高等數(shù)學(xué)課程中思政教育的融入*

楊瑞龍 梁登星 路云

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院；2.北京科技大學(xué)天津?qū)W院基礎(chǔ)部）

2016年召開的全國高校思想政治工作會議上，習(xí)近平總書記指出“要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面”[1]，這一重要指示為當(dāng)前高校育人工作提供了重要指向。

關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中融入思政元素有很多的討論。例如，文獻(xiàn)[2-5]給出了一些相關(guān)討論。本文討論高等數(shù)學(xué)課程自身的特點(diǎn)，探討高等數(shù)學(xué)課程中思政元素的融入。文章首先分析高等數(shù)學(xué)課堂上開展思政教育的特殊意義，隨后分析了高等數(shù)學(xué)課堂上開展思政教育的優(yōu)勢和劣勢。在此基礎(chǔ)上，分析討論高等數(shù)學(xué)課堂上開展思政教育的可行措施。最后，文章結(jié)合高等數(shù)學(xué)上冊中一節(jié)具體的內(nèi)容“定積分的應(yīng)用”，具體展示高等數(shù)學(xué)課程中引入思政元素的實(shí)際效果。

一、高等數(shù)學(xué)課程開展思政教育的特殊意義

（一）高等數(shù)學(xué)課堂是絕佳的開展思政教育的場所

高等數(shù)學(xué)是大部分大學(xué)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后接觸的第一門數(shù)學(xué)課程，也是涉及專業(yè)最多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一。大一的學(xué)生的世界觀和人生觀還在塑造的過程中，在高等數(shù)學(xué)中，嘗試引入“課程思政”元素，對于培養(yǎng)學(xué)生的愛國情操，奠定學(xué)生思想教育基礎(chǔ)，有著非凡的意義。作為數(shù)學(xué)類的課程，高等數(shù)學(xué)自身也具有優(yōu)美的邏輯性和客觀性。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，本身也會貫穿學(xué)生邏輯思維和科學(xué)素養(yǎng)的塑造。

（二）高等數(shù)學(xué)課堂自身有開展思政教育的需求

作為一門數(shù)學(xué)類的基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容較為抽象。具體表現(xiàn)為課時(shí)緊、內(nèi)容多、知識難，學(xué)生在學(xué)習(xí)中多有畏難情緒和排斥情緒，經(jīng)常抱怨“枯燥”“困難”“不知道有什么用”等，不及格率比其它課程也高。對于高等數(shù)學(xué)來說，如何“上好課”，是一個(gè)尤為重要的課題。高等數(shù)學(xué)課程中引入思政元素，不僅可以對學(xué)生進(jìn)行思想教育，也可以反哺課程本身，將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容具體化，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，抵消學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的抵觸情緒。

二、高等數(shù)學(xué)課程開展思政教育的優(yōu)勢及劣勢

相比較其它課程，高等數(shù)學(xué)課程開展思政教育具有自身的特點(diǎn)。

（一）高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)行思政教育的劣勢

數(shù)學(xué)是一門理性的科學(xué)，是世界客觀規(guī)律的高度抽象。為了內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)往往建立在抽象的符號體系上。這就使得數(shù)學(xué)類課程理論往往比較抽象，與實(shí)際生活缺少直接聯(lián)系，開展思政教育有一定難度。另一方面，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容非常豐富，每節(jié)課的知識密度很高，這也導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)時(shí)間更加珍貴，需要授課教師加入思政元素的思路更加變通。

（二）高等數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行思政教育的優(yōu)勢

高等數(shù)學(xué)課堂同樣也有一些優(yōu)勢。1.授課對象是大一的學(xué)生，處于知識接收的新鮮期，學(xué)生上課投入的熱情和專注度都是很高的；2.大一的學(xué)生的價(jià)值觀還在成形階段，這個(gè)時(shí)間思政教育的效果是最好的；3.由于數(shù)學(xué)是大學(xué)考研的必考科目，各專業(yè)同學(xué)對數(shù)學(xué)相對重視，高等數(shù)學(xué)課堂開展思政教育可能有事半功倍的效果；4.大部分的專業(yè)高等數(shù)學(xué)分上下學(xué)期，共一學(xué)年完成，思政教育比較有連貫性；5.授課對象涉及面積廣，有大量的案例方便教學(xué)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行交叉對比，定期總結(jié)，反思效果。

三、高等數(shù)學(xué)中進(jìn)行課程思政的方法措施分析

高等數(shù)學(xué)中的課程思政建設(shè)，可以沿著如下幾個(gè)方面的思路進(jìn)行：

（一）對接現(xiàn)實(shí)，介紹實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生體會知識的有用性

