落石沖擊砂墊層的動力響應(yīng)數(shù)值分析

王海生， 張錦華， 陳 力， 張亞棟， 李巧生

(1. 陸軍工程大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007；2. 東南大學(xué) 爆炸安全防護(hù)教育部工程研究中心，南京 211189)

含緩沖墊層的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)是山區(qū)落石防護(hù)的典型結(jié)構(gòu)，在山區(qū)落石災(zāi)害防護(hù)中被廣泛使用[1-2]。粗砂等是工程中防落石結(jié)構(gòu)最常用的墊層材料[3-4]，其具有良好的緩沖性能，同時取材方便、耐久性好、經(jīng)濟(jì)效益高、透水性好。落石沖擊含砂墊層的防護(hù)結(jié)構(gòu)主要涉及3個關(guān)鍵問題：一是落石與砂墊層的相互作用；二是壓縮波在砂墊層中的傳播與衰減；三是防護(hù)結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。已研究表明[5]，落石沖擊砂墊層，是一個脈沖式的沖擊過程，沖擊力在幾到幾十毫秒內(nèi)達(dá)到極大值，而后又迅速衰減，但沖擊力在砂墊層中如何傳播并作用在防護(hù)結(jié)構(gòu)上，是當(dāng)前研究尚未完全解決的問題。在設(shè)計(jì)防落石結(jié)構(gòu)時，工程師最關(guān)心的問題是作用在防護(hù)結(jié)構(gòu)上的沖擊力和分布范圍，因?yàn)檫@決定了防護(hù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。為了研究落石沖擊力的形成與傳播規(guī)律，許多學(xué)者進(jìn)行了理論、試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究。

理論分析主要基于Hertz碰撞理論、沖量定理和功能原理。Hertz碰撞理論，假設(shè)落石與墊層為彈性體，接觸面為光滑的球面，求得接觸壓力與法向變形的關(guān)系，但與實(shí)際情況差別較大[6-7]。Thornton等[8-9]對Hertz彈性理論進(jìn)行了彈塑性修正；Walton等[10]對Thornton的彈塑性模型參數(shù)進(jìn)行了簡化，但都求解困難?；跊_量定理[11]和功能原理[12]獲得的結(jié)果為平均沖擊力，比實(shí)際沖擊力小。由于理論求解困難，一些學(xué)者進(jìn)行了落石沖擊試驗(yàn)研究，Sasaki等[13-17]進(jìn)行了砂墊層對落石緩沖的試驗(yàn)研究，認(rèn)為落石沖擊砂墊層會產(chǎn)生壓縮波，影響沖擊力大小。但試驗(yàn)成本高，只能獲得宏觀上的測試結(jié)果，無法深入研究砂墊層中壓縮波的傳播規(guī)律。Calvetti等[18-20]使用數(shù)值模型研究了落石沖擊砂墊層的沖擊效應(yīng)。Zhang等[21]采用離散元模型分析了砂墊層中能量耗散的過程。Fang等[22]使用三維細(xì)觀模型研究了砂在動荷載下的顆粒級響應(yīng)。上述數(shù)值模擬均對砂中壓縮波傳播進(jìn)行了深入分析，但計(jì)算效率低，對大尺寸砂墊層模擬困難。

近年來，有限元模型(finite element method，F(xiàn)EM)廣泛用于動力響應(yīng)分析，其計(jì)算穩(wěn)定高效，能較好模擬大尺寸砂墊層受沖擊的過程。Fasanella等[23]運(yùn)用FEM模擬了太空艙沖擊砂墊層的過程，與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，但其模型參數(shù)獲取困難，依賴于大量的試驗(yàn)。本文提出了一種落石沖擊砂墊層動力響應(yīng)的數(shù)值分析方法。首先，分析了LS-DYNA軟件中MAT_SOIL_AND_FOAM(SAF)材料模型的屈服面參數(shù)與砂的內(nèi)摩擦角和黏聚力的關(guān)系，便于確定砂的模型參數(shù)。其次，建立了落石沖擊砂墊層的有限元模型，與現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，驗(yàn)證了模型的可靠性，進(jìn)一步分析了落石質(zhì)量、沖擊速度、沖擊角度、砂墊層厚度和密度對沖擊效應(yīng)的影響。再次，以砂中壓縮波的擴(kuò)散角、衰減系數(shù)和沖擊力傳遞系數(shù)，量化分析了砂中壓縮波的傳播和衰減規(guī)律。最后，以應(yīng)力波在錐桿中的傳播理論，初步討論了砂中壓縮波的傳播過程和相互作用機(jī)理。

