基于數(shù)學(xué)建模思想的“解三角形的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計

刁志瑞 葉慧妍 盧 韞

[摘 ?要] 基于以往“解三角形應(yīng)用”課堂中容易出現(xiàn)例子斷裂分割，缺乏聯(lián)系而造成的學(xué)習(xí)障礙，文章將重新從數(shù)學(xué)建模的視角，通過設(shè)計完整的探險故事，在問題解決的過程中整體聯(lián)系解三角形應(yīng)用模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;解三角形的應(yīng)用;解三角形;教學(xué)設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017版）》提出重視培養(yǎng)學(xué)生的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析. 數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生需要掌握的重要思想和能力. 數(shù)學(xué)建模構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，生活聯(lián)系數(shù)學(xué)的重要形式. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地基于數(shù)學(xué)建模思想設(shè)計課程，將有助于讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)聯(lián)，進一步感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美;同時利用數(shù)學(xué)建模過程充分發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“解三角形的應(yīng)用”與現(xiàn)實生活有著密切聯(lián)系. 如何能夠?qū)?shù)學(xué)建模思想貫穿于課程中，又不顯得與生活脫節(jié)而無趣呢？為此，本文將基于數(shù)學(xué)建模思想，在“解三角形的應(yīng)用”一課中，通過創(chuàng)設(shè)有趣、完整的探險故事，統(tǒng)領(lǐng)解三角形應(yīng)用的幾種數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生能夠在“問題解決中學(xué)習(xí)”，實現(xiàn)在課程中培養(yǎng)建模思想和建模能力的目標(biāo).

教材分析

天文觀測、航海和地理測量是人類認識自然的重要方面，而解三角形的理論在其中發(fā)揮了重要作用. 同時，數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實踐活動的推動，解三角形的理論也得到不斷發(fā)展，并被用于解決許多測量問題. 在初中，我們已經(jīng)能夠借助于銳角三角函數(shù)解決有關(guān)直角三角形的一些測量問題. 然而在實際工作中我們還會遇到許多其他的測量問題，這些問題僅用銳角三角函數(shù)就不夠了，如：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？這些問題的解決需要應(yīng)用本章學(xué)習(xí)的正弦定理與余弦定理.

本節(jié)內(nèi)容選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第一單元1.2節(jié)“解三角形應(yīng)用舉例”. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017版）》指出“能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題”，因此本節(jié)解三角形的應(yīng)用是在前面正弦、余弦定理學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進一步把其遷移到實際問題的重要知識，是實際問題與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合的典型案例，能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在實際問題中的優(yōu)勢和力量，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的重要教學(xué)內(nèi)容.

學(xué)情分析

1. 認知基礎(chǔ)

本節(jié)課針對成績中等偏上的學(xué)生設(shè)計，在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正弦定理和余弦定理，對這些內(nèi)容有比較透徹的理解，并且經(jīng)過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，具備一定的數(shù)學(xué)抽象能力.

2.認知障礙

雖然已經(jīng)掌握正弦定理與余弦定理，但學(xué)生對于實際問題中解三角形的應(yīng)用還不熟悉，對于現(xiàn)實問題的抽象與三角形模型的構(gòu)建存在一定困難，數(shù)學(xué)建模能力有待進一步加強.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：了解解三角形在實際生活中的廣泛應(yīng)用;能夠利用解三角形相關(guān)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決常見的實際問題.

2.過程與方法：通過講故事的學(xué)習(xí)形式，在解決實際問題的過程中感受解三角形應(yīng)用的價值，感知數(shù)形結(jié)合、分類討論和數(shù)學(xué)建模的思想方法，豐富數(shù)學(xué)建模與活動經(jīng)驗.

教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點：解三角形的應(yīng)用.

2.教學(xué)難點：實際問題中解三角形的建模方法.

教學(xué)過程

1. 復(fù)習(xí)引入

師：在之前的課程中，我們學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及其證明，也鼓勵大家課下積極探索多樣的證明方式. 下面，我們首先復(fù)習(xí)一下這兩個定理.

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

師：事實上，正弦定理和余弦定理在實際測量中有許多應(yīng)用，尤其是古代. 下面，讓我們回到古代，使用古人的工具（測角儀和皮卷尺）來感受這兩個定理的魅力.