高等數(shù)學(xué)以微積分為主要內(nèi)容。微積分的內(nèi)容起源于牛頓、萊布尼茲等偉大的數(shù)學(xué)家，并直接催生了第二次工業(yè)革命，在實(shí)際生活生產(chǎn)領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。在課堂中適當(dāng)?shù)亟榻B內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例，有助于拉近學(xué)生和知識的距離，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)內(nèi)容是實(shí)實(shí)在在有用的，不是空中樓閣，而是各門課程的重要基礎(chǔ)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在傳授知識的同時(shí)，教育學(xué)生重視知識的學(xué)習(xí)。目前正值中美貿(mào)易戰(zhàn)升級之際，國家戰(zhàn)略有產(chǎn)業(yè)升級的需求，對高端人才將會有大量缺口。年輕學(xué)子要夯實(shí)基礎(chǔ)，更好地為祖國建設(shè)添磚加瓦。

具體在選擇實(shí)例的時(shí)候，有以下幾個(gè)思路可以參考：

（1）選擇在其它課程或者大學(xué)之前數(shù)學(xué)課上出現(xiàn)過的耳熟能詳?shù)慕Y(jié)論。例如：在講解隱函數(shù)求導(dǎo)的時(shí)候，可以利用它來推導(dǎo)過圓上一點(diǎn)的切線和法線方程，得到“圓上點(diǎn)的法線一定通過圓心”這一在高中數(shù)學(xué)中熟悉的結(jié)論；在講解一元函數(shù)的極值的時(shí)候，通過費(fèi)馬最短原理，推導(dǎo)出“光的折射定律”這一物理學(xué)中著名的結(jié)論；在可降階微分方程一節(jié)中，利用可降階微分方程的求解方法，推導(dǎo)高中熟悉的勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式。

（2）選擇其它學(xué)科中著名的結(jié)論。例如：在導(dǎo)數(shù)的定義中，介紹經(jīng)濟(jì)學(xué)中“邊際”的概念，并解釋經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域經(jīng)典假設(shè)“邊際效應(yīng)遞減”的實(shí)際意義；在方向?qū)?shù)一節(jié)中，利用方向?qū)?shù)介紹測繪領(lǐng)域中著名的等高線的含義；在高斯定理一節(jié)中，利用高斯定理推導(dǎo)物理學(xué)中著名的電通量和磁通量的關(guān)系問題。

（二）講述科學(xué)發(fā)展故事，激勵(lì)同學(xué)們刻苦奮斗

從最早歐幾里得時(shí)代微積分思想的萌芽，到牛頓、萊布尼茲分別獨(dú)立提出微積分學(xué)基本公式，再到貝克萊主教質(zhì)疑牛頓的“流數(shù)術(shù)”進(jìn)而引起第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，最后由阿貝爾、柯西、迪利克雷、黎曼、康托等人完善，形成了目前的微積分體系。高等數(shù)學(xué)整個(gè)課程凝結(jié)了幾代數(shù)學(xué)家的智慧。在授課過程中，可以穿插介紹相關(guān)數(shù)學(xué)家的生平及在微積分完善過程中做的貢獻(xiàn)。進(jìn)行如下幾個(gè)方面的思政教育：

（1）告誡同學(xué)們青年時(shí)代是最容易迸發(fā)創(chuàng)新靈感的，鼓勵(lì)同學(xué)們在最華彩的年紀(jì)要努力學(xué)習(xí)，努力奮斗，不應(yīng)該沉溺于娛樂項(xiàng)目中；

（2）整個(gè)微積分學(xué)科的發(fā)展過程可以稱得上是一部波瀾壯闊的史詩，期間充滿了思想的碰撞，更充滿了思想的接力。對于整個(gè)過程的把握，也是對同學(xué)們一次的精神洗禮，可以培養(yǎng)同學(xué)們科學(xué)思辨的精神，建立起學(xué)生相信科學(xué)的信念；

（3）前輩們的成就造福全人類，這種成就不是個(gè)人掙錢享受所能比的。引導(dǎo)同學(xué)們抵制現(xiàn)在社會上的拜金主義思潮，為了更崇高偉大的理想而奮斗，建立正確的價(jià)值取向。

（三）設(shè)置特殊數(shù)字，挖掘思政元素

在設(shè)置例題的時(shí)候，可以通過嵌入關(guān)鍵數(shù)字的方式，使干巴巴的題目或者知識點(diǎn)和重要的歷史巧妙連接起來，數(shù)字的選取可以選擇在建黨史上有重要意義的紅色年代。例如：高等數(shù)學(xué)“定積分的概念”一節(jié)中會介紹“奇函數(shù)在對稱區(qū)間上定積分為0”的結(jié)論，這個(gè)時(shí)候可以引入積分案例，巧妙的把中國共產(chǎn)黨建黨年份或者中華人民共和國成立年份嵌入到學(xué)習(xí)中。