1 砂的本構(gòu)模型及參數(shù)確定方法

1.1 砂的本構(gòu)模型

砂為松散孔隙巖土材料，在沖擊荷載下具有流體特性，體積壓縮規(guī)律能描述砂在沖擊受壓過程中的減縮特征。Zhang等的研究表明，砂墊層與落石接觸面中心點(diǎn)附近主要處于三向壓縮狀態(tài)，遠(yuǎn)離中心點(diǎn)的側(cè)面主要處于剪切狀態(tài)，砂的壓縮程度取決于壓力，因此可采用壓力與體積的關(guān)系來描述砂的壓縮過程。LS-DYNA軟件中的SAF材料模型[24]對該關(guān)系具有很好的描述，其剪切屈服特征采用正應(yīng)力與偏應(yīng)力之間的二次函數(shù)表示

J2=a0+a1p+a2p2

(1)

式中：J2為應(yīng)力偏量的第二不變量；p為靜水壓力；a0、a1、a2為屈服面參數(shù)。

若采用D-P(Drucker-Prager)屈服準(zhǔn)則，可確定參數(shù)a0、a1、a2與內(nèi)摩擦角φ、黏聚力C的關(guān)系

(2)

SAF模型用壓力與體積應(yīng)變的關(guān)系描述狀態(tài)方程，其中體積應(yīng)變是當(dāng)前體積V與初始體積V0之比的自然對數(shù)ln(V/V0)，壓縮狀態(tài)為負(fù)值，拉伸狀態(tài)為正值。

p=f[ln(V/V0)]

(3)

將ln(V/V0)展開為泰勒級數(shù)，有

(4)

式中，εV=V/V0-1。

根據(jù)式(3)和式(4)，得

(5)

式(5)滿足固體的Hugoniot狀態(tài)方程。

Felice等[25-29]研究表明，砂的力學(xué)性能與應(yīng)變率關(guān)系不大，如圖1所示。落石沖擊屬于低速沖擊，砂墊層受落石沖擊的應(yīng)變率較低，一般在1 s-1以內(nèi)，故本文采用的砂模型忽略應(yīng)變率的影響。

圖1 砂的應(yīng)力應(yīng)變曲線(Song等的研究)

1.2 確定屈服面參數(shù)的算例

Thomas等[30-31]的研究中砂的SAF模型參數(shù)為試驗(yàn)所得，本文將式(2)計(jì)算的參數(shù)a0、a1、a2與文獻(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果對比，證明該方法確定的屈服面參數(shù)是合理的，如表1所示。

表1 Thomas等的研究中砂SAF模型參數(shù)的試驗(yàn)和本文理論結(jié)果對比表

2 數(shù)值計(jì)算及分析

Calvetti等對落石斜沖擊砂墊層、正沖擊砂墊層、重復(fù)沖擊砂墊層和沖擊輕質(zhì)陶瓷骨料4組工況進(jìn)行了試驗(yàn)研究，本文選用其第二組工況進(jìn)行數(shù)值模擬分析。

2.1 有限元模型的建立

2.1.1 模型尺寸與邊界條件

根據(jù)試驗(yàn)給定的條件，建立了落石沖擊砂墊層的三維有限元模型，如圖2所示。落石為直徑0.9 m的球；砂墊層厚2 m，為減小計(jì)算量，邊界尺寸從試驗(yàn)的10.7 m改為4.8 m，并在側(cè)面施加無反射邊界條件，以近似消除側(cè)邊界反射波對模擬結(jié)果的影響；混凝土板厚0.2 m，在底面設(shè)置全約束，在與YOZ平面平行的側(cè)面節(jié)點(diǎn)上施加X軸方向位移約束和繞Z軸和Y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動約束，在與XOZ平面平行的側(cè)面節(jié)點(diǎn)上施加Y軸方向位移約束和繞Z軸和X軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動約束。

