皮亞杰認知發(fā)展理論在“圓的面積”教學(xué)的應(yīng)用

陳巧玲

南寧師范大學(xué)初等教育學(xué)院 （廣西南寧市 530000）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“課標”）對“圓”這一內(nèi)容的要求最早出現(xiàn)在第二學(xué)段，具體目標為：通過觀察、操作了解圓的特征、會使用圓規(guī)畫圓、探索并掌握圓的周長和面積公式。在認識圓的面積之前，學(xué)生已經(jīng)熟悉半徑的定義，也知道如何使用圓規(guī)畫圓。根據(jù)課標的要求，實際教學(xué)活動中要以實踐活動引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，加強學(xué)生動手操作、自主探索的能力，在探求知識的同時，引導(dǎo)學(xué)生體會和掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，同時教師合理用好生活素材，凸顯其教學(xué)價值。結(jié)合課標要求和李曉梅對圓的教學(xué)建議，本文總結(jié)出“圓的面積”教學(xué)可以分為四個部分：即畫圓環(huán)節(jié)、表達環(huán)節(jié)、探索環(huán)節(jié)和總結(jié)環(huán)節(jié)。從心理學(xué)角度來說，這四個教學(xué)環(huán)節(jié)是符合皮亞杰認知發(fā)展理論的，通過整理文獻發(fā)現(xiàn)，皮亞杰認知發(fā)展理論曾被廣泛應(yīng)用在小學(xué)數(shù)學(xué)不同知識點上，比如金軒竹根據(jù)皮亞杰認知發(fā)展理論將小學(xué)生對小學(xué)數(shù)學(xué)速度概念的理解與認知階段進行劃分，又比如章勤瓊認為小學(xué)生對分數(shù)不同意義的理解是符合皮亞杰認知發(fā)展規(guī)律的。但是皮亞杰認知發(fā)展理論在對小學(xué)數(shù)學(xué)“圓的面積”教學(xué)研究的理論審視較少。鑒于此，本文將在認知理論的基礎(chǔ)上，提出針對小學(xué)數(shù)學(xué)“圓的面積”教學(xué)的有效策略。

1 皮亞杰認知發(fā)展理論的主要觀點

根據(jù)皮亞杰認知發(fā)展理論，皮亞杰將兒童的認知發(fā)展劃分為四個階段：感覺運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段。皮亞杰認知發(fā)展理論對各個年齡階段兒童的認知發(fā)展能力做了一個階段性的劃分，得出不同年齡階段兒童的認知發(fā)展水平現(xiàn)狀，在這里可以將其看作是一個學(xué)習(xí)者能獨立達到的水平。人教版關(guān)于“圓”的內(nèi)容安排在六年級上冊，根據(jù)皮亞杰認知發(fā)展理論，這一時段的兒童處于具體運算階段向形式運算階段的過渡，布魯納的結(jié)構(gòu)主義理論認為，在這一階段，如果我們向兒童提供具有挑戰(zhàn)性且合適的機會，也可以引導(dǎo)學(xué)生智力發(fā)展，激勵他向下一階段發(fā)展，因此在實際教學(xué)中，教師可以把皮亞杰認知發(fā)展過程特點與教學(xué)過程進行對應(yīng)，本文以“圓的面積”教學(xué)為例，根據(jù)皮亞杰認知發(fā)展理論將教學(xué)過程劃分為四個階段：感知階段（畫圓環(huán)節(jié)）-語言表達階段（表達環(huán)節(jié)）-具體操作階段（探索環(huán)節(jié)）-總結(jié)驗證階段（總結(jié)環(huán)節(jié)）。

2 “圓的面積”認知發(fā)展階段的劃分

2.1 感知階段——感知半徑與圓面積之間的關(guān)系

感知運動階段對應(yīng)的兒童年齡為0～2 歲，該階段的嬰兒靠感覺與動作認識周圍的世界。即使學(xué)生的認知發(fā)展到了具體運算階段感知，不可否認的是在實際教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中，感知對學(xué)生知識的建構(gòu)是必不可少的，而這一特征正是對應(yīng)了我們教學(xué)中導(dǎo)入環(huán)節(jié)的感知階段，在這一環(huán)節(jié)里教師需要聯(lián)系學(xué)生的生活或?qū)嵺`提供一定的條件，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識提供一定的感知性材料，幫助學(xué)生更好地溝通新知與圖式中已有的觀念，促進學(xué)生對新知的理解。