（四）引入中國古代優(yōu)秀的數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

中國古代有非常豐富的數(shù)學(xué)成就。從遠(yuǎn)古時(shí)期的商高定理（即勾股定理），到楊輝三角，再到祖沖之計(jì)算圓周率，我國數(shù)學(xué)家很長時(shí)間內(nèi)在數(shù)學(xué)的一些領(lǐng)域一直處于世界領(lǐng)先地位。直到明末清初，實(shí)行閉關(guān)鎖國政策，數(shù)學(xué)才逐漸與西方國家拉開距離。在課程中，通過對這些成果的介紹，一方面可以讓同學(xué)們感受古人的智慧。在跟古人神交的過程中，激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣；另一方面也激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，弘揚(yáng)中國文化，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感、培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷，強(qiáng)化學(xué)生的文化自信；此外，也可以教育學(xué)生，落后就要挨打，近代中國的屈辱史，和我國數(shù)學(xué)及科學(xué)的落后是密切相關(guān)的。學(xué)好科學(xué)，才能更好的建設(shè)我們的祖國，讓我們的祖國屹立于世界之林，實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興。

（五）從授課知識點(diǎn)出發(fā)，挖掘辯證唯物主義哲學(xué)的內(nèi)容

從高等數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)出發(fā)，也可以挖掘很多思政元素。例如：在“數(shù)列的極限”一節(jié)，一個(gè)很重要的結(jié)論是等比數(shù)列的極限存在性，即在|q|＜1時(shí)收斂，在|q|＞1時(shí)發(fā)散。這里最重要的是|q|與1的關(guān)系，特別地，我們有。

這個(gè)公式告訴我們，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，只要持之以恒，我們一定可以達(dá)到我們希望達(dá)到的高度；而每天退步一點(diǎn)點(diǎn)，最終我們將一事無成。通過這個(gè)簡單的公式，可以引導(dǎo)同學(xué)們“勿因善小而不為，勿因惡小而為之”的道理，優(yōu)良品質(zhì)要從點(diǎn)滴培養(yǎng)，樹立良好的生活習(xí)慣和價(jià)值觀。

再例如：“方向?qū)?shù)和梯度”一節(jié)，一個(gè)重要的結(jié)論是“當(dāng)二元函數(shù)z=f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)和fy(x,y)，則f(x,y)沿任何一個(gè)方向上的方向?qū)?shù)存在，且可以由fx(x,y)和fy(x,y)線性組合得到”[6]。這體現(xiàn)了毛澤東思想之“矛盾論”中的“主要矛盾”理論，“在復(fù)雜事物的發(fā)展過程中，有許多的矛盾存在，其中必有一種是主要的矛盾，由于它的存在和發(fā)展規(guī)定或影響著其他矛盾的存在和發(fā)展?！痹诒纠?，只要抓住“兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)”這一主要矛盾，其余的方向?qū)?shù)都可以根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)推出來。

四、具體案例：定積分的應(yīng)用

本節(jié)內(nèi)容以高等數(shù)學(xué)上冊“定積分的應(yīng)用”一節(jié)為例，逐一對應(yīng)上一節(jié)中的思政設(shè)計(jì)思路，結(jié)合實(shí)例分析思政元素引入的效果。

（一）思政點(diǎn)1：微元法與阿基米德

介紹微元法的時(shí)候，穿插講解數(shù)學(xué)家阿基米德利用“窮竭法”計(jì)算拋物線面積的故事，同時(shí)介紹阿基米德傳奇的一生。窮竭法最早起源于古希臘數(shù)學(xué)家安提豐，利用窮竭法安提豐嘗試精確計(jì)算圓的面積，并借此推導(dǎo)圓周率的精確值。這幾乎是數(shù)學(xué)界最早的關(guān)于微積分思想的萌芽。利用窮竭法，阿基米德在所著《拋物線求積法》中給出了拋物線弓形面積的定理，即“拋物線弓形的面積，等于對應(yīng)三角形面積的4/3”。這一結(jié)論后來被稱為阿基米德定理[7]。

這個(gè)案例中體現(xiàn)了如下思政設(shè)計(jì)思路：

（1）對接現(xiàn)實(shí)，介紹實(shí)際應(yīng)用：拋物線是同學(xué)們耳熟能詳?shù)钠矫鎴D形，對其弓形面積的計(jì)算，能讓同學(xué)們感覺到定積分學(xué)習(xí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

（2）講述科學(xué)發(fā)展故事：通過介紹物理學(xué)家阿基米德偉大絢爛的一生，鼓勵(lì)同學(xué)們積極進(jìn)取，努力學(xué)習(xí)。