圖2 有限元模型(m)

2.1.2 模型參數(shù)

落石的變形模量比砂墊層高幾個數(shù)量級，且沖擊速度較低，沖擊過程中落石很少發(fā)生塑性變形和破裂，故采用彈性材料模型[32]，根據(jù)落石的質(zhì)量和半徑推算密度為2 227 kg/m3，參考普通混凝土力學(xué)性能，取落石的彈性模量為36 GPa，泊松比為0.24。

砂墊層選用SAF模型，密度為1 500 kg/m3，內(nèi)摩擦角為30°，黏聚力為3 500 Pa，根據(jù)式(2)計(jì)算a0、a1、a2。Brown等[33]對砂的狀態(tài)方程進(jìn)行了試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)冪次律P-α理論模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，本文采用其理論和數(shù)據(jù)描述砂的狀態(tài)方程，砂的主要參數(shù)如表2所示，所有單位采取國際單位制。

表2 砂墊層材料模型參數(shù)

混凝土板采用MAT_CONCRETE_DAMAGE_ REL3[34]材料模型，密度為2 400 kg/m3，泊松比為0.24，抗壓強(qiáng)度為30 MPa。

落石與砂墊層、砂墊層與混凝土板均采用自動面面接觸。巖土間摩擦因數(shù)常見取值范圍為0.25～0.40，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明其對球形落石沖擊效應(yīng)影響不大，本文取動摩擦因數(shù)為0.25，最大靜摩擦因數(shù)為0.30。

2.1.3 單元尺寸的敏感性分析

落石與墊層材料均采用六面體單元，其中，落石與砂墊層單元尺寸分別為2 cm和4 cm，共84.8萬個單元。為了檢驗(yàn)單元尺寸對計(jì)算結(jié)果的影響，進(jìn)行了單元尺寸的敏感性分析，在原模型的基礎(chǔ)上，將單元尺寸縮減一倍，即落石與砂墊層單元尺寸分別為1 cm和2 cm，單元總數(shù)量約339.2萬。計(jì)算結(jié)果表明，在相同條件下，兩個模型的沖擊效應(yīng)計(jì)算結(jié)果十分接近，加速度峰值和沖擊深度分別相差1.2%和1.5%。因此，綜合計(jì)算精度和效率，本文采用落石2 cm、砂墊層4 cm的單元尺寸。

2.2 數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對比

以Calvetti等研究中Test n.6工況為例，質(zhì)量850 kg的落石以14 m/s速度沖擊2 m厚砂墊層，其模擬與試驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，以落石與砂墊層開始碰撞時為零時刻。圖3(a)顯示的是落石加速度時程曲線(本文沒有特殊說明均指法向加速度)，在0.02 s之前，模擬與試驗(yàn)的曲線十分接近，模擬峰值為279 m/s2，試驗(yàn)峰值為270 m/s2，相差3.33%。0.02 s之后，模擬結(jié)果小于試驗(yàn)結(jié)果，可能是因?yàn)樵囼?yàn)中砂墊層不是均質(zhì)材料，砂的體積模量隨著深度增加而增大，壓縮波會反射，導(dǎo)致砂墊層與落石接觸面應(yīng)力增大，所以試驗(yàn)中出現(xiàn)了第二峰值，加速度下降的更快，本文主要研究砂墊層的動力響應(yīng)峰值，從峰值角度看，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相差不大。圖4(b)顯示沖擊深度的模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相差不大，模擬結(jié)果為0.58 m，試驗(yàn)結(jié)果為0.56 m，相差4.8%。上述結(jié)果表明，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，該模型能夠模擬落石沖擊砂墊層的過程。

