歸納演繹聯(lián)手 能力素養(yǎng)齊升

陸建

[摘 ?要] 文章以二項(xiàng)式定理教學(xué)為例，從情境導(dǎo)入，自然生成定理;理性證明，深度理解定理;多元建構(gòu)，豐富定理認(rèn)知;正逆互用，穩(wěn)固知識(shí)結(jié)構(gòu);總結(jié)反思，升華學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)等五個(gè)環(huán)節(jié)入手，幫助學(xué)生建立CPFS結(jié)構(gòu)，并提出了兩點(diǎn)教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] CPFS結(jié)構(gòu);數(shù)學(xué)命題教學(xué);歸納;演繹;推理論證

南師大喻平教授在文[1]中提出了CPFS結(jié)構(gòu)理論，個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)是指學(xué)生頭腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 它包含下列四個(gè)概念：概念域（Concept field），概念系（Concept system），命題域（Proposition field），命題系（Proposition system）. CPFS是取概念、命題、域、系四個(gè)關(guān)系單詞的首字母組成的一個(gè)簡(jiǎn)單標(biāo)記，實(shí)際上CPFS結(jié)構(gòu)是由這四者相互交織、共同作用而形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 相關(guān)研究指出，CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、學(xué)習(xí)、遷移、探究問題、解決問題的能力都會(huì)產(chǎn)生直接的正面影響[1].

依據(jù)CPFS結(jié)構(gòu)的相關(guān)理論，對(duì)于數(shù)學(xué)公式、定理、法則等數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，我們應(yīng)該努力幫助學(xué)生建構(gòu)命題域和命題系，并加以完善，促進(jìn)關(guān)于數(shù)學(xué)命題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的形成. 二項(xiàng)式定理教學(xué)屬于數(shù)學(xué)命題教學(xué)，應(yīng)在CPFS結(jié)構(gòu)理論指導(dǎo)下，突出定理的獲得、證明、應(yīng)用的教學(xué)，注重推理論證能力的培養(yǎng)，多角度揭示定理的結(jié)構(gòu)特征，幫助學(xué)生形成命題域和命題系、完善CPFS結(jié)構(gòu). 下面給出二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)和反思，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

二項(xiàng)式定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 情境導(dǎo)入，自然生成定理

在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了（a+b）2，（a+b）3，甚至（a+b）4的展開式，并且學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合知識(shí)，這些內(nèi)容是二項(xiàng)式定理知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn). 因此教學(xué)應(yīng)以上述已有知識(shí)為固著點(diǎn)，讓學(xué)生通過觀察、比較、分析、歸納、猜想等思維活動(dòng)，充分經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的形成過程，聚焦知識(shí)聯(lián)系，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為形成命題域與命題系建立認(rèn)知基礎(chǔ).

問題1：今天是星期三，9天后是星期幾？92天后呢？93天后呢？9100天后呢？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生不難得到，只要將經(jīng)過的天數(shù)除以7，看所得的余數(shù)，就可以判斷出是星期幾了. 但對(duì)9100，因無法計(jì)算出具體值，學(xué)生陷入困惑，產(chǎn)生認(rèn)知沖突. 此時(shí)教師啟發(fā)學(xué)生，可把9100轉(zhuǎn)化成與7有關(guān)的式子，即9100=（7+2）100，學(xué)生應(yīng)該能夠想到（7+2）100展開后，很多項(xiàng)與7有關(guān)，但具體到哪些項(xiàng)含因數(shù)7，哪些不含，還不很清楚. 接著教師順勢(shì)指出，要想搞清楚（7+2）100展開式的具體情況，必須要用到二項(xiàng)式定理，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 同時(shí)教師簡(jiǎn)要介紹：二項(xiàng)式定理是牛頓在1664年提出的，也叫牛頓二項(xiàng)式定理，它是關(guān)于兩個(gè)數(shù)和的正整數(shù)方冪的等式，即是關(guān)于（a + b）n（n∈N+）展開式的等式.