比如在“圓的面積”這一課中，我們需要提供一定的材料讓學(xué)生感知半徑與圓的面積之間的關(guān)系，雖然很多教材在“圓的面積”這一子單元前會傳授學(xué)生關(guān)于半徑的關(guān)系，但是在學(xué)生正式學(xué)習(xí)圓的面積公式之前，教師卻鮮少提供機會讓學(xué)生感知圓的面積和半徑之間的關(guān)系，因此，本文認為在教授“圓的面積“這一課時，教師需要通過一定的手段讓學(xué)生理解半徑與圓的面積之間的關(guān)系，比如教師可以讓學(xué)生用圓規(guī)在紙上想辦法畫出不同大小的圓，并探討圓規(guī)該如何調(diào)整才能劃出更大的圓等問題，一步步地引導(dǎo)學(xué)生直觀地感受半徑與圓的面積之間的關(guān)系。

2.2 語言表達階段——引導(dǎo)學(xué)生表達出半徑與圓之間的關(guān)系

皮亞杰的認知發(fā)展理論認為處于前運算階段的兒童經(jīng)歷了通過感知運動階段后，能熟練地運用符號表征事物，并用符號從事簡單的思考活動。同樣的，課堂教學(xué)在導(dǎo)入階段讓學(xué)生感知了半徑和圓的面積關(guān)系后，下一個階段即表達階段就要引導(dǎo)學(xué)生用語言或者符號等方式表達出半徑與圓之間的關(guān)系。

心理學(xué)家霍華德·加德納認為個體具有八種不同的智力，分別是：音樂智力、身體運動智力、邏輯數(shù)學(xué)智力、語言智力、空間視覺智力、人際交往智力、自我認知智力，其中語言智力指的是個體生成和使用語言的技能，而邏輯數(shù)學(xué)智力代表了學(xué)生進行問題解決和科學(xué)思考時的技能，每種智力相對獨立但一起發(fā)揮作用，也就是說在培養(yǎng)學(xué)生問題解決問題、發(fā)展學(xué)生智力的同時，不能只關(guān)注學(xué)生邏輯數(shù)學(xué)智力的發(fā)展，也應(yīng)該結(jié)合語言智力等能力的作用。因此，我們在進行“圓的面積”教學(xué)時，不能僅僅通過教師的講授或者學(xué)生的操作幫助學(xué)生理解圓的半徑和圓的面積之間的關(guān)系，教師應(yīng)該采用“適中的問題”對學(xué)生進行提問，引導(dǎo)學(xué)生說出半徑與圓的面積之間的關(guān)系：半徑越大，圓的面積越大。這一結(jié)論就是從上一個環(huán)節(jié)中畫圓的步驟中得出來的，這個結(jié)論不能只是由教師直接告訴學(xué)生，而是應(yīng)該讓學(xué)生通過實實在在的操作總結(jié)出來的。關(guān)于什么是“適中的問題”，布魯納認為“適中的問題”就是既能符合學(xué)生當(dāng)下的認知，但是又能促進學(xué)生前進的難易適當(dāng)?shù)膯栴}。

2.3 操作環(huán)節(jié)——運用“轉(zhuǎn)化”的策略推導(dǎo)面積公式

皮亞杰認為處于具體運算階段（7-12 歲）的兒童思維特征是主動且恰當(dāng)?shù)厥褂眠壿?，這一階段的兒童不再只是受事物的表象影響，他們會運用認知和邏輯過程去回答，但是，要幫助他們理解還是需要具體事物的支撐。人教版教材“圓的面積”在教授學(xué)生如何計算圓的面積時，就是采用了具體的“轉(zhuǎn)化”策略，溝通學(xué)生圖式中相關(guān)知識與新知識之間的聯(lián)系，將學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識遷移到新知識的學(xué)習(xí)上，通過具體操作幫助學(xué)生計算圓的面積。因此，在引導(dǎo)學(xué)生運用“轉(zhuǎn)化”策略完成計算，并推導(dǎo)出公式的過程對應(yīng)具體運算階段的特點，即具體操作階段。

