基于壓縮聚焦網(wǎng)格點(diǎn)的快速反卷積算法

王 月， 楊 超， 王巖松， 胡定玉

(1.上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201600； 2.上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201600)

傳統(tǒng)波束形成算法(conventional beamforming, CBF)利用傳聲器陣列采集的聲壓信號識別聲源分布特征，但其輸出波束旁瓣高、空間分辨率低，無法完全滿足聲源高分辨率識別需求。為了提升CBF的性能，研究人員提出了各種性能良好的改進(jìn)算法，如：對角加載自適應(yīng)波束形成算法[1]、正交波束形成算法[2]、函數(shù)波束形成算法(functional beamforming, FB)[3]及多種反卷積算法。在這些算法中，后兩種算法因其動態(tài)范圍高、抑制旁瓣能力強(qiáng)及縮減主瓣寬度顯著等優(yōu)點(diǎn)而倍受關(guān)注。

CBF算法的輸出可以表示為聲源聲壓強(qiáng)度分布與陣列點(diǎn)傳播函數(shù)(point spread function, PSF)的卷積[4]。反卷積算法通過迭代算法求解卷積方程，可消除PSF對波束形成結(jié)果的影響，輸出一個較“干凈”的聲源圖。DAMAS(deconvolution approach for the mapping of acoustic sources)[5]算法利用高斯-賽德爾迭代方法求解傳統(tǒng)波束形成輸出結(jié)果、陣列點(diǎn)傳播函數(shù)及聲源聲壓強(qiáng)度分布三者之間的線性方程組，重構(gòu)聲源強(qiáng)度分布，縮減主瓣寬度，抑制旁瓣干擾。為了進(jìn)一步降低DAMAS的計(jì)算時間長，DAMAS2和DAMAS3[6]基于算法陣列點(diǎn)傳播函數(shù)具有空間轉(zhuǎn)移不變性假設(shè)，利用快速傅里葉變換將聲源聲壓強(qiáng)度分布與陣列點(diǎn)傳播函數(shù)的卷積轉(zhuǎn)化為波數(shù)域的乘積，提升了算法迭代效率。SC-DAMAS(sparsity constrained deconvolution approaches for acoustic source mapping)[7]算法基于聲源空間稀疏分布假設(shè)，可快速求解反卷積中的逆問題，實(shí)現(xiàn)聲源強(qiáng)度和位置的估計(jì)。NNLS(nonnegative least-squares approach)[8-9]算法則是在傳統(tǒng)波束形成輸出結(jié)果、陣列點(diǎn)傳播函數(shù)及聲源聲壓強(qiáng)度分布之間建立差函數(shù)，通過最小化差函數(shù)重構(gòu)聲源強(qiáng)度分布。CLEAN[10]算法通過在傳統(tǒng)波束形成結(jié)果中移除主瓣峰值對應(yīng)的PSF，凈化聲源識別結(jié)果。CLEAN-SC(CLEAN based on spatial source coherence)算法基于空間中同一聲像圖內(nèi)主瓣與旁瓣相干的事實(shí)，通過迭代移除CBF生成的聲像圖中與主瓣相干的旁瓣，提升聲源識別效果。但是，當(dāng)聲源間距小于瑞利極限或者聲源頻率較低時，CBF在各聲源處輸出的主瓣發(fā)生融合，此時CLEAN-SC亦無法準(zhǔn)確分辨聲源。為了提升CLEAN-SC的空間分辨率，Sijtsma等先后提出了高分辨率CLEAN-SC(high-resolution CLEAN-SC,HR-CLEAN-SC)[11-12]算法和自適應(yīng)高分辨率CLEAN-SC(Adaptive HR-CLEAN-SC)[13]算法。當(dāng)Adaptive HR-CLEAN-SC算法與優(yōu)化陣列[14]結(jié)合使用時，可以定位出瑞利極限分辨率范圍內(nèi)最多4個緊密間隔的非相干聲源。但是改進(jìn)算法的計(jì)算時間也相應(yīng)增加。

