拉索理論頻率，驗(yàn)證基于VMD+SET的時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別方法識(shí)別拉索瞬時(shí)頻率的正確性。

3.2 拉力線性變化時(shí)拉索瞬時(shí)頻率識(shí)別

試驗(yàn)開始時(shí)，拉索預(yù)拉力為20 kN，拉索拉力通過MTS作動(dòng)器以1.67 kN/s的速率線性增長，MTS作動(dòng)器同步記錄拉力變化曲線，如圖14所示。索力變化過程中，采用力錘敲擊拉索后，同時(shí)利用拉索中部安裝的加速度傳感器采集拉索豎向沖擊加速度響應(yīng)，如圖15所示。響應(yīng)時(shí)長6 s，采樣頻率為600 Hz。

圖14 MTS實(shí)測(cè)拉力(線性)

圖15 索力線性變化時(shí)拉索的加速度響應(yīng)

對(duì)實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)信號(hào)采用VMD+SET方法識(shí)別拉索的瞬時(shí)頻率，采用時(shí)寬為0.5 s的高斯窗函數(shù)g(t)=e-πt2/0.322，圖16給出了識(shí)別得到的拉索第1階模態(tài)瞬時(shí)頻率以及線性拉力作用下，基于MTS實(shí)測(cè)拉力數(shù)據(jù)換算得到的拉索第1階模態(tài)瞬時(shí)頻率理論值(虛線)。從圖16中可以看出，拉索的瞬時(shí)頻率線性增加，識(shí)別的瞬時(shí)頻率與理論瞬時(shí)頻率非常接近，識(shí)別準(zhǔn)確度高。應(yīng)該指出，由于振動(dòng)衰減，振幅減小，噪聲影響較大，加速度響應(yīng)信號(hào)尾部的VMD+SET時(shí)頻譜圖不太明顯，因此識(shí)別的瞬時(shí)頻率值稍有偏差。此外，信號(hào)兩端由于“端點(diǎn)效應(yīng)”影響，識(shí)別結(jié)果與理論結(jié)果之間也存在一定的誤差。

圖16 理論頻率與識(shí)別頻率結(jié)果(線性)

3.3 拉力正弦變化時(shí)拉索瞬時(shí)頻率識(shí)別

試驗(yàn)開始時(shí)，拉索預(yù)拉力為20 kN，拉索拉力通過MTS作動(dòng)器按正弦規(guī)律變化，變化幅度為±4 kN，MTS作動(dòng)器同步記錄拉力變化曲線，如圖17所示。索力變化過程中，采用力錘敲擊拉索后，同時(shí)利用拉索中部安裝的加速度傳感器采集拉索豎向沖擊加速度響應(yīng)，如圖18所示。響應(yīng)時(shí)長6 s，采樣頻率為600 Hz。

圖17 MTS實(shí)測(cè)拉力(正弦)

圖18 索力正弦變化時(shí)拉索的加速度響應(yīng)

對(duì)實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)信號(hào)采用VMD+SET方法識(shí)別拉索的瞬時(shí)頻率，采用時(shí)寬為0.5 s的高斯窗函數(shù)g(t)=e-πt2/0.322，圖19給出了識(shí)別得到的拉索第1階模態(tài)瞬時(shí)頻率以及正弦變化拉力作用下，基于MTS實(shí)測(cè)拉力數(shù)據(jù)換算得到的拉索瞬時(shí)頻率理論值(虛線)。從圖19中可以看出，識(shí)別的拉索瞬時(shí)頻率略低于理論頻率值，與理論值稍有偏差，能明顯看出具有正弦變化規(guī)律。同樣由于振動(dòng)衰減，以及“端點(diǎn)效應(yīng)”影響，識(shí)別結(jié)果與理論結(jié)果之間也存在一定的誤差。

圖19 理論頻率與識(shí)別頻率結(jié)果(正弦)

4 結(jié) 論

本文提出了一種結(jié)合VMD和SET識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率的方法，并進(jìn)行了數(shù)值模擬和試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明：

(1)多分量時(shí)變信號(hào)數(shù)值模擬結(jié)果表明，VMD+SET方法能準(zhǔn)確識(shí)別多分量信號(hào)中頻率隨時(shí)間線性、突變和二次變化的時(shí)變分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率，具有很好的時(shí)頻能量聚集特性和抗噪性能，可用于高精度的時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別。

(2)兩自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬結(jié)果表明，VMD+SET方法能很好地分離了具有近距離頻率成分的結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)，解決了SET處理具有近距離頻率成分多分量信號(hào)的不足，能準(zhǔn)確識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。

(3)時(shí)變拉索試驗(yàn)表明，VMD+SET方法可準(zhǔn)確識(shí)別索力線性工況下的瞬時(shí)頻率，識(shí)別精度高，正弦工況下的識(shí)別結(jié)果與理論結(jié)果雖然略有偏差，但是可以反映瞬時(shí)頻率正弦變化規(guī)律，驗(yàn)證了該方法識(shí)別時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率的適用性。