巧用比例作圖法解決物理問題

陳春琴

摘 要：高中學(xué)生普遍覺得物理不好學(xué)，除了閱讀審題、物理建?？茖W(xué)思維等方面的困難之外，有時(shí)候是明明已經(jīng)讀懂題意，也建立了物理模型，但卻在數(shù)學(xué)計(jì)算上出現(xiàn)了攔路虎.如果能靈活應(yīng)用比例作圖法將可以避開復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，更直觀快速的得到答案.

關(guān)鍵詞：比例作圖法;直觀快速解題

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0121-03

眾所周知，物理學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科這兩門學(xué)科具有很高的關(guān)聯(lián)性，在解決物理問題的過程中經(jīng)常需要用到相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，其思想方法的應(yīng)用始終貫穿在高中物理的學(xué)習(xí)中.而學(xué)生受分科教學(xué)的影響，經(jīng)常無法將數(shù)學(xué)思想與物理應(yīng)用融會(huì)貫通，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力.本文重點(diǎn)介紹用比例作圖法來巧妙解決物理問題.

學(xué)生在高一學(xué)習(xí)力學(xué)知識(shí)時(shí)就已經(jīng)知道，畫受力圖時(shí)有兩種方法——力的示意圖和力的圖示.力的圖示是指從作用點(diǎn)開始沿力的方向畫一條線段，根據(jù)選定的標(biāo)度和力的大小按比例確定線段長度，并在線段的末端標(biāo)出箭頭表示力的方向.力的示意圖不需要嚴(yán)格按照力的圖示法表示力，而只沿力的方向畫一條帶箭頭的線段來表示物體受到的力，不強(qiáng)調(diào)有向線段的長短和起點(diǎn).除了在驗(yàn)證力的平行四邊形的實(shí)驗(yàn)中我們應(yīng)用了力的圖示之外，在平時(shí)的授課和解題中，幾乎都采用力的示意圖法.其實(shí)借鑒力的圖示法（比例的思想）用來解決和矢量有關(guān)的物理題往往有意想不到的妙處 .下面我們結(jié)合例題來體驗(yàn)一下：

例1 （2015年高考新課標(biāo)全國卷II）由于衛(wèi)星的發(fā)射場(chǎng)不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過調(diào)整再進(jìn)入地球同步軌道.當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運(yùn)行.已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1×103m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時(shí)的速度為1.55×103 m/s，此時(shí)衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖1所示，發(fā)動(dòng)機(jī)給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為（ B ）

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.東偏南方向，2.7×103m/s

常規(guī)解法1 合速度為同步衛(wèi)星的線速度，為：v=3.1×103m/s;

一個(gè)分速度為在轉(zhuǎn)移軌道上的速度，為：v1=1.55×103m/s;

合速度與該分速度的夾角為30°，根據(jù)平行四邊形定則，另一個(gè)分速度v2如圖2所示：

該分速度的方向?yàn)闁|偏南方向，根據(jù)余弦定理，大小為：v2=v2+v21-2vv1cos30°=1.9×103m/s

常規(guī)解法2 如圖3所示.

v2=（vcos30°-v1）2+（vsin30°）2

≈1.9×103m/s

巧妙解法 這道高考題對(duì)學(xué)生來講有兩個(gè)難點(diǎn)，一個(gè)是物理建模，另一個(gè)就是采用數(shù)學(xué)方法來計(jì)算.這兩種方法都需要學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)功底，中等水平的學(xué)生不容易想到應(yīng)用余弦定理來解題，但是借助尺規(guī)按比例作圖就可快速得到答案.圖4

觀察題目數(shù)據(jù)可看出同步衛(wèi)星的速度是衛(wèi)星速度的兩倍，如圖4所示，因此我們用4cm長的線段表示同步衛(wèi)星的速度v2，用2cm長的線段表示衛(wèi)星速度v1，用量角器量出30°的夾角，將這兩條線段的末端相連組成一個(gè)閉合的矢量三角形，用尺子量出連線的長度，按比例換算就可以得到附加速度的大小，方向也可一目了然.