設(shè)計(jì)意圖：利用生活中的實(shí)例，創(chuàng)設(shè)情境，引起懸念，激發(fā)認(rèn)知沖突，產(chǎn)生研究二項(xiàng)式定理的必要性. 同時(shí)開門見山、直奔主題，自然地揭示課題，進(jìn)入下一階段的學(xué)習(xí)研究.

問題2：二項(xiàng)式定理研究的是（a+b）n（n∈N+）的展開式，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你覺得可以怎樣研究？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生應(yīng)該能想到從n的特殊值（n=2，3，4）入手，觀察、分析展開式的共同特點(diǎn)，遵循從特殊到一般、從具體到抽象的思維策略，猜想（a+b）n展開式的大致構(gòu)成.

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

問題3：上面三個(gè)展開式有什么共同的特點(diǎn)？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再交流想法，教師啟發(fā)引導(dǎo). 這三個(gè)等式的左邊都是相同因式自乘的二項(xiàng)式，其展開式一定有共同的規(guī)律，那么從哪里尋找呢？因?yàn)槎囗?xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式，所以分析展開式的特點(diǎn)，應(yīng)著眼于項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、系數(shù)等多項(xiàng)式概念的要素進(jìn)行歸納概括，可以得到下列四個(gè)共同特點(diǎn)：從“項(xiàng)數(shù)”看，展開式的項(xiàng)數(shù)等于冪指數(shù)加1;從“次數(shù)”看，每一項(xiàng)的次數(shù)都等于冪指數(shù);從“排列規(guī)律”看，展開式按字母a降冪排列且按字母b升冪排列;從“系數(shù)”看，每一項(xiàng)的系數(shù)都可以用組合數(shù)表示. 對(duì)于最后兩點(diǎn)，學(xué)生比較難發(fā)現(xiàn)，需要教師適度啟發(fā)幫助，才能完成歸納發(fā)現(xiàn)的任務(wù).

問題4：你能猜想，并寫出（a+b）n（n∈N+）的展開式嗎？

有了前面的探究鋪墊，學(xué)生經(jīng)過合理猜想、嘗試修正，可以得到下列等式：

（a+b）n=Can+Can-1b+Can-2b2+…+Cabn-1+Cbn

設(shè)計(jì)意圖：命題學(xué)習(xí)一般有兩種方式，一種方式是命題的形成，即學(xué)習(xí)者通過考察命題的特例，進(jìn)行分析歸納，逐步抽象概括出新命題;另一種是命題的同化，即學(xué)習(xí)者直接認(rèn)識(shí)要學(xué)習(xí)的新命題，同時(shí)改組和加工原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，適應(yīng)和接納新命題，從而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 二項(xiàng)式定理的獲得，采取第一種方式更符合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)，通過問題2、問題3，引導(dǎo)學(xué)生考察特例，分析共同本質(zhì)特征，再猜想二項(xiàng)展開式，從而追溯命題生成的過程，使二項(xiàng)式定理自然地產(chǎn)生. 這樣的學(xué)習(xí)過程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，滲透特殊和一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2. 理性證明，深度理解定理

二項(xiàng)式定理的生成是從特殊情況入手，通過歸納猜想獲得的，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明，才能肯定其正確性. 教學(xué)中，我們要挖掘與之相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，發(fā)揮理性思維的力量，多角度探究證明的方法，促進(jìn)學(xué)生深度理解定理，形成和完善相關(guān)的命題域和命題系.

問題5：在你所猜想的（a+b）n的展開式中，為什么系數(shù)會(huì)是組合數(shù)？它和組合知識(shí)有什么樣的聯(lián)系？

這個(gè)問題認(rèn)知難度比較大，學(xué)生解決起來有困難，于是教師可引導(dǎo)學(xué)生思考（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的展開式的構(gòu)成特點(diǎn)，并進(jìn)行下列追問：

追問1：在（a+b）4展開式中，若不合并同類項(xiàng)，則有多少項(xiàng)？為什么？

如果學(xué)生感到困難，可由（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2入手，啟發(fā)學(xué)生思考（a+b）2的項(xiàng)是怎么形成的，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：要完成“展開（a+b）4”這件事，可按下列步驟來完成，即分別從（a+b）·（a+b）（a+b）（a+b）的每個(gè)括號(hào)中各取一個(gè)字母相乘，再將所得結(jié)果相加，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，展開式共有24=16項(xiàng).