目前，關(guān)于CLEAN-SC算法的研究中，缺乏兼顧空間分辨率和計(jì)算時間的研究。針對此問題，本文提出一種基于壓縮聚焦網(wǎng)格點(diǎn)的快速反卷積算法，即CLEAN-SC-CG(CLEAN-SC with compressed grid)。CLEAN-SC-CG利用FB算法計(jì)算高分辨率的波束輸出，并通過設(shè)置閾值篩選輸出值，將大于閾值的輸出值及其對應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)信息保留，刪除冗余網(wǎng)格點(diǎn)，將保留信息作為CLEAN-SC的輸入，逐點(diǎn)迭代求解出各聲源強(qiáng)度。

1 基本理論

1.1 CLEAN-SC

CLEAN-SC基于旁瓣在空間上與主瓣相干的事實(shí)，迭代移除各聲源在互譜矩陣(cross spectral matrix, CSM)中的貢獻(xiàn)，并用一個“干凈”波束替換主要聲源，達(dá)到清晰化聲像圖的目的。CLEAN-SC定義了源分量h，將源分量h替代方向向量g計(jì)算互譜矩陣，因此避免了PSF對聲像圖的影響。

CLEAN-SC依賴于CBF的計(jì)算結(jié)果，利用互譜矩陣，CBF在聚焦網(wǎng)格點(diǎn)ξj處計(jì)算聲源功率的表達(dá)式為

(1)

式中:(·)*為共軛轉(zhuǎn)置；gj為方向向量；p為復(fù)聲壓信號；wj為加權(quán)向量；C為互譜矩陣。

首先，CLEAN-SC通過式(1)獲得一個帶有旁瓣干擾的聲像圖，即迭代從i=0開始，并定義每次迭代更新后的CSM為

D(i)=D(0)=C

(2)

(3)

對于i≥1的情況，進(jìn)行如下迭代過程。

(4)

其中

(5)

步驟3計(jì)算代替被移除聲源的“干凈”波束

(6)

式中：φ為安全系數(shù)；λ為決定帶寬的參數(shù)，通常0<φ≤1。

步驟4更新互譜矩陣CSM

(7)

(8)

將式(7)代入式(8)可得

(9)

一次迭代完成。當(dāng)算法符合條件‖D(I+1)‖≥‖D(I)‖時，迭代終止。最終，CLEAN-SC輸出的聲像圖是“干凈”波束和剩余聲像圖的疊加

(10)

1.2 CLEAN-SC-CG

為了減少CLEAN-SC的計(jì)算時間及提升CLEAN-SC的空間分辨率，提出了CLEAN-SC-CG算法。CLEAN-SC-CG算法利用FB算法對聲源進(jìn)行初始定位，將獲得初始定位結(jié)果作為CLEAN-SC的初始值，然后通過設(shè)置閾值對初始值進(jìn)行篩選，大于閾值的初始值及其相對應(yīng)的網(wǎng)格信息被保留下來，其他初始值則不參與迭代運(yùn)算，并另賦它值。

FB算法是在CBF算法的基礎(chǔ)上將CSM進(jìn)行特征值分解

C=UΣU*

(11)

式中:U為酉矩陣，U=(u1，…，uN)，u1，…，uN為C的特征向量；Σ為對角矩陣，Σ=diag(α1，…,αN)，其中，α1，…，αN為C的特征值。

FB算法的計(jì)算表達(dá)式

(12)

式中，ν為一個需要根據(jù)具體數(shù)據(jù)集確定的指數(shù)。與CBF相比，F(xiàn)B算法通過指數(shù)ν衰減與旁瓣相關(guān)的PSF值，達(dá)到抑制旁瓣、提升空間分辨率的目的，本文指數(shù)ν取值為16[15]。

在CLEAN-SC-CG中，僅保留滿足式(13)的聚焦網(wǎng)格點(diǎn)

Aν(ξ)>βν

(13)

式中，βν為閾值。閾值并非一個確定值，本文依據(jù)兩個原則確定閾值的取值范圍。原則一為背景噪聲，一般低于背景噪聲的聲源不被關(guān)注，試驗(yàn)環(huán)境中背景噪聲的聲壓級可以作為閾值的最小值；原則二為聲壓級低于峰值20 dB的噪聲，低于峰值20 dB的噪聲源對聲場中目標(biāo)聲源的識別影響較小，所以，此噪聲源的聲壓級可以作為閾值的最大值。閾值影響CLEAN-SC-CG壓縮聚焦網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)量以及聲像圖中旁瓣的干擾程度，可根據(jù)試驗(yàn)環(huán)境和試驗(yàn)?zāi)康拇_定閾值的取值。