首先要確定“轉(zhuǎn)化”策略，提取學(xué)生認知中關(guān)于圖形轉(zhuǎn)化的認知—平行四邊形、三角形“轉(zhuǎn)化”成其它圖形的方法來推導(dǎo)出它們的面積計算公式。接著引導(dǎo)學(xué)生探討該如何把圓進行轉(zhuǎn)化，這個步驟對于大部分學(xué)生來說是比較有難度的，教師可以通過課件演示或者讓學(xué)生進行剪裁，引導(dǎo)學(xué)生通過對比觀察體會到圓被分割的扇形面積越小，拼出的底邊就會越接近于直線，這一步的處理至關(guān)重要，為進一步做出數(shù)理上的邏輯分析和合情推理做出鋪墊，只有學(xué)生理解了這個概念，學(xué)生才能更深入地理解“無限分割，化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。然后通過課件把轉(zhuǎn)化好的圖形展示給學(xué)生看，引導(dǎo)學(xué)生說出自己的觀察，最后得出結(jié)論：隨著剪拼的份數(shù)不斷增加，拼出的圖形逐漸變成長方形。在這個過程中，我們使用了直觀的教學(xué)方式，將圓的轉(zhuǎn)化過程具象地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，為學(xué)生提供了一條邏輯清晰的認知路徑，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和空間想象能力，由此也可以看到，信息技術(shù)手段的運用對學(xué)生抽象認知的發(fā)展的貢獻不可忽視。

2.4 總結(jié)環(huán)節(jié)——推導(dǎo)公式，并用公式解決問題

當(dāng)一個學(xué)生進入了形式運算階段，就代表他已經(jīng)發(fā)展出抽象思維能力，皮亞杰認為大約在12 歲左右學(xué)生就進入了形式運算階段，通過采用邏輯的形式原則，學(xué)生能夠抽象地思考問題，而不再局限于具體的術(shù)語，他們可以通過進行簡單的實驗和觀察實驗結(jié)果來系統(tǒng)化地檢驗自己對問題的理解，在“圓的面積”最后一個總結(jié)推導(dǎo)的環(huán)節(jié)，對應(yīng)的就是學(xué)生發(fā)展抽象思維能力的過程，即總結(jié)環(huán)節(jié)。

在總結(jié)環(huán)節(jié)里分為三個重要的步驟。第一步教師要聯(lián)系前面學(xué)生得出的結(jié)論：半徑越大，得到的面積就越大，并同時對學(xué)生提出論題：那圓的面積可以用圓的半徑表示出來嗎？第二步教師需要引導(dǎo)學(xué)生簡單地總結(jié)我們把圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積的過程，這一步也對應(yīng)了進行實驗驗證的過程，第三步教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過對實驗結(jié)果的觀察，對學(xué)生提出“適中的問題”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的半徑與圓的面積的關(guān)系，在這一步學(xué)生通過觀察實驗結(jié)果得出結(jié)論，并學(xué)會用數(shù)學(xué)符號將結(jié)論通過數(shù)學(xué)的形式表達出來，即圓的面積公式，教授學(xué)生學(xué)會用面積公式解決有關(guān)的圓的面積問題，提高學(xué)生解決問題的能力。綜上所述，學(xué)生推導(dǎo)圓的面積公式的過程，就是學(xué)生通過進行簡單的實驗和觀察實驗結(jié)果，驗證“圓的半徑與圓的面積存在實質(zhì)性的聯(lián)系”論題的過程，之后還需要通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)幫助學(xué)生系統(tǒng)化地檢驗自己對問題的理解。在最后的總結(jié)環(huán)節(jié)里，學(xué)生不再是簡單感知和表達問題，也不是通過動手將知識具象化，而是進行了更復(fù)雜，認知程度更高的概括活動，并將知識反復(fù)驗證得出結(jié)論的過程，在這個環(huán)節(jié)里培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的能力，使學(xué)生學(xué)會初步使用形式運算來解決問題。

3 認知發(fā)展理論對教學(xué)的啟示

根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，學(xué)生需要通過與能力更高的同伴合作和教師指導(dǎo)的方式來幫助個體達到潛在發(fā)展水平。但由于個體差異性，每個學(xué)生的自身能力發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平不盡相同，因而學(xué)生得到的發(fā)展也不同。教學(xué)應(yīng)該走在學(xué)生發(fā)展的前面，引領(lǐng)學(xué)生的發(fā)展，在現(xiàn)行的班級授課制中，筆者針對教學(xué)如何適應(yīng)學(xué)生發(fā)展差距的不同，結(jié)合認知發(fā)展理論，提出有利于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點啟示。