追問2：展開式各項(xiàng)的次數(shù)是多少？

展開式各項(xiàng)的次數(shù)為4.

追問3：合并同類項(xiàng)后，展開式有哪些不同的項(xiàng)？它們是怎樣形成的？

追問4：合并同類項(xiàng)后，各項(xiàng)系數(shù)是多少？

展開式含有a4，a3b，a2b2，ab3，b4的項(xiàng)，其中4個(gè)括號(hào)中每個(gè)都不取b的情況有C種，所以a4系數(shù)為C;恰有1個(gè)取b的情況有C種，所以a3b的系數(shù)為C;恰有2個(gè)取b的情況有C種，所以a2b2的系數(shù)為C;恰有3個(gè)取b的情況有C種，所以ab3的系數(shù)為C;都取b的情況有C種，所以b4的系數(shù)是C.

于是，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后必有（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4，至此學(xué)生明白了，組合數(shù)C（r=0，1，2，3，4）原來是從4個(gè)括號(hào)中選取r個(gè)b相乘的方法數(shù).

問題6：根據(jù)剛才的討論，你能證明你的猜想嗎？

因?yàn)樵趩栴}5中，學(xué)生已對(duì)（a+b）4的展開式中項(xiàng)的構(gòu)成、系數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行了充分的思考和討論，所以能夠較順利地從“組合”的角度進(jìn)行二項(xiàng)式定理的證明，接著教師進(jìn)行追問：

追問：還有其他的方法證明二項(xiàng)式定理嗎？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組合作探究，交流展示各組的成果. 由于這是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，學(xué)生不難想到，可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明，但由假設(shè)n=k時(shí)命題成立過渡到證明n=k+1時(shí)命題成立，學(xué)生肯定會(huì)遇到困難，教師要出手幫助，特別是在n=k與n=k+1時(shí)等式兩邊的聯(lián)系與比較，以及如何利用歸納假設(shè)上，要做到啟發(fā)到位、引導(dǎo)得體.

事實(shí)上，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有

（a+b）k=Cak+Cak-1b+Cak-2b2+…+Cabk-1+Cbk，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（a+b）k+1=（a+b）k·（a+b）=（Cak+1+Cakb+Cak-1b2+…+Ca2bk-1+Cabk）+（Cakb+Cak-1b2+Cak-2b3+…+Cabk+Cbk+1）

=Cak+1+（C+C）akb+（C+C）·ak-1b2+…+（C+C）abk+Cbk+1

=Cak+1+Cakb+Cak-1b2+…+Cabk+Cbk+1，定理得證.

設(shè)計(jì)意圖：二項(xiàng)式定理的證明比較難，也很抽象，但卻是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)、提升推理論證能力的好素材，教學(xué)中應(yīng)高度重視，不可輕輕帶過. 本環(huán)節(jié)，通過問題5，讓學(xué)生思考展開式中的系數(shù)為何是組合數(shù)？這個(gè)組合數(shù)是哪里來的？有效地攻克了難關(guān)，明確了論證方向，為學(xué)生順利獲證定理搭建了“腳手架”. 解決問題6時(shí)，采用學(xué)生自主探究、合作交流，教師啟發(fā)引導(dǎo)相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，借助師生的群體智慧、合作攻關(guān)，有效地突破了式子抽象、運(yùn)算復(fù)雜的難點(diǎn).

3. 多元建構(gòu)，豐富定理認(rèn)知

在經(jīng)過比較、歸納、猜想、論證等一系列思維活動(dòng)后，定理初見雛形，學(xué)生已將定理納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中. 但對(duì)定理的認(rèn)識(shí)仍處于模糊、狹窄的狀態(tài)，此時(shí)需要對(duì)定理進(jìn)行概念建構(gòu)、特點(diǎn)分析、適度變式，擴(kuò)展業(yè)已形成的命題域，豐富定理的認(rèn)知.