（3）挖掘辯證唯物主義哲學(xué)的內(nèi)容：同學(xué)們一般熟知牛頓與萊布尼茲的故事，會認(rèn)為微積分是近代數(shù)學(xué)的成果。通過安提豐、阿基米德的例子，讓學(xué)生們了解到，微積分的萌芽古而有之，是無數(shù)數(shù)學(xué)家思想精華的結(jié)晶，是無數(shù)人知識積累的過程。微積分的建立不是一蹴而就的，整個(gè)過程體現(xiàn)了馬克思主義哲學(xué)原理中“量變引起質(zhì)變”的原理。

（二）思政點(diǎn)2：利用微元法推導(dǎo)圓的面積公式

圓的面積公式是同學(xué)們耳熟能詳?shù)膬?nèi)容，同學(xué)們在小學(xué)就已經(jīng)學(xué)習(xí)過。但是關(guān)于圓的面積公式的詳細(xì)推導(dǎo)，大家掌握的并不好。這里通過微元法，給出圓的面積公式的推導(dǎo)。此外，給同學(xué)們介紹各個(gè)文明分別在不同時(shí)間獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)了圓的面積公式的故事。

這個(gè)案例中體現(xiàn)了如下的思政元素：

（1）對接現(xiàn)實(shí)，介紹實(shí)際應(yīng)用：圓的面積公式是大家在中小學(xué)熟知的結(jié)論，圓的面積公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了微元法的實(shí)用價(jià)值。

（2）講述科學(xué)發(fā)展故事：全球各個(gè)文明獨(dú)立發(fā)現(xiàn)圓的面積公式，體現(xiàn)了科學(xué)精神的普適性。借此鼓勵(lì)同學(xué)們投身科研，為人類進(jìn)步做出貢獻(xiàn)。

（三）思政點(diǎn)3：立體體積與“祖暅原理”

在“平行截面面積已知的立體的體積”部分，引入“祖暅原理”并介紹祖沖之和祖暅父子的成就和崇高地位。祖暅原理是中國古代著名數(shù)學(xué)家祖暅提出的，在與其父祖沖之合著的著作《綴術(shù)》中，祖暅稱“緣冪勢既同，則積不容異”。利用祖暅原理，祖暅計(jì)算了牟合方蓋的體積，進(jìn)而得到了球體體積的計(jì)算公式[8]。事實(shí)上，祖暅原理是“定積分的應(yīng)用”中“計(jì)算已知截面面積的立體的體積”的一個(gè)特殊推論。值得一提的是，祖暅原理在西方被稱為卡瓦列里原理，是17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里最先提出來的。而祖暅原理則在公元6世紀(jì)就被提出了。

這個(gè)案例中用到的思政思路有：

（1）對接現(xiàn)實(shí)，介紹實(shí)際應(yīng)用：介紹祖暅原理并推導(dǎo)球體體積公式這一高中時(shí)候熟悉的結(jié)論，讓學(xué)生能更深切的體會到高等數(shù)學(xué)的實(shí)用性。（2）引入中國古代優(yōu)秀的數(shù)學(xué)成就：通過對比中外對于祖暅原理提出時(shí)間，可以極大地激發(fā)同學(xué)們的愛國熱情。勉勵(lì)同學(xué)們要努力奮斗，增強(qiáng)文化自信，為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興奉獻(xiàn)自己的力量。

(四)思政點(diǎn)4：托里拆利喇叭

托里拆利喇叭是數(shù)學(xué)史上一個(gè)很著名的悖論，最早源于數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家托里拆利提出的思想實(shí)驗(yàn)。托里拆利是著名物理學(xué)家伽利略的學(xué)生兼學(xué)術(shù)助手。托里拆利提出，把定義在[1,+∞)的函數(shù)圖像沿x軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可以得到一個(gè)具有無窮長度的立體形狀。由于其形狀類似喇叭，因此被稱為“托里拆利喇叭”。

容易看出，這是一個(gè)典型的旋轉(zhuǎn)體。利用微元法，計(jì)算出托里拆利喇叭的體積和表面積，由如下兩個(gè)反常積分計(jì)算

圖1 托里拆利喇叭

可以發(fā)現(xiàn)，該立體擁有有限的體積，但是卻擁有無限的面積。這就產(chǎn)生了一個(gè)與我們常識不符合的結(jié)論：假如一個(gè)油漆工要用油漆裝滿整個(gè)托里拆利喇叭，只需要有限的油漆即可；但是如果他想將托里拆利喇叭的表面刷滿，則需要無窮的油漆。

這個(gè)案例中使用的思政思路是：通過講解數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)悖論，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的思辨精神，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，抵制迷信思潮。

五、結(jié)語

全面實(shí)施課程思政，是目前高等教育界的共識。本文探討了如何有效地在高等數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行帶有課程思政元素的課程設(shè)計(jì)，一方面為了推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，另一方面也是為了提升高等數(shù)學(xué)課程的趣味性、加深學(xué)生對于知識的理解，促進(jìn)學(xué)生提升知識并形成自主的思維能力。