圖3 Test n.6數(shù)值模擬與試驗(yàn)結(jié)果對比

根據(jù)上述模型參數(shù)，模擬沖擊速度為19.02 m/s的工況Test n.8，模擬與試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，模型曲線與試驗(yàn)曲線比較接近，故本文的模型可用。

圖4 Test n.8數(shù)值模擬與試驗(yàn)結(jié)果對比

2.3 砂墊層參數(shù)分析

砂的力學(xué)性能是影響落石沖擊效應(yīng)的重要因素，本文已經(jīng)研究了砂的內(nèi)摩擦角和黏聚力對砂力學(xué)性能的影響，下面分析砂的厚度和密度對落石沖擊效應(yīng)的影響，選取典型落石工況，質(zhì)量為850 kg、沖擊速度為14 m/s。

2.3.1 砂厚度的影響

根據(jù)TB 10003—2005《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》，墊層的厚度一般不小于1.5 m，選砂厚度的變化范圍為1.0～2.0 m。落石對不同厚度砂的沖擊效應(yīng)，如圖5所示。結(jié)果表明，砂的厚度對落石加速度峰值沒有明顯影響；隨著砂厚度的增加，沖擊深度從57.8 cm減至55.9 cm，變化不明顯，故砂厚度對沖擊深度的影響也可以忽略。定義砂墊層底面對混凝土板的沖擊力為傳遞沖擊力F1，則圖5(c)顯示隨著砂厚度的增加，傳遞沖擊力峰值減小，且減小的幅度越來越小。該結(jié)論在Kawahara等的試驗(yàn)中也有出現(xiàn)。本文砂的厚度增至1.6 m后，傳遞沖擊力峰值變化不大，工程中增加砂的厚度會增大砂的自質(zhì)量，故在該典型落石工況中砂墊層最佳厚度為1.6 m。

圖5 砂墊層厚度對落石沖擊效應(yīng)的影響

2.3.2 砂密度的影響

JTG D30—2015《公路路基設(shè)計(jì)規(guī)范》常用的墊層密度范圍為1 000～2 000 kg/m3，本文選取砂密度變化范圍為1 000～2 000 kg/m3。落石對不同密度砂的沖擊效應(yīng)，如圖6所示。結(jié)果表明，落石加速度峰值與砂密度呈指數(shù)增大關(guān)系，沖擊深度與砂密度呈指數(shù)衰減關(guān)系，隨著砂密度增大，傳遞沖擊力峰值增大，且增大的幅度越來越小，當(dāng)砂密度增大到1 400 kg/m3后，傳遞沖擊力峰值變化不大，Kawahara等和Zhang等得出同樣的結(jié)論。

圖6 砂墊層密度對落石沖擊效應(yīng)的影響

上述計(jì)算結(jié)果表明砂墊層的厚度越大，落石受到的阻力變化不大，沖擊深度減小幅度不大，對底面混凝土板的傳遞沖擊力越小，故工程中砂墊層的厚度不能太小，否則無法達(dá)到減小沖擊力的目的，但也不能過大，因?yàn)樵黾由皦|層厚度會增加砂的自質(zhì)量對防護(hù)結(jié)構(gòu)的靜載作用，也不經(jīng)濟(jì)。砂墊層的密度越大，落石受到的阻力越大，沖擊深度越小，對底面混凝土的傳遞沖擊力越大，故工程中砂墊層傾向于選擇松砂，即砂墊層密度相對較小，但也需注意落石沖擊深度，不能大于砂墊層厚度，否則會損傷防護(hù)結(jié)構(gòu)。

2.4 落石參數(shù)分析

下面分析落石質(zhì)量、沖擊速度、沖擊角度對沖擊效應(yīng)的影響，根據(jù)2.3節(jié)砂墊層參數(shù)分析結(jié)果，選取砂的厚度為1.6 m，密度為1 500 kg/m3。