2. 情境探究

時間回到古代，這時候按照藏寶圖，你帶著測角儀、皮卷尺和指南針來到了一座小島上. 接下來，你將根據(jù)藏寶圖的指示，靈活使用手中的測量工具去尋找寶藏. 藏寶圖顯示，尋寶的起點是一棵有特殊標(biāo)記的高大樹木. 經(jīng)過比對，你走到了這棵樹的旁邊，打開了藏寶圖……

指示1：（例題）請沿西南方向走一段距離，該距離為兩倍樹木高度，走過這段距離，你將看到一個瞭望臺.

師：憑借手中的指南針，我們可以確定下一步走的方向，但如何用測角儀、皮卷尺測量樹高呢？（給出示范，如圖2）

師：測角儀可以測出視角，皮卷尺可以測出你與樹木之間的距離，這樣就構(gòu)成了已知一個銳角和一條直角邊的直角三角形，根據(jù)l1=d1·tanα求出樹木高度. 我們稱這種高度測量為“底部可到達”.

設(shè)計意圖：本題屬于解三角形中的基礎(chǔ)題型，主要目的是通過演示和簡單講解，讓學(xué)生熟悉情境，并利用情境中已有的工具測量樹高，了解實際情境中解三角形的應(yīng)用概況，構(gòu)造三角形，尋找已知量. 本題只需要根據(jù)樹木與地面垂直的隱含條件構(gòu)造一個直角三角形即可求解，是高度測量中底部可到達的最容易的類型，用于熟悉情境和引入相對恰當(dāng).

指示2：請測量瞭望臺頂部高度，并向東走一段距離，該距離為五倍瞭望臺頂部高度. 在那里，你將隔著海面看到一座燈塔.

師：與上一個指示類似，這時你依然可以走到瞭望臺旁，但你需要測它的一部分高度，這種情況下，僅構(gòu)造一個三角形夠嗎？請同學(xué)們動手試一試. 完成的同學(xué)可以上臺演示你的做法.

此時，需要構(gòu)造兩個直角三角形，l2=d2（tanγ-tanβ）.

設(shè)計意圖：本題屬于解三角形中的基礎(chǔ)題型，代表了高度測量中的“底部可到達”，但未知量是建筑中的一部分，是第一個例題的變式，此時需要選擇. 此題依然不涉及復(fù)雜的推理過程，相對容易，主要目的是讓絕大多數(shù)學(xué)生體會從實際情境中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)抽象過程，并初步使用情境中給出的工具，體會測量中的數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值.

指示3：請你測量燈塔的高度，并沿著海岸向南走一段距離，該距離為三倍塔高. 在那里，你將隔?？吹揭凰矣屋?

師：此時，我們已經(jīng)不能測出燈塔與自己的距離. 要如何轉(zhuǎn)化呢？需要構(gòu)造幾個三角形呢？請同學(xué)們4人一組，進行討論. 有想法的小組可以演示.

此時需要構(gòu)造兩個直角三角形，根據(jù)三角形中的兩個等量關(guān)系可以求出兩個未知量，其中一個即為塔高l3. （m1+d3）tanα2=m1tanα1？圯m1=？圯l3=.

設(shè)計意圖：本題為測高度的第三種類型——底部不可達，相對前面兩題難度有提升. 仍需要構(gòu)造兩個直角三角形，但此時觀察者不再是站在原地改變視角，而是通過改變自己的位置，創(chuàng)造出多個已知量，進一步解決問題. 這一情境是上一題的變式練習(xí)，通過這一問題，學(xué)生對從實際問題出發(fā)構(gòu)造三角形應(yīng)有更深刻的認識.

指示4：你現(xiàn)在可以看到一艘大船了嗎？恭喜，你已經(jīng)離寶藏很近了——它就在船上. 但你還需要測量出船到岸邊的距離，來搭建一個上船需要的橋，你會怎么做呢？

師：在這個情境中，我們需要測量一段未知的距離. 現(xiàn)在僅有兩個點，我們需要構(gòu)造三角形嗎？如果要的話，需要構(gòu)造幾個三角形？請同學(xué)們4人一組，進行討論. 有想法的小組可以演示.

l4待求，根據(jù)正弦定理有==？圯l4=.