CLEAN-SC-CG算法的計(jì)算步驟及流程圖，如圖1所示。

圖1 CLEAN-SC-CG算法流程圖

步驟1由式(12)計(jì)算函數(shù)波束形成輸出Aν(ξ)。

步驟2根據(jù)式Aν(ξ)>βv，壓縮聚焦網(wǎng)格點(diǎn)。

步驟4對滿足條件的網(wǎng)格點(diǎn)信息進(jìn)行反卷積(CLEAN-SC)計(jì)算，得出 “干凈”聲像圖。

為了方便描述步驟2中壓縮聚焦網(wǎng)格點(diǎn)的結(jié)果，引入壓縮比σ[16]

(14)

采用FB算法對原聚焦網(wǎng)格進(jìn)行壓縮處理，具有3個方面的優(yōu)勢：①FB算法的高動態(tài)范圍可以提供更大的聚焦網(wǎng)格壓縮比，減少運(yùn)行時間；②FB算法通過調(diào)整譜函數(shù)的指數(shù)值可以獲得分辨率高于CBF的聲源定位結(jié)果，為后續(xù)算法提供較好的初始值，提升空間分辨率；③FB算法具有定位弱源的優(yōu)勢，克服了CBF算法因?yàn)楦吲园耆菀籽谏w弱源的問題。將FB算法定位聲源的優(yōu)勢與CLEAN-SC算法高分辨率的優(yōu)勢相結(jié)合，可以在更短的時間內(nèi)得到一個更精確的聲像圖。

2 聲源定位仿真

2.1 仿真設(shè)置

本節(jié)通過仿真分析CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的空間分辨率及計(jì)算效率。仿真中，聲源為兩個不相干點(diǎn)聲源，聲源頻率f1=f2=3 000 Hz，聲壓級均為100 dB。聚焦網(wǎng)格點(diǎn)間隔為0.05 m。陣列為一個同心圓面陣列，直徑分別為d1=0.14 m，d2=0.36 m，d3=0.50 m。傳聲器個數(shù)為36，每個傳聲器加入信噪比為10 dB的高斯白噪聲。聲源面與陣列平面平行，且聲源面中心與陣列平面中心在同一條直線上。根據(jù)兩項(xiàng)原則，閾值取值范圍為10～80 dB。仿真中CLEAN-SC-CG的閾值為34 dB。反卷積算法中，“干凈”波束的寬度設(shè)置為5 cm，即λ= 1.2/0.052=480，安全系數(shù)φ=0.99。

2.2 雙源空間分辨率分析

在空間分辨率分析中，坐標(biāo)原點(diǎn)位于陣列中心，聲源面與陣列平面之間的距離z=3 m，聲速c=340 m/s，則瑞利極限R=1.22zc/(d3f)≈0.83 m。聚焦聲源面為4 m×4 m，網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為6 561。經(jīng)數(shù)據(jù)分析，在上述仿真條件下，CLEAN-SC-CG的雙聲源空間分辨率極限為0.55 m。以下為兩種不同間隔下CLEAN-SC-CG的不相干雙聲源識別圖像。

當(dāng)聲源間隔為0.55 m時，聲源分別位于(0,0,3 m)和(0.55 m,0,3.00 m)處；當(dāng)聲源間隔為0.60 m時，聲源分別位于(0,0,3 m)和(0.60 m,0,3.00 m)處。圖2(a)～圖2(d)分別為CBF、CLEAN-SC、FB(ν=16)、CLEAN-SC-CG識別間隔為0.55 m的不相干雙聲源圖像。圖3(a)～圖3(d)分別為CBF、CLEAN-SC、FB(ν=16)、CLEAN-SC-CG識別間隔為0.60 m的不相干雙聲源圖像。聲源識別圖像的動態(tài)顯示范圍為50 dB。