2.4.1 落石質(zhì)量的影響

研究表明[35]，90%落石質(zhì)量小于1 360 kg，平均質(zhì)量460 kg，最大質(zhì)量4 500 kg，選取落石質(zhì)量變化范圍為50～2 500 kg。不同落石質(zhì)量對砂墊層的沖擊效應(yīng)，如圖7所示。結(jié)果表明，落石加速度峰值與質(zhì)量呈指數(shù)衰減關(guān)系，沖擊深度與落石質(zhì)量呈指數(shù)增大關(guān)系，傳遞沖擊力峰值與落石質(zhì)量呈指數(shù)增大關(guān)系。Kawahara等得出同樣的結(jié)論。

圖7 落石質(zhì)量對沖擊效應(yīng)的影響

2.4.2 沖擊速度的影響

Wyllie的研究表明，落石沖擊速度的分布范圍為10～42 m/s，平均值為26.2 m/s，本文選取沖擊速度為10～45 m/s。落石以不同沖擊速度對砂墊層的沖擊效應(yīng)，如圖8所示。結(jié)果表明，加速度峰值與沖擊速度呈指數(shù)增大關(guān)系，沖擊深度與沖擊速度呈指數(shù)增大關(guān)系，傳遞沖擊力峰值與沖擊速度呈指數(shù)增大關(guān)系。

圖8 落石沖擊速度對沖擊效應(yīng)的影響

2.4.3 落石沖擊角度的影響

定義沖擊速度與砂墊層表面的角度為沖擊角度λ。Wyllie的研究表明，沖擊角度的分布范圍為60°～65°，為擴(kuò)大分析范圍，選取沖擊角度變化范圍為45°～90°。落石以不同沖擊角度對砂墊層的沖擊效應(yīng)，如圖9所示。結(jié)果表明，加速度峰值、沖擊深度和傳遞沖擊力峰值都與沖擊角度是正弦函數(shù)的指數(shù)關(guān)系。因?yàn)闆_擊速度與沖擊角度滿足正弦函數(shù)關(guān)系，沖擊角度的增大，相當(dāng)于沖擊速度的增大，所以沖擊角度對落石沖擊效應(yīng)的影響，可以等效于沖擊速度對沖擊效應(yīng)的影響。

圖9 落石沖擊角度對沖擊效應(yīng)的影響

3 砂墊層緩沖性能分析

3.1 擴(kuò)散角

研究表明[36-38]，落石沖擊砂墊層形成的壓縮波以沖擊點(diǎn)開始呈錐角向底面?zhèn)鞑?。將砂墊層頂層和底面應(yīng)力邊界的連線與墊層表面法線夾角定義為擴(kuò)散角θ，如圖10所示。擴(kuò)散角對于研究作用在結(jié)構(gòu)上力的作用范圍具有重大意義，假設(shè)擴(kuò)散角為θ，則沖擊力在砂墊層底面的擴(kuò)散半徑L為

圖10 擴(kuò)散角示意圖

L=R+htanθ

(6)

式中：R為落石與墊層接觸面的半徑，R≤落石半徑r；h為砂墊層厚度。

目前對于擴(kuò)散角沒有統(tǒng)一的規(guī)范，TB 10003—2005《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》中為40°，JTG D30—2015《公路路基設(shè)計(jì)規(guī)范》中為35°，以上給出的擴(kuò)散角只是一個經(jīng)驗(yàn)值，落石沖擊砂墊層的過程中，擴(kuò)散角不是一個恒定值，與動荷載和砂墊層力學(xué)性能相關(guān)，試驗(yàn)中砂墊層材料不可能是均質(zhì)材料，這也導(dǎo)致擴(kuò)散角不是一個恒定的值，因此本文采用數(shù)值模擬的方法研究擴(kuò)散角的規(guī)律。

由于不同工況砂墊層底面應(yīng)力范圍難以確定，為使擴(kuò)散角不大于規(guī)范中最大值40°，以砂墊層最大應(yīng)力的0.7%作為底面擴(kuò)散邊界。落石質(zhì)量850 kg，沖擊速度14 m/s、砂厚1.6 m、密度1 500 kg/m3工況的不同時刻擴(kuò)散角，如圖11所示。圖11(a)顯示砂墊層最大應(yīng)力為2.116 MPa，以15 kPa作為砂墊層底面應(yīng)力邊界，可得到擴(kuò)散角的大小。圖11(b)～圖11(d)分別表示砂墊層底面應(yīng)力范圍最大時刻、傳遞沖擊力最大時刻和落石與砂墊層接觸面最大時的擴(kuò)散角，為25.2°、18.5°、15.5°，為使防護(hù)結(jié)構(gòu)安全可靠，取其最大值作為該工況的擴(kuò)散角θ=25.2°。