設(shè)計意圖：本題為測兩點距離的第一種題型——有一點可達，相對基礎(chǔ). 通過此題，學(xué)生將感受到正弦定理在解決測量問題中的應(yīng)用. 解決這一問題只需要一個三角形，與上一題類似，難點在于學(xué)生需要通過改變自己的位置，創(chuàng)造出一條線段來構(gòu)造三角形. 本題構(gòu)造三角形與解三角形的方式也是為下面的練習(xí)做鋪墊.

指示5：你搭好了橋，走上大船. 當(dāng)你在船上準備打開寶箱時，突然看到遠處一艘帆船上的一伙人試圖靠岸，他們向你尋求幫助：他們的船距離燈塔還有多遠？

師：在這個情境中，我們?nèi)孕枰獪y量一段未知的距離. 現(xiàn)在有已知的兩個點，以及你腳下的一艘大船. 我們需要構(gòu)造三角形嗎？如果要的話，需要構(gòu)造幾個三角形？請同學(xué)們4人一組，進行討論. 有想法的小組可以演示.

（提示：腳下的船可以不看做一點，你可以在上面移動來創(chuàng)造線段）

AB長度待求. 在△BCD中，根據(jù)正弦定理有=？圯BC=. 同理在△ACD中，AC=. 在△ABC中，根據(jù)余弦定理，有AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos（β1-α2）？圯AB=.

設(shè)計意圖：此題是距離測量中的兩點均不可達情形，相對復(fù)雜. 本題需要至少三個三角形，在三個三角形中綜合使用正弦定理和余弦定理，進一步將已知邊長、角度與待求的線段長聯(lián)系起來，多次轉(zhuǎn)化，較為靈活. 與之前的題目不同，此題構(gòu)造出三個三角形后，也衍生出了許多其他的與上述解法無關(guān)的三角形，也為一題多解創(chuàng)設(shè)了條件. 在構(gòu)造過程中可以根據(jù)學(xué)生的實際情況進行提示，構(gòu)造模型完成后也可以鼓勵學(xué)生使用多種解法.

完成以上5個指示以后，恭喜你成功登上藏有寶藏的船. 打開寶箱，你看到一卷羊皮紙，上面寫著：“恭喜你探險者，你已經(jīng)擁有了世界上最難得的財富——數(shù)學(xué)的智慧！”

3.課堂小結(jié)

簡單介紹解三角形在古代測量學(xué)中的應(yīng)用——測距、測高、測深，并根據(jù)課堂內(nèi)容進行總結(jié)：

（1）“1種應(yīng)用”——解三角形的應(yīng)用.

（2）“2種測量”——高度測量、距離測量.

（3）“3個定理”——正弦定理、余弦定理、勾股定理.

（4）“4個素養(yǎng)”——數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象.

（5）“5種分類”：

本節(jié)課中解三角形的知識應(yīng)用于高度測量與距離測量，可分為五種情形：

高度測量底部可達整體高度部分高度底部不可達：整體高度

距離測量一點可達兩點不可達

事實上，對于解三角形的應(yīng)用可總結(jié)出具體的方法和模型，請學(xué)生根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，填寫完成以下概念圖（圖7）.

4. 作業(yè)布置

（1）底部不可達的情況下，如何測量部分高度？請各小組課后進行自主探究.

（2）情境：你發(fā)現(xiàn)在你的幫助下上島的人是海盜，他們也為寶藏而來，你要如何逃出這個島？請你根據(jù)這一情境，設(shè)計數(shù)學(xué)問題.

設(shè)計意圖：由學(xué)生完成小結(jié)中框架圖的完善工作，使學(xué)科知識更加結(jié)構(gòu)化. 學(xué)生根據(jù)情境自己嘗試探索，提高提出問題能力，培養(yǎng)發(fā)散思維.

實際上，數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，完整的數(shù)學(xué)建?？赡茌^為費時，難以在一節(jié)課中實施. 但是，這并不影響教師在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想. 本節(jié)“解三角形的應(yīng)用”的教學(xué)創(chuàng)新在于并不是通過獨立的、割裂的、沒有聯(lián)系的多種習(xí)題講解如何應(yīng)用解三角形的知識解決實際問題，而是通過創(chuàng)設(shè)一個較為連貫的、有趣的、有具體情境的探險故事，串聯(lián)解三角形的多種模型，實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程的微小化.