圖2 間隔為0.55 m的不相干雙聲源識別圖像

圖3 間隔為0.60 m的不相干雙聲源識別圖像

當(dāng)聲源間隔為0.55 m時，CBF的聲源識別圖像出現(xiàn)主瓣融合的現(xiàn)象，如圖2(a)所示，其最大聲壓級估計(jì)值為100.58 dB。CBF出現(xiàn)主瓣融合，可能導(dǎo)致峰值位置與目標(biāo)聲源位置不一致或者峰值個數(shù)多于目標(biāo)聲源個數(shù)。然而，CLEAN-SC需要通過搜索CBF計(jì)算結(jié)果中的峰值達(dá)到“凈化”CBF聲源圖的目的。當(dāng)CBF出現(xiàn)主瓣融合時，CLEAN-SC無法準(zhǔn)確定位目標(biāo)聲源的位置，甚至出現(xiàn)兩個“偽聲源”，如圖2(b)所示。圖2(b)中，CLEAN-SC識別不相干雙聲源的定位結(jié)果為(0.25 m,0,3.00 m)和(0.75 m,0,3.00 m)，其x方向誤差分別為0.25 m和0.20 m，y方向定位誤差均為0。仿真中，CLEAN-SC的迭代次數(shù)為19次，最大聲壓級估計(jì)值為100.54 dB。FB算法通過指數(shù)ν衰減了與旁瓣相關(guān)的PSF值，抑制旁瓣，突出主瓣，提升了CBF聲源識別的空間分辨率，有效地降低了出現(xiàn)主瓣融合現(xiàn)象的機(jī)率，如圖2(c)所示，其最大聲壓級估計(jì)值為100.16 dB。由于FB算法提供的較好分辨率的聲源定位結(jié)果，CLEAN-SC-CG可以準(zhǔn)確識別聲源，其不相干雙聲源的定位結(jié)果為(0,0,3 m)和(0.55 m,0,3.00 m)，迭代次數(shù)為3次，壓縮比為27.11，最大聲壓級估計(jì)值為100.19 dB，如圖2(d)所示。

當(dāng)雙聲源間隔為0.6 m時，CBF的聲源識別圖像仍然出現(xiàn)了主瓣融合的現(xiàn)象，如圖3(a)所示，其最大聲壓級估計(jì)值為100.22 dB。當(dāng)CBF出現(xiàn)主瓣融合現(xiàn)象時，CLEAN-SC無法準(zhǔn)確定位目標(biāo)聲源的位置。CLEAN-SC識別不相干雙聲源的定位結(jié)果為(0.1 m,0,3.0 m)和(0.7 m,0,3.0 m)，其x方向定位誤差均為0.1 m，y方向定位誤差均為0，最大聲壓級估計(jì)值為100.18 dB。CLEAN-SC的聲像圖中出現(xiàn)了一個“偽聲源”，如圖3(b)所示。相比于CBF，F(xiàn)B算法聲源識別結(jié)果較清晰，如圖3(c)所示，其最大聲壓級估計(jì)值為100.06 dB。由于FB較好的聲源定位結(jié)果，CLEAN-SC-CG準(zhǔn)確識別出雙聲源，其定位結(jié)果分別為(0,0,3 m)和(0.6 m,0,3.0 m)，迭代次數(shù)為4次，壓縮比為27.11，最大聲壓級估計(jì)值為100.03 dB，如圖3(d)所示。由上述仿真結(jié)果可得，CLEAN-SC-CG可以有效地提升聲源識別的空間分辨率。