圖11 工況1不同時刻的擴(kuò)散角

落石質(zhì)量850 kg、沖擊速度14 m/s、砂厚2.0 m、密度1 500 kg/m3工況的不同時刻擴(kuò)散角，如圖12所示。圖12(a)顯示砂墊層最大應(yīng)力為2.116 MPa，擴(kuò)散角邊界沒有變化。圖12(b)～圖12(d)分別上述3個時刻的擴(kuò)散角，取最大值作為該工況的擴(kuò)散角θ=16.9°。

圖12 工況2不同時刻的擴(kuò)散角

落石質(zhì)量850 kg、沖擊速度14 m/s、砂厚2.0 m、密度1 800 kg/m3工況的不同時刻擴(kuò)散角，如圖13所示。圖13(a)顯示砂墊層最大應(yīng)力為2.43 MPa，以17 kPa作為砂墊層底面應(yīng)力邊界。圖13(b)～圖13(d)分別上述3個時刻的擴(kuò)散角，取最大值作為該工況的擴(kuò)散角θ=13.7°。

技道合一的論點(diǎn)在中國藝術(shù)創(chuàng)作中產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。宋蘇軾就曾在《書李伯時山莊圖后》提出“有道而不藝，則物雖形于心，不形于手”的觀點(diǎn)。明鄭板橋用“眼中之竹”、“胸中之竹”、“手中之竹”來概括其藝術(shù)創(chuàng)作的全過程,可是從“胸中之竹”道“手中之竹”必須有高度嫻熟的技巧方可達(dá)到,“必極工而后能寫意”,寫意的前提是“極工”，差一點(diǎn)不得。由此觀之，中國傳統(tǒng)藝術(shù)所追求的極致就是“技道合一”。

圖13 工況3不同時刻的擴(kuò)散角

砂墊層參數(shù)對擴(kuò)散角的影響，如圖14所示。圖14(a)表明擴(kuò)散角隨砂厚度的增大而減小，這是由于砂墊層受落石沖擊的最大應(yīng)力與砂的厚度無關(guān)，當(dāng)砂厚度增加時，傳到砂墊層底面的應(yīng)力隨著砂厚度的增加而減小，對應(yīng)的應(yīng)力的邊界范圍縮小，致使擴(kuò)散角減小。圖14(b)表明，擴(kuò)散角隨砂的密度增加而減小，且減小的幅度越來越小。

圖14 砂墊層參數(shù)對擴(kuò)散角的影響

落石參數(shù)對擴(kuò)散角的影響，如圖15所示。圖15(a)表明，擴(kuò)散角隨落石質(zhì)量增大而增大，當(dāng)落石質(zhì)量小于臨界值時，砂墊層底面應(yīng)力為零，擴(kuò)散角為零；圖15(b)表明，擴(kuò)散角隨沖擊速度增大而增大，且增大的趨勢越來越大。

圖15 落石參數(shù)對擴(kuò)散角的影響

3.2 衰減系數(shù)

Szendrei[39]提出在有界介質(zhì)中，波速振幅隨著傳播距離的衰減規(guī)律為

A(z)=A0z-n

(7)

式中：z為傳播距離；A0為初始振幅；A(z)為z處振幅；n為衰減指數(shù)，與墊層性質(zhì)和邊界條件有關(guān)。

以落石與砂墊層接觸面中心點(diǎn)應(yīng)力峰值為初始應(yīng)力σ0，接觸面中心點(diǎn)正下方深度z處的應(yīng)力峰值為σz，定義衰減系數(shù)

ζ(z)=σz/σ0

(8)