v22.3cm=0.775×1031cm

例2 把一個(gè)已知力F分解，要求其中一個(gè)分力F1跟F成30°角.而大小未知;另一個(gè)分力F2= 33F，但方向未知，則F1的大小可能是 （ AD ）

A.33F B.32F C.3F D.233F

巧妙解法 取5cm長的線段表示力F，因?yàn)镕2=33F，用圓規(guī)在直尺上取2.9cm長的線段表示力F2，以A為圓心，2.9cm為半徑做圓弧與F1方向所在的直線相交于B、C兩點(diǎn)，用尺子量出OB、OC的長度，OB=2.9cm，OC=5.7cm，則根據(jù)F5cm=F12.9cm，可算出OB線段表示的F1=33F，同理可得OB線段表示的F1= 233F.

例3 （2013年高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ）半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面（紙面），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外.一電荷量為q（q>0）、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為R2.已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，則粒子的速率為（不計(jì)重力）（ B ）

A.qBR2m B.qBRm C.3qBR2m D.2qBRm

常規(guī)解法 如圖7所示，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，ce為射入速度所在直線，d為射出點(diǎn)，射出速度反向延長交ce于f點(diǎn)，磁場(chǎng)區(qū)域圓心為O，帶電粒子所做圓周運(yùn)動(dòng)圓心為O′，則O、f、O′在一條直線上，由幾何關(guān)系證得OC O′d為棱形，帶電粒子所做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R.

巧妙解法 本題的難點(diǎn)在于畫出軌跡圖用幾何知識(shí)證明OC O′d為棱形，從而得出偏轉(zhuǎn)圓的半徑等于磁場(chǎng)圓的半徑.但事實(shí)上，學(xué)生只要用圓規(guī)畫出初速度偏轉(zhuǎn)了60°的方向，并平移到合適的位置，畫出兩條半徑大致相等的圓弧，用直尺就可以量出偏轉(zhuǎn)圓的半徑等于磁場(chǎng)圓的半徑，如圖8所示即可得到粒子的速率.

例4? 如圖9所示，一重為120N的球固定在彈性桿AB的上端，今用測(cè)力計(jì)沿與水平方向成37°角斜向右上方拉球，桿發(fā)生彎曲，此時(shí)測(cè)力計(jì)的示數(shù)為100N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，則桿AB對(duì)球作用力的大小為（ B ）.

A.120N B.100N C.80N D.20N

巧妙解法 本題的難點(diǎn)在于學(xué)生受思維定勢(shì)的影響，對(duì)物體受三個(gè)力平衡的情況不容易想到先正交分解，求出各個(gè)方向的合力再合成;而且畫受力圖的時(shí)候，球的重力和測(cè)力計(jì)的彈力方向可以確定，但桿對(duì)球的彈力方向是未知的，學(xué)生糾結(jié)于此，解題進(jìn)行不下去.但如果能利用本文所介紹的方法，按照比例畫出力的圖示，如圖10所示，沿豎直方向用6cm長的線段畫出重力，沿測(cè)力計(jì)的方向畫5cm長的線段表示彈力，用兩把尺子平移作出準(zhǔn)確的平行四邊形，量出對(duì)角線的長度，就可以輕松得到答案.

物理學(xué)科是大多數(shù)學(xué)生比較畏懼的一門學(xué)科，不僅要理解物理概念、物理規(guī)律，還要懂得將物理知識(shí)應(yīng)用于解決各類生產(chǎn)生活、科學(xué)探究等情景，有時(shí)候物理的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用得很好了，但確受限于數(shù)學(xué)工具的不熟練而解不出來.本人經(jīng)過長期的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，用比例作圖法解題可以避開復(fù)雜的數(shù)學(xué)證明和運(yùn)算， 學(xué)生可以將更多的精力放在審題、建立物理模型、并尋找相應(yīng)的物理規(guī)律物理知識(shí)來解題，對(duì)中等層次的學(xué)生特別有幫助.但由于這個(gè)方法相比于其他數(shù)學(xué)方法（比如三角函數(shù)法、極值法、不等式法等）應(yīng)用的比較少，所以更需要教師在平時(shí)的教學(xué)中有意識(shí)的加強(qiáng)這種方法的應(yīng)用和示范.

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