具有對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)和分?jǐn)?shù)階p拉普拉斯算子的拋物方程解的爆破性質(zhì)?

時(shí)蒙蒙，王 建

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

本文研究下列帶有分?jǐn)?shù)階p拉普拉斯算子和對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的拋物方程的初邊值問題

x∈Ω,t>0,

(1)

u(x,t)=0,x∈RN〗Ω,t>0,

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω,

(3)

分?jǐn)?shù)階Sobolev空間和分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的有關(guān)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[1-2]。在本文中，我們假設(shè)，

近年來，各種帶有分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和非局部算子的模型被廣泛研究。這些算子廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域，例如金融、流體動(dòng)力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)、圖像處理等。在文獻(xiàn)[3]中, 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯變換被認(rèn)為是穩(wěn)定的徑向?qū)ΨQLevy過程的無窮小生成器。Laskin在文獻(xiàn)[4]中推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)薛定諤方程，這是將費(fèi)曼路徑積分從布朗運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展到量子力學(xué)路徑的結(jié)果。更多涉及分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的研究成果可參考文獻(xiàn)[5-8]。

Fu和Pucci[9]研究了下列含有分?jǐn)?shù)階的拋物方程的Dirichlet問題

作者引入了位勢(shì)阱族，利用Galerkin近似方法證明了0

Pan等[10]研究了下列涉及分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的退化基爾霍夫型拋物方程

他們利用Galerkin方法和位勢(shì)阱理論得到了解的全局存在結(jié)果。Yang和Tian等[11]針對(duì)上述模型做了更深入的研究，借助位勢(shì)阱族和凹凸性方法，分別討論了次臨界、臨界和超臨界初始能量下解的有限時(shí)間爆破結(jié)果，并得到了低和高初始能量下的爆破時(shí)間的上界。特別的，Zhang和Xiang等[12]考慮了p=2時(shí)的情況，利用Galerkin方法和微分不等式技巧研究了非負(fù)解的局部存在和爆破條件，并得到了爆破時(shí)間的上下界。

Yang和Xiang[13]考慮了下列非局部基爾霍夫型問題

通過合理的假設(shè), 他們得到了解的消失和非消失結(jié)果, 并推廣Gagliardo-Nirenberg不等式得到了更準(zhǔn)確的解的衰減估計(jì)。

Zhou和Ding[14]考慮了下列含有對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的非退化基爾霍夫型問題

他們得到了在適當(dāng)假設(shè)條件下解的全局存在、有限爆破和爆破時(shí)間上下界的結(jié)果, 并考慮了基態(tài)解的存在性以及一般全局解的漸進(jìn)行為。Yang和Xiang[15]考慮了上述模型的退化情形, 在位勢(shì)阱理論的基礎(chǔ)上, 給出了高初始能量J(u0)>d條件下在無窮遠(yuǎn)處消失的全局解的存在性以及有限時(shí)間爆破解的存在性。

Boudjeriou[16]考慮了具有分?jǐn)?shù)階p拉普拉斯算子和對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的拋物方程的Dirichlet問題

(4)

Boudjeriou利用Galerkin近似的方法得到了解的局部存在性，結(jié)合位勢(shì)阱理論，建立了解的全局存在結(jié)果，給出了全局解的衰減速度估計(jì)。并利用微分不等式技巧得到了適當(dāng)假設(shè)條件下局部解在任意負(fù)初始能量下的有限爆破結(jié)果。此方程恰為方程(1)的q=p的特殊情形。

1 預(yù)備知識(shí)

首先回顧一下分?jǐn)?shù)Sobolev空間和分?jǐn)?shù)階p拉普拉斯算子的相關(guān)內(nèi)容。

設(shè)Ω?RN是具有Lipschitz邊界的開集，對(duì)任意的p∈(1,∞)和任意的0

Ws,p(Ω)={u∈Lp(Ω),u可測(cè)且[u]s,p<∞}，

其中(s,p)-Gagliardo半范數(shù)[u]s,p定義為

為了得到問題(1)～(3)的弱解的存在性，我們考慮Ws,p(Ω)的子空間

對(duì)于實(shí)數(shù)0

(5)