3.1 提供機會豐富學(xué)生感知經(jīng)驗

皮亞杰認為，人的知識來源于動作，動作時感知的源泉和思維的基礎(chǔ)。嬰兒通過抓取獲取感知經(jīng)驗，小學(xué)生雖然積累了一定的感知經(jīng)驗，可以在頭腦內(nèi)進行一定的邏輯性運算和簡單的具體性推理，但是教學(xué)面對的是全體學(xué)生，學(xué)生的感知經(jīng)驗具有差異性，因此在實際教學(xué)中，教師應(yīng)該在導(dǎo)入環(huán)節(jié)結(jié)合教學(xué)目標，提供更多的機會讓學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容進行感知，適當(dāng)?shù)乩鼘W(xué)生感知經(jīng)驗的差距。在“圓的面積”實際教學(xué)中，往往教師會跳過感知導(dǎo)入這一環(huán)節(jié)，有一部分學(xué)生因為缺少聯(lián)系認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識的自覺和能力，從而造成感知的差異，很難察覺到圓的半徑和圓的面積的關(guān)系，即使之后學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的面積公式，能用數(shù)學(xué)公式把圓的面積和圓的半徑之間關(guān)系表達出來，也會因為缺少感知階段而無法深入地理解兩者的關(guān)系。因此教師應(yīng)該提供機會豐富學(xué)生的感知經(jīng)驗。

3.2 通過表達強化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)

兒童的語言發(fā)展與其他認知活動（如思維、記憶）的相互作用是不可忽視的，學(xué)生的語言發(fā)展受到期認知圖式的影響，同時學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)建認知結(jié)構(gòu)的過程也受其語言能力的制約，因此在教學(xué)活動中需要重視學(xué)生語言表達的過程，突出學(xué)生在課堂中的主體性。從建構(gòu)主義視角出發(fā)，學(xué)習(xí)環(huán)境由情境、協(xié)作、會話和意義四個要素構(gòu)成，其中情境時意義構(gòu)建的基本條件，教師與學(xué)生之間、學(xué)生與學(xué)生之間的協(xié)作和會話是意義構(gòu)建的具體過程，意義構(gòu)建則是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的目的。由此看出，教學(xué)中學(xué)生需要通過交流或者表達建構(gòu)知識，發(fā)展學(xué)生的認知。因此，在實際教學(xué)開展階段，教師可以通過師生互動或者團隊合作的方式，鼓勵學(xué)生表達自己的意見，通過不同觀點的沖突、碰撞、補充、修正，加深每一個學(xué)習(xí)者對當(dāng)前問題的理解。

3.3 展示具象發(fā)展學(xué)生抽象能力

皮亞杰認為小學(xué)階段的兒童處于具體運算階段，雖然這一階段的兒童認知相較于前運算階段的兒童認知有了很大的發(fā)展，具有去中心化、可逆性，以及掌握物品守恒等特點，但是在這一階段兒童的運算仍然需要借助具象完成運算。學(xué)生在推理圓的面積并運用以符號形式存在的圓的半徑和圓的面積的關(guān)系都離不開數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生抽象能力的發(fā)展需要通過活動不斷積累后天經(jīng)驗，提高直觀能力。除了可以通過媒體向?qū)W生展示拼剪圓的過程，教師也可以組織學(xué)生通過合作的方式完成拼剪，再對比拼剪結(jié)果幫助學(xué)生掌握圓的轉(zhuǎn)化過程，有利于在兒童大腦中構(gòu)建圓的轉(zhuǎn)化的圖式，為學(xué)生以后的圖形幾何學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

3.4 適當(dāng)練習(xí)提高學(xué)生應(yīng)用能力

小學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念不是一蹴而就的，必須通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)和應(yīng)用來加深對概念的理解。因此如果學(xué)生想要真正地理解學(xué)習(xí)的知識，只停留在概念的理解層面是不夠的，還要求學(xué)生必須學(xué)會靈活應(yīng)用。只有通過實踐與應(yīng)用，學(xué)生才能更好地鞏固與拓展他們所學(xué)的知識，數(shù)學(xué)知識也才能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中教師可以提供相似情境，讓學(xué)生“舉一反三”運用概念，也可以創(chuàng)設(shè)新的情境讓學(xué)生學(xué)會遷移運用，從而實現(xiàn)對概念的鞏固和深化。在學(xué)習(xí)“圓的面積”后，除了給學(xué)生布置適當(dāng)?shù)臅孀鳂I(yè)鞏固知識外，教師也可以安排一些實踐性的活動讓學(xué)生學(xué)會測量圓的面積，或者給出圓的面積讓學(xué)生學(xué)會剪出對應(yīng)的圓形。這樣不僅強化了學(xué)生對概念的全面理解，而且體會了數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)生解決日常生活中相關(guān)問題的能力。