數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的模型思想的教學(xué)

王永春

【摘 要】本文對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的本質(zhì)、路程模型、教學(xué)策略進(jìn)行了分析和概括，結(jié)合案例進(jìn)行解讀。與模型思想相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等層層遞進(jìn)，構(gòu)成了模型思想的數(shù)學(xué)本質(zhì)。構(gòu)建實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)和深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略，重點(diǎn)體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)、整體自主建構(gòu)、掌握重要思想方法、培養(yǎng)核心素養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考，形成可持續(xù)發(fā)展的自學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 分析法與綜合法 核心素養(yǎng)

一、對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)

如果說(shuō)抽象形成了數(shù)學(xué)概念和關(guān)系，推理形成了數(shù)學(xué)命題和結(jié)論，那么數(shù)學(xué)建模就是形成了數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，經(jīng)過(guò)推理和運(yùn)算，對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)、決策和控制，并且要經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實(shí)踐。

符號(hào)化思想更注重?cái)?shù)學(xué)抽象和符號(hào)表達(dá)，模型思想則更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題，尤其是解決現(xiàn)實(shí)中的各種問(wèn)題。當(dāng)然，把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過(guò)程也是一個(gè)抽象和推理的過(guò)程。

2011年的數(shù)學(xué)課標(biāo)在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)”。并在教材編寫建議中提出“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)。這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)‘問(wèn)題情境─建立模型─求解驗(yàn)證’的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)”。

這就可以理解為：在小學(xué)階段，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問(wèn)題的核心。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)將把模型思想改為模型意識(shí)，把小學(xué)和初中階段的模型思想要求進(jìn)行水平區(qū)分。把模型意識(shí)的內(nèi)涵描述為：主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。認(rèn)為模型意識(shí)有利于增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。同時(shí)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的過(guò)程，感悟加法模型和乘法模型的意義。讓學(xué)生感受字母表達(dá)的一般性，以及通過(guò)字母的運(yùn)算或推理得到結(jié)論的一般性，形成與發(fā)展符號(hào)意識(shí)和推理意識(shí)，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，形成模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

二、模型思想的教學(xué)

經(jīng)過(guò)抽象后用符號(hào)和圖形表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式，是模型思想與符號(hào)化思想的共同之處，但是模型思想更重視如何創(chuàng)設(shè)真情境、經(jīng)過(guò)分析抽象建立模型，更重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究中的各種問(wèn)題。

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的探究過(guò)程，這個(gè)過(guò)程大致有以下幾個(gè)步驟：（1）理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確要解決什么問(wèn)題，屬于什么模型系統(tǒng);（2）把復(fù)雜的情境經(jīng)過(guò)分析和簡(jiǎn)化，確定必要的數(shù)據(jù);（3）建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖形;（4）解答問(wèn)題;（5）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

聯(lián)系真生活、創(chuàng)設(shè)真情境、解決真問(wèn)題，是未來(lái)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)改革的方向。新課標(biāo)將強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的過(guò)程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，形成模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

傳統(tǒng)教材應(yīng)用題的編排結(jié)構(gòu)是與四則運(yùn)算、混合運(yùn)算相匹配的，包括有連續(xù)兩問(wèn)的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較、多個(gè)問(wèn)題構(gòu)成的問(wèn)題串，這些都是很好的傳統(tǒng)做法和經(jīng)驗(yàn)，是知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。但是，這種結(jié)構(gòu)往往是線性的。如果以數(shù)學(xué)模型為核心進(jìn)行問(wèn)題解決的變式練習(xí)，構(gòu)建問(wèn)題鏈，從而形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，可以最大限度地整合豐富多彩的問(wèn)題。

我們主張加強(qiáng)分析法與綜合法在模型思想教學(xué)中的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)中，分析法一般被理解為：在證明和解決問(wèn)題時(shí)，從結(jié)論出發(fā)，一步一步地追溯到產(chǎn)生這一結(jié)論的條件是已知的為止，是一種“執(zhí)果索因”的分析法。綜合法一般被理解為：在證明和解決問(wèn)題時(shí)，從已知條件和某些定義、定理等出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算或推理，最終證明結(jié)論或解決問(wèn)題，是一種“由因?qū)Ч钡木C合法。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題解決，可以由問(wèn)題出發(fā)逐步逆推到已知條件，這是分析法;從已知條件出發(fā)，逐步求出所需答案，這是綜合法。再如分析法和綜合法在中學(xué)數(shù)學(xué)作為直接證明的基本方法，應(yīng)用比較普遍。因此，分析法和綜合法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為普遍的相互依賴、相互滲透的思想方法。

分析法從問(wèn)題出發(fā)逐步逆推，便于把握探索的方向;綜合法的思維具有發(fā)散性，能夠提供多種策略。簡(jiǎn)單的問(wèn)題，往往直接應(yīng)用綜合法便可解決;復(fù)雜的問(wèn)題，往往需要結(jié)合運(yùn)用分析法和綜合法。把二者結(jié)合起來(lái)，便于根據(jù)已知條件提供向問(wèn)題靠攏的策略，使問(wèn)題盡快得到解決。