定義泛函

N={u∈X0|I(u)=0}，

定義位勢(shì)阱N+和阱外集合N-如下

N+={u∈X0|J(u)0}，

N_={u∈X0|J(u)

其中勢(shì)阱深度

d=inf{J(u)|u∈X0,I(u)=0}。

顯然，

(6)

接下來給出問題(1)～(3)弱解的定義。

其中

Ks,p(u,φ)=

(φ(x)-φ(y))dydx。

則稱u是問題(1)～(3)在Ω×(0,T*)上的一個(gè)弱解。

為了得到本文主要結(jié)論，需要下列引理。

引理1[17]設(shè)0

其中，γ>0。如果F(0)>0，F(xiàn)′(0)>0，則

并且當(dāng)t→T時(shí)，F(xiàn)(t)→∞。

引理2設(shè)u∈X0，則有下列結(jié)論成立

(i)0<[u]s,p0，

(ii)I(u)<0，則[u]s,p>R，

(iii)I(u)=0，則[u]s,p≥R，

其中，

若0<[u]s,p0。同理可證結(jié)論(ii)和(iii)成立。

引理3[14]若J(u0)≤d，則

(i)當(dāng)u0∈N+時(shí),對(duì)任意的t∈[0,T)，u(t)∈N+，

(ii)當(dāng)u0∈N-時(shí),對(duì)任意的t∈[0,T)，u(t)∈N-。

其中，T為解的最大存在時(shí)間。

引理4設(shè)u∈X0，I(u)<0，則存在λ*∈(0,1)，使得I(λ*u)=0。

證明 由I(u)的定義可知，

(7)

另一方面，

引理5設(shè)u∈X0，I(u)<0，則I(u)

證明 由引理4可知，存在λ*∈(0,1)，使得I(λ*u)=0。令

g(λ)=qJ(λu)-I(λu)=

則

這意味著g(λ)關(guān)于λ>0是嚴(yán)格增的。因此由λ*∈(0,1)，可得g(1)>g(λ*)，即

qJ(u)-I(u)>qJ(λ*u)-I(λ*u)=qJ(λ*u)≥qd，

最后一個(gè)不等式可由d的定義得到。

2 主要結(jié)論及證明

定理1(解的局部存在性)設(shè)u0∈X0，則存在一個(gè)正數(shù)T*，使得問題(1)～(3)在Ω×(0,T*)上存在一個(gè)弱解u(x,t)滿足定義1。而且對(duì)幾乎處處的t∈[0,T*]，u(x,t)滿足能量不等式

(8)

定理2若J(u0)≤d，I(u0)<0,u0∈X0，u=u(t)是問題(1)～(3)的一個(gè)解，則u(t)在有限時(shí)刻T爆破，即

此外，

(i)若J(u0)

證明 首先，證明爆破發(fā)生。

(a)J(u0)

則有

M″(t)=2(u,ut)=-2I(u)。

由(6)和(8)式可得

所以，

M″(t)=-2I(u)≥

其中C2由(5)式定義。另外，由

可得

2qJ(u0)M(t)≥

2qJ(u0)M(t)。

因?yàn)镸″(t)=-2I(u)>0，所以

因此

2qJ(u0)M(t)。

由引理5，當(dāng)0≤t<∞時(shí)，有

-2I(u)>2q(d-J(u))。

所以

M″(t)=-2I(u)>2q(d-J(u))=C1>0。

從而

M′(t)≥C1t+M′(0)>C1t；

即

所以存在t0≥0滿足

因此對(duì)任意的t0≤t<∞，

取t1為初始時(shí)刻，則重復(fù)(a)的過程仍可得到爆破結(jié)果。

其次，估計(jì)爆破時(shí)間的上界。

設(shè)u(t)是問題(1)～(3)滿足J(u0)