首先，建構(gòu)二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念：

一般地，對(duì)于n∈N+有（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn，把這個(gè)公式叫作二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫作（a+b）n的二項(xiàng)展開式;把Can-rbr叫作二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，也叫作通項(xiàng)，記作T，即T=Can-rbr;把其中的組合數(shù)C（r=0，1，2，…，n）叫作第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).

然后，提出下列問題：

問題7：二項(xiàng)展開式有什么特點(diǎn)？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：在問題3中已解決過類似的問題，受已有經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)，學(xué)生應(yīng)該能輕松地從項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、系數(shù)、排列規(guī)律等方面予以總結(jié).

問題8：試嘗試寫出（a-b）n，（1+x）n，（1-x）n的展開式.

活動(dòng)預(yù)設(shè)：在（a+b）n的展開式中，以-b代換b;再令a=1，且以x或-x代換b就可以寫出相應(yīng)的展開式. 由于學(xué)生初次接觸二項(xiàng)式定理，雖然對(duì)變量代換的思想和賦值法并不陌生，但在寫相應(yīng)的展開式時(shí)，可能不夠熟練，速度也不快.

設(shè)計(jì)意圖：二項(xiàng)式定理整體結(jié)構(gòu)復(fù)雜、形式抽象，但又具明顯的認(rèn)知特點(diǎn)，只要抓住了通項(xiàng)及其構(gòu)成，認(rèn)識(shí)二項(xiàng)展開式即可做到“小中見大”“管中窺豹”. 因此界定通項(xiàng)及二項(xiàng)式系數(shù)等概念，有利于學(xué)生化整體為局部，從細(xì)節(jié)方面理解二項(xiàng)式定理，從而減輕認(rèn)知負(fù)擔(dān). 深刻理解二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)是寫出二項(xiàng)展開式和識(shí)別一個(gè)式子是否是二項(xiàng)展開式的關(guān)鍵，所以在問題3的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了問題7，進(jìn)行歸納推理、拓展推廣. 問題8中的（a-b）n及（1±x）n的展開式在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，必須熟練掌握，而其中蘊(yùn)含的賦值法和變量代換思想更是重要的數(shù)學(xué)思想方法，不可偏廢.

4. 正逆互用，穩(wěn)固知識(shí)結(jié)構(gòu)

通過前面三個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步形成關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題域和命題系，此時(shí)需圍繞上述知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的相關(guān)結(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，強(qiáng)化二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，達(dá)到固化知識(shí)結(jié)構(gòu)的目的. 常見的應(yīng)用有：展開特定的二項(xiàng)式或識(shí)別二項(xiàng)展開式，以鞏固二項(xiàng)式定理的結(jié)構(gòu)特征;求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，以鞏固理解通項(xiàng)的概念;求二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)、項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)，以辨別易混的三個(gè)概念;求近似值或證明整除性問題，要求合理構(gòu)造二項(xiàng)式，并分析展開式的特點(diǎn)等等.

問題9：利用二項(xiàng)式定理展開下列各式

設(shè)計(jì)意圖：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用比較廣泛，不可能在一節(jié)課內(nèi)完成，因此本節(jié)課只安排上述2個(gè)問題，對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)行正用和逆用，幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)，鞏固二項(xiàng)式定理的認(rèn)知，問題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生應(yīng)該能獨(dú)立獲解.

5. 總結(jié)反思，升華學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)

經(jīng)過命題的獲得、證明、應(yīng)用等階段后，學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的理解逐步提升，但是還處于初級(jí)階段. 此時(shí)應(yīng)進(jìn)行學(xué)習(xí)過程的反思總結(jié)，對(duì)學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行回頭望，感受不一樣的理解，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行抽象概括，并上升到數(shù)學(xué)思想方法和一般觀念的層面，優(yōu)化形成的認(rèn)知圖式，從而完善CPFS結(jié)構(gòu).

問題11：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)內(nèi)容？請(qǐng)你回憶并敘述.