我們要思考和研究一個(gè)現(xiàn)象：為什么在三年級(jí)時(shí)問(wèn)題解決就出現(xiàn)了兩極分化的現(xiàn)象？主要原因是創(chuàng)設(shè)聯(lián)系實(shí)際的豐富情境，使得問(wèn)題比較復(fù)雜，學(xué)生沒(méi)有形成分析問(wèn)題的方法，無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的模仿來(lái)解決問(wèn)題。為了突破解決問(wèn)題的難點(diǎn)，教師在教學(xué)過(guò)程中采取了各種辦法，數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、畫圖列表等，但是以上的策略都不是本質(zhì)的方法，最重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用分析法去執(zhí)果索因（順藤摸瓜），根據(jù)題目中要解決的問(wèn)題，逆向思考，尋找需要的條件。下面我們以路程模型為例，論述有關(guān)的概念、關(guān)系、模型、思想方法及教學(xué)策略。

物體的物理屬性有很多：線段的長(zhǎng)短是距離、面的大小是面積、空間的大小是體積、輕重是質(zhì)量、冷熱是溫度、運(yùn)動(dòng)的快慢是速度、價(jià)值的大小是價(jià)格（單價(jià)）等。以上這些物理屬性的計(jì)量大體上可以分為兩類：一類是用一個(gè)單位量去計(jì)量，如長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量、溫度;另一類是必須用兩個(gè)量進(jìn)行計(jì)量，比如物體運(yùn)動(dòng)的快慢，單獨(dú)用時(shí)間度量不行，單獨(dú)用距離度量也不行，必須得用距離和時(shí)間的比值來(lái)度量運(yùn)動(dòng)的快慢。

我們對(duì)生活的地球空間和星球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行度量，那就涉及距離和時(shí)間。關(guān)于路程、時(shí)間、速度，路程是距離的累加，距離是對(duì)空間事物位置關(guān)系的度量結(jié)果;時(shí)間是對(duì)事物運(yùn)動(dòng)的過(guò)程及先后關(guān)系的度量結(jié)果;速度是路程與時(shí)間的比值，或者是物體單位時(shí)間運(yùn)動(dòng)的路程，也可以理解為用時(shí)間去度量空間。也就是說(shuō)，速度是一個(gè)復(fù)合量，是由時(shí)間和路程（空間）兩個(gè)量生成的，時(shí)間是一個(gè)比較抽象的概念，而速度是一個(gè)更加抽象的概念。求速度是等分除，用時(shí)間去度量路程，把路程平均分成若干（時(shí)間的量數(shù)）份，每一份就是速度。已知路程與速度，求時(shí)間，是包含除，用速度去度量路程，看路程里包含多少個(gè)速度（速度的量數(shù)），度量結(jié)果就是時(shí)間。

要理解速度，首先要理解時(shí)間的概念及其重要性。時(shí)間源于地球、太陽(yáng)、月亮的不停運(yùn)動(dòng)。地球自轉(zhuǎn)一圈，把這個(gè)過(guò)程平均分成24份，每一份就是1小時(shí);再把1小時(shí)平均分成60份，每一份就是1分鐘;再把1分鐘平均分成60份，每一份就是1秒鐘。時(shí)間為什么重要呢？因?yàn)榫臀覀兩畹牡厍蚨?，人類和其他生物甚至包括地球本身都是有壽命的，人類的壽命也是非常有限的，中?guó)人的平均壽命目前大約是77歲。時(shí)間就是生命，時(shí)間就是速度，時(shí)間就是力量。我們要用時(shí)間去度量生命，從而珍惜時(shí)間。

速度就是物體單位時(shí)間運(yùn)動(dòng)的路程，學(xué)生1秒走多少米，1分走多少米，1小時(shí)走多少米（千米）;再擴(kuò)大到自行車、電動(dòng)車、輪船、汽車、高鐵、飛機(jī)、火箭、衛(wèi)星、月球繞地球、地球繞太陽(yáng)、光線等，由小到大理解速度。理解概念是理解和建立模型（結(jié)構(gòu)）的基礎(chǔ)。

我們還可以把速度與單價(jià)進(jìn)行類比，單價(jià)是單位數(shù)量或者質(zhì)量的物品的錢數(shù)，例如，1本書10元，寫作10元/本;1千克蘋果12元，寫作12元/千克。還可以與工作效率進(jìn)行類比，寫作文每小時(shí)寫500字，寫作500字/時(shí);鋪路機(jī)每小時(shí)鋪路100米，寫作100米/時(shí)。無(wú)論是單價(jià)、工作效率，還是速度，都是單位1的量所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)量的大小。