其中α，β為待定正數(shù)。則對(duì)t∈[0,T)，

這意味著，

另外，

F″(t)=-2I(u)+2β>2q(d-J(u))+2β≥

2q(d-J(u0))+2qψ2(t)+2β。

由Schwartz不等式可知，對(duì)t∈[0,T)，

所以，

從而，

4F(t)(ψ2(t)+β)。

所以，我們有，當(dāng)對(duì)t∈[0,T)時(shí)，

F(t)(2q(d-J(u0))+2qψ2(t)+2β)-

2qF(t)(ψ2(t)+β)=

F(t)(2q(d-J(u0))-2(q-1)β)。

由計(jì)算可得，

最后，估計(jì)爆破時(shí)間的下界。

設(shè)u(t)是問題(1)～(3)滿足J(u0)

則

f(T)=∞,

(9)

且當(dāng)t∈[0,T)時(shí)，

f′(t)=-I(u)=

即

(10)

令

所以，當(dāng)t∈[0,T)時(shí)，

(11)

(12)

對(duì)(12)式在(0,t)上積分可得，

(13)

在(13)式中令t→T，結(jié)合(9)式可得

此外，對(duì)(12)式在(t,T)上積分可得

定理3若J(u0)<0，u=u(t)是問題(1)～(3)的弱解，則u(t)在有限時(shí)間T爆破,爆破時(shí)間上界為

另外，

比較φ′(t)和ψ(t)，易得

φ′(t)=2(u,ut)=-2I(u)=

(14)

又ψ(0)=-2qJ(u0)>0，ψ′(t)≥0，所以對(duì)于任意的t∈[0,T),有ψ(t)>0。

因?yàn)镴(u0)<0，I(u0)<0，因此由定理2可知，對(duì)于任意的t∈[0,T)，φ(t)>0。

又因?yàn)?/p>

結(jié)合(14)式可得，

即

(15)

對(duì)(15)式在(0,t)上積分可得

從而有

(16)

對(duì)(16)式在(0,t)上積分可得

令t→T，可得

此外，對(duì)(16)式在(t,T)上積分可得

而且，對(duì)于任意的t∈[0,T)，u(t)的L2(Ω)范數(shù)呈指數(shù)形式增長，即

其中

證明 首先，證明爆破發(fā)生。

由(6)式和假設(shè)條件可知，

下證對(duì)任意的t∈[0,T)，I(u)<0。采取反證法。假設(shè)存在t0∈(0,T)，使得I(u(t0))=0且I(u(t))<0，對(duì)任意的t∈[0,t0)。因?yàn)閷?duì)于t∈[0,t0)，都有

(17)

另一方面，

J(u(t0))≤J(u0),

與(17)式矛盾。從而對(duì)任意的t∈[0,T)，I(u)<0。

下證對(duì)任意的t∈[0,T)，我們只需考慮J(u)≥0的情形。事實(shí)上，若存在t0滿足J(u(t0))<0，則將t0作為初始條件，由定理3可知解在有限時(shí)間發(fā)生爆破。當(dāng)J(u)≥0時(shí)，利用反證法，假設(shè)解是全局存在的。令

則

此外，由

和J(u)≥0，可得當(dāng)t≥0時(shí)，

(18)

所以

(19)

當(dāng)t充分大時(shí)，(19)式不再成立，因此假設(shè)不成立，從而解在有限時(shí)間爆破。

其次，估計(jì)爆破時(shí)間上界。

由前述證明可知，最大存在時(shí)間T<∞。對(duì)任意的T1∈(0,T)，構(gòu)造輔助函數(shù)

其中，α和β為待定正數(shù)。對(duì)任意的t∈[0,T1]，計(jì)算可得

G′(0)=2βα>0，

G″(t)=-2I(u)+2β=

因此，對(duì)任意的t∈[0,T1]，

G(t)≥G(0)>0。

則由定理2可得，對(duì)任意的t∈[0,T1]，

所以

因此，

由引理1可得

令T1→T可得

取α充分大滿足

所以

最后，估計(jì)解的增長速度。

這意味著,

其中，

3 結(jié)語