問題12：回望今天的學(xué)習(xí)過程，你有什么體會(huì)？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生思考敘述，教師補(bǔ)充完善，形成下列共識(shí)：

從特殊到一般、化抽象為具體是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的常規(guī)方法;聯(lián)系已有知識(shí)是認(rèn)識(shí)、理解新的數(shù)學(xué)對(duì)象的基本途徑;善于觀察、善于分析、大膽猜想、小心求證是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效手段.

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容及方法策略，使學(xué)生能夠重新審視當(dāng)前的學(xué)習(xí)，站在更高的視角認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)過程，獲得方法論的指導(dǎo)，形成更緊密的知識(shí)結(jié)構(gòu). 待到二項(xiàng)式定理應(yīng)用教學(xué)結(jié)束后，再引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)二項(xiàng)式定理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖（如圖1），將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)清晰地聯(lián)系在一起，有利于把復(fù)雜的信息壓縮成更細(xì)的信息單元，方便學(xué)習(xí)者記憶保持和遷移運(yùn)用.

兩點(diǎn)教學(xué)思考

1. 厚實(shí)學(xué)習(xí)過程，完善CPFS結(jié)構(gòu)

在CPFS結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)命題等知識(shí)點(diǎn)處于網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)的位置，而結(jié)點(diǎn)之間的連線常包含重要的數(shù)學(xué)思想方法，知識(shí)與方法的復(fù)合就形成了關(guān)于命題的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu). 因此形成和完善命題域和命題系的基本途徑是增加命題結(jié)點(diǎn)的數(shù)量和豐富命題之間的方法連線，而要做到“增加結(jié)點(diǎn)，豐富連線”，必須厚實(shí)命題的學(xué)習(xí)過程，使定理的探究發(fā)現(xiàn)有厚度、拓展證明有寬度、思維訓(xùn)練有深度，切實(shí)改變過去定理教學(xué)“重結(jié)果輕過程”“定理教學(xué)草草收?qǐng)?，?xí)題訓(xùn)練勿忙登場(chǎng)”的狀況，使學(xué)生充分經(jīng)歷厚重而扎實(shí)的定理探究過程，重走定理發(fā)現(xiàn)之路，感受數(shù)學(xué)家當(dāng)初的困惑，再現(xiàn)定理背后火熱的思考. 本節(jié)課先從（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展開式入手，分析比較、概括歸納共同結(jié)構(gòu)特征，猜想（a+b）n的展開式，利用組合知識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理;再利用變量代換法和賦值法書寫（1±x）n與（a-b）n的展開式;最后通過介紹相關(guān)概念，分析二項(xiàng)展開式特征，正用、逆用二項(xiàng)式定理，進(jìn)一步完善已形成的定理體系，使學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)不斷擴(kuò)容、逐漸豐滿，有效地展現(xiàn)了知識(shí)的關(guān)聯(lián)性、整體性、邏輯性. 在這個(gè)過程中，學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)不斷生長(zhǎng)、逐漸完善.

2. 發(fā)揮推理力量，優(yōu)化核心素養(yǎng)

章建躍博士指出：“推理是數(shù)學(xué)的命根子、運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功”，推理論證能力是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力. 因此命題教學(xué)中，要把培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力、發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)作為主要任務(wù)，通過研究命題的來龍去脈，使學(xué)生學(xué)會(huì)推理的基本套路，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣和理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃急婺芰? 本節(jié)課中，我們首先運(yùn)用歸納推理，從特殊到一般，猜想出（a+b）n的展開式;再?gòu)囊话愕教厥?，運(yùn)用演繹推理得到（1±x）n與（a-b）n的展開式;而運(yùn)用組合定義和數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理，彰顯了數(shù)學(xué)邏輯演繹的力量和嚴(yán)謹(jǐn)理性的精神. 在二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)過程中，歸納推理和演繹推理聯(lián)手作用，推動(dòng)思維活動(dòng)的展開，使學(xué)生經(jīng)歷了深刻的思維訓(xùn)練和完美的頭腦風(fēng)暴，推理論證能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了實(shí)實(shí)在在的發(fā)展和提升.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?喻平. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[M]. 南寧：廣西教育出版社，2008.