2.3 計(jì)算效率分析

通過分析聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，研究CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計(jì)算時間變化趨勢。仿真中，計(jì)算效率采用CLEAN-SC與CLEAN-SC-CG計(jì)算時間的差值ΔT與CLEAN-SC-CG的計(jì)算時間TCLEAN-SC-CG的比值η進(jìn)行評價。η值越大，計(jì)算效率提升越顯著。圖4為CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計(jì)算時間及CLEAN-SC-CG的壓縮比σ隨聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)J的變化曲線。圖4中，隨著J的增加，CLEAN-SC-CG和CLEAN-SC兩種算法的計(jì)算時間均有所增加。根據(jù)算法可知，隨著聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)增多，CLEAN-SC-CG計(jì)算波束形成及篩選聚焦網(wǎng)格點(diǎn)的運(yùn)算量增加，CLEAN-SC計(jì)算波束形成及每次迭代更新聲功率和“干凈”波束的運(yùn)算量同樣逐漸增加。但是，由于壓縮了參與算法迭代的聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，CLEAN-SC-CG的計(jì)算時間始終小于CLEAN-SC的計(jì)算時間。同時，隨著J的增加，CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計(jì)算時間相差越大，CLEAN-SC-CG的計(jì)算速度優(yōu)勢越發(fā)明顯。根據(jù)壓縮比的變化曲線可知，由于聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)增加，壓縮比逐漸增大，CLEAN-SC-CG壓縮網(wǎng)格效果越顯著，剔除冗余聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)越多，與相同聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)下CLEAN-SC的運(yùn)算量相比越少，所以CLEAN-SC-CG的計(jì)算速度優(yōu)勢越明顯。在仿真中，當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)J=1 681時，CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計(jì)算時間相差最小，差值約為0.97 s，計(jì)算效率η≈1.36，壓縮比σ=14.49，即計(jì)算效率至少可以提升1.36倍。由此可得，CLEAN-SC-CG可以有效提升計(jì)算效率。

圖4 CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計(jì)算時間、聚焦網(wǎng)格點(diǎn)壓縮比

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)設(shè)置

雙揚(yáng)聲器識別試驗(yàn)布局如圖5所示，采用不相干信號激勵的兩個揚(yáng)聲器作為聲源。激勵信號的頻率f=2 000 Hz，兩個揚(yáng)聲器分別位于(0.2 m,0,1.0 m)、 (-0.2 m,0,1.0 m)。試驗(yàn)在半消聲室(9.8 m×8.6 m×3.5 m，長×寬×高)內(nèi)進(jìn)行，采用與仿真相同型號的面陣列及LMS SCADAS Mobile數(shù)據(jù)采集儀測量聲壓信號。兩個揚(yáng)聲器距離0.4 m

圖5 試驗(yàn)布局圖

3.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

圖6(a)、6(b)分別為CLEAN-SC、CLEAN-SC-CG的揚(yáng)聲器識別圖像，“o”為目標(biāo)聲源位置，“*”為算法定位聲源位置，動態(tài)顯示范圍為50 dB。由圖6(a)可得，CLEAN-SC識別揚(yáng)聲器的圖像分辨率不理想，定位結(jié)果分別為(0.21 m,0.04 m,1.00 m)和(-0.19 m,0,1.00 m)，計(jì)算時間為35.45 s，最大聲壓級估計(jì)值為86.41 dB。與圖6(a)相比，圖6(b)CLEAN-SC-CG識別揚(yáng)聲器的圖像分辨率明顯提升，定位結(jié)果為(0.20 m,0.03 m,1.00 m)和(-0.2 m,0,1.0 m)，定位誤差更小，最大聲壓級估計(jì)值為87 dB。CLEAN-SCG-CG的壓縮比σ=78.45，計(jì)算時間為7.24 s，計(jì)算效率η≈3.90，即與CLEAN-SC相比，CLEAN-SC-CG有效的縮減了參與計(jì)算的聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)量，計(jì)算效率提升了約3.90倍。根據(jù)定位結(jié)果，造成y軸定位誤差的原因可能為正半軸揚(yáng)聲器非嚴(yán)格位于x=0的軸線上，即測量誤差。試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了仿真結(jié)論的正確性。

圖6 雙揚(yáng)聲器識別圖像

4 結(jié) 論

本文針對目前CLEAN-SC缺乏兼顧空間分辨率與計(jì)算效率的研究，給出了一種壓縮聚焦網(wǎng)格點(diǎn)的快速反卷積算法。通過仿真與試驗(yàn)研究，得出結(jié)論如下:

(1)提升了空間分辨率，由于FB算法可以提供比CBF更高分辨率的波束輸出，CLEAN-SC-CG對于低于瑞利極限的不相干雙聲源具有良好的識別效果。

(2)提升了計(jì)算效率，CLEAN-SC-CG充分利用FB算法的高動態(tài)范圍，獲得了較大的聚焦網(wǎng)格點(diǎn)壓縮比；閾值一定，聚焦網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)越多，壓縮比越大，計(jì)算效率提升越明顯。