很多專家反對(duì)解答應(yīng)用題時(shí)“記類型、套公式”。怎么理解這句話呢？我們反對(duì)的是“死記硬背”，基本的公式當(dāng)然需要記住，否則沒(méi)有思維材料和載體，但是要在理解的基礎(chǔ)上記憶，理解了一個(gè)模型，可以舉一反三，以此類推。比如路程=速度×?xí)r間，學(xué)生理解了這個(gè)模型的基本概念、乘法的意義、數(shù)量關(guān)系，可以做到知二求一。這樣任何一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題都可以一步一步分析解決，而不必關(guān)心什么情境、什么交通工具。如前文所述，通過(guò)變式練習(xí)，形成問(wèn)題串，有利于學(xué)生完整地認(rèn)識(shí)模型，形成模塊結(jié)構(gòu)。

以路程=速度×?xí)r間，用符號(hào)表示為s=vt為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，其中a是常數(shù)。

上圖中s=vt及其基本變式v=s÷t、t=s÷v構(gòu)成三角結(jié)構(gòu)，然后分別向三個(gè)方向變化，各自改變一個(gè)變量或兩個(gè)變量產(chǎn)生很多變式，這些關(guān)系式基本涵蓋了小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)時(shí)間、速度、路程的各種關(guān)系式。這樣在解決所有相關(guān)問(wèn)題時(shí)不必過(guò)多關(guān)注情境和交通工具，把思維主要集中在模型上。

例1 甲地到乙地原來(lái)運(yùn)行的是動(dòng)車，上午8時(shí)出發(fā)中午12時(shí)到達(dá)，運(yùn)行路程是700千米。現(xiàn)在運(yùn)行的是高鐵，每小時(shí)比動(dòng)車快105千米，上午8時(shí)從甲地出發(fā)，幾時(shí)到達(dá)乙地？

我們用分析法解決問(wèn)題，從問(wèn)題出發(fā)，一步一步推導(dǎo)出需要的信息。

分析：（1）此題是生活中的實(shí)際問(wèn)題，是關(guān)于路程=速度×?xí)r間的模型，從表面上看，信息豐富而復(fù)雜，實(shí)際上要解決的問(wèn)題是求高鐵的運(yùn)行時(shí)間，t=s÷v。

（2）不管是動(dòng)車還是高鐵，題目中的s不變。

（3）高鐵的速度沒(méi)有直接給出，跟動(dòng)車的速度有關(guān)，需要求動(dòng)車的速度。

（4）根據(jù)題中的信息可知，動(dòng)車的速度 v=700 ÷4=

175（千米/時(shí)），a=105千米/時(shí)。

（5）所以高鐵的速度=105+175=280（千米/時(shí)），則t1=700÷280=2.5（時(shí)）。

（4）高鐵8時(shí)出發(fā)，10時(shí)30分到達(dá)。

例2 甲地到乙地的鐵路最早運(yùn)行的是蒸汽機(jī)火車，上午8時(shí)出發(fā)，下午6時(shí)到達(dá)，運(yùn)行路程是700千米。隨著機(jī)車技術(shù)的不斷進(jìn)步，先從蒸汽機(jī)火車升級(jí)成內(nèi)燃機(jī)火車，每小時(shí)比蒸汽機(jī)火車快30千米;然后又升級(jí)為動(dòng)車，每小時(shí)比內(nèi)燃機(jī)火車快75千米;現(xiàn)在升級(jí)為高鐵，每小時(shí)比動(dòng)車快105千米。高鐵上午8時(shí)從甲地出發(fā)，幾時(shí)到達(dá)乙地？

此題的分析思路不變，從問(wèn)題出發(fā)，推導(dǎo)需要的信息，先后把高鐵的速度與動(dòng)車的速度、動(dòng)車的速度與內(nèi)燃機(jī)火車的速度、內(nèi)燃機(jī)火車的速度與蒸汽機(jī)火車的速度進(jìn)行關(guān)聯(lián)和轉(zhuǎn)化。難度沒(méi)有什么變化，只要掌握了分析法等推理方法即可解答。

700÷10=70（千米/時(shí)），70+30=100（千米/時(shí)），100+75=175（千米/時(shí)），175+105=280（千米/時(shí)），700÷280=2.5（時(shí)），故10時(shí)30分到達(dá)乙地。

我們?cè)賮?lái)研究一道古代詩(shī)詞中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例3 李白的著名詩(shī)句“朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還。兩岸猿聲啼不住，輕舟已過(guò)萬(wàn)重山。”描寫的是李白在流放途中突然得知被赦免而即興創(chuàng)作的一首七言絕句。白帝城位于重慶市奉節(jié)縣，江陵即現(xiàn)在的荊州市，兩地的水路大約長(zhǎng)340千米，千里江陵是一種夸張的說(shuō)法，形容路途遙遠(yuǎn)。假設(shè)船順流速度為20千米/時(shí)，如果李白早晨6：00出發(fā)，“一日還”是真的嗎？

分析：根據(jù)給定的信息，從早晨6：00到當(dāng)天晚上12：00的時(shí)間是18小時(shí)，要想判斷當(dāng)天能否到達(dá)江陵，就是要求出船行駛的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間如果小于或者等于18小時(shí)，就是真的。

340÷20=17（時(shí)）

17<18，所以“一日還”是真的。