對于同一深度z，落石和砂的參數(shù)對衰減系數(shù)ζ的影響，如圖16所示。結(jié)果表明，衰減系數(shù)ζ隨落石質(zhì)量的增大而增大，隨落石沖擊速度先增大后減小，與砂的厚度和密度關(guān)系不大。

圖16 落石和砂的參數(shù)對衰減系數(shù)的影響

通過以上分析可知，衰減系數(shù)與落石質(zhì)量、沖擊速度和砂中深度關(guān)系較大，與砂墊層參數(shù)關(guān)系不大。

圖17 不同工況下衰減系數(shù)隨砂墊層深度的關(guān)系

因此通過衰減系數(shù)可以分析砂墊層對壓縮波的衰減程度。對衰減系數(shù)與砂墊層深度關(guān)系進(jìn)行擬合，可以得到式(8)，擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)均大于0.85。

ζ(z)=Be-z/ω

(9)

式中：B與砂墊層參數(shù)有關(guān)；ω與落石尺寸和密度有關(guān)；z與砂墊層深度有關(guān)。

對于本文所涉及的砂墊層擬合值B為0.95～0.99，涉及落石的擬合值ω為0.10～0.45。落石質(zhì)量越大，對應(yīng)的ω越大。

3.3 傳遞系數(shù)

研究表明[40]，落石沖擊過程中，落石重力對落石沖擊力的影響不超過10%，故本文忽略落石重力對沖擊效應(yīng)的影響，假定落石沖擊力F0近似等于落石加速度與質(zhì)量之積，則定義傳遞系數(shù)

γ=F1max/F0max

(10)

圖18(a)表明隨著砂的厚度增大，傳遞系數(shù)減小，且減小的幅度越來越小，當(dāng)砂的厚度增大到臨界值后，傳遞系數(shù)變化不大；圖18(b)表明傳遞系數(shù)與砂墊層密度呈指數(shù)減小的關(guān)系，該結(jié)論在Calvetti等的試驗(yàn)結(jié)果中也出現(xiàn)了；圖18(c)表明傳遞系數(shù)與落石質(zhì)量的呈指數(shù)增大關(guān)系；圖18(d)表明傳遞系數(shù)隨沖擊速度的增大而減小。圖18中所有傳遞系數(shù)γ都介于1～2，符合壓縮波在不同介質(zhì)界面上的傳播規(guī)律。

圖18 砂和落石參數(shù)對傳遞系數(shù)的影響

4 落石沖擊砂墊層的機(jī)理分析

砂墊層受落石沖擊的過程中，砂的顆粒結(jié)構(gòu)和顆粒之間的接觸都發(fā)生變化和破壞，砂的應(yīng)力狀態(tài)也隨之變化，以落石質(zhì)量850 kg、沖擊速度14 m/s、砂墊層厚度2.0 m、密度1 500 kg/m3的工況為例，其應(yīng)力云圖如圖19所示。

圖19(a)為落石剛接觸砂墊層時的應(yīng)力云圖，落石與砂的接觸面較小，近似為點(diǎn)面接觸，砂墊層中的應(yīng)力非常大，但只分布于沖擊點(diǎn)附近半球形區(qū)域。隨著落石與砂墊層的接觸面增大，應(yīng)力在砂中向四周傳播，圖19(b)為落石沖擊力F0達(dá)到峰值時的應(yīng)力云圖，砂墊層中沿落石運(yùn)動軌跡的應(yīng)力迅速增大，靠近沖擊點(diǎn)的應(yīng)力高于接觸面邊緣的應(yīng)力。圖19(c)為壓縮波傳播到混凝土板時的應(yīng)力云圖，可以看出，在接觸面中心區(qū)域的砂主要以三向壓縮為主，在邊緣附近區(qū)域的砂主要以剪切變形為主，且壓縮為主的區(qū)域，越靠近接觸面的區(qū)域應(yīng)力越大。圖19(d)為砂墊層底面應(yīng)力分布范圍最大時的應(yīng)力云圖，由于混凝土板剛度較大，可將砂墊層與混凝土板的交界面看作固定端，壓縮波經(jīng)交界面反射形成反射波，應(yīng)力邊界范圍由原來的球形變成了橢球型，是由于后續(xù)的壓縮波與反射波共同作用形成的。圖19(e)為落石沖擊速度為零時的應(yīng)力云圖，砂墊層中的應(yīng)力沒有后續(xù)沖擊補(bǔ)充，應(yīng)力變小，分布范圍越來越小，向沖擊點(diǎn)“收縮”，砂處于卸載狀態(tài)，直至沖擊過程結(jié)束。

圖19 落石沖擊砂墊層應(yīng)力傳播過程

參考王禮立等[41-43]錐桿中應(yīng)力波傳播的理論，將與落石接觸的砂墊層看作壓縮波入射端，直徑為2r，砂墊層底面應(yīng)力分布范圍看作反射端，直徑為2L，錐角為擴(kuò)散角θ，則壓縮波在砂墊層中的傳播可以簡化為由錐體的小端向大端傳播，錐體的截面積按擴(kuò)散角由小變大，如圖20所示。由該理論可知，錐桿的長徑比2L/h對砂墊層底面的應(yīng)力峰值的衰減影響很大，且同一截面上各點(diǎn)應(yīng)力值不同，截面中心點(diǎn)應(yīng)力比邊緣大。

圖20 錐桿應(yīng)力波傳播示意圖

綜上所述，可將落石沖擊砂墊層動力響應(yīng)簡化為錐桿中壓縮波傳播，其作用過程如圖21所示，圖21(a)為落石沖擊錐桿砂墊層，在錐桿頂面形成壓縮波；由于壓縮波傳播速度遠(yuǎn)大于落石沖擊速度，壓縮波向錐桿底面快速傳播，如圖21(b)所示；壓縮波中心區(qū)域的應(yīng)力水平大于兩側(cè)的應(yīng)力，其波速也稍大，與圖19(b)所顯示的計(jì)算結(jié)果基本一致；壓縮波傳播至錐桿底面時，經(jīng)交界面形成反射波，如圖21(c)所示；反射波沿著向上的方向在錐桿中傳播，并與向下傳播的壓縮波相互作用并疊加，如圖21(d)所示，在錐桿中該作用過程持續(xù)發(fā)生，直至壓縮波衰減至零，如圖21(e)所示。

圖21 錐桿中波傳播與相互作用示意圖

5 結(jié) 論

本文開展了落石沖擊砂墊層的動力響應(yīng)數(shù)值模擬分析，研究了砂的本構(gòu)模型和參數(shù)確定方法，建立了落石沖擊砂墊層的有限元模型，基于該模型分析了落石沖擊影響因子對沖擊效應(yīng)的影響規(guī)律，并以擴(kuò)散角、衰減系數(shù)和傳遞系數(shù)研究了砂墊層的緩沖性能，提出了錐桿模型，初步討論了砂墊層中壓縮波的傳播機(jī)理。主要結(jié)論如下：

(1) 本文提出的有限元模型能夠模擬大尺寸砂墊層受落石沖擊的動力響應(yīng)過程。落石加速度峰值和沖擊深度都與砂密度、落石質(zhì)量和沖擊速度呈指數(shù)關(guān)系；傳遞沖擊力峰值與落石質(zhì)量和沖擊速度呈指數(shù)關(guān)系；沖擊角度對沖擊效應(yīng)的影響等效于沖擊速度的影響。

(2) 擴(kuò)散角、衰減系數(shù)、傳遞系數(shù)是研究砂墊層中壓縮波傳播規(guī)律的重要參數(shù)，擬合得到衰減系數(shù)隨砂深度的關(guān)系式，沖擊力傳遞系數(shù)介于1～2。

(3) 在試驗(yàn)研究與數(shù)值模擬分析的基礎(chǔ)上，本文提出了錐桿模型，進(jìn)一步探討了壓縮波在錐桿中的傳播與作用過程，揭示了落石沖擊作用下，壓縮波在砂墊層中的傳播機(jī)理。