不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)= Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解

楊雅琴

(齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

設(shè)K、D是互素的非負整數(shù)，且K0,y>0)已有不少研究成果[1-6].文獻[2]～[6]分別給出了當(dāng)K=1,D=33；K=5,D=6；K=1,D=35；K=1,D=13；K=1,D=11時不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(x+3)(x>0,y>0)的解.本文根據(jù)文獻[1]中不定方程x2-Dy2=z2(D>0)解的參數(shù)形式，給出當(dāng)K、D是互素的非負整數(shù)且K0,y>0)的兩種求解公式及相關(guān)結(jié)果，并給出此類不定方程的求解公式.

設(shè)K、D、M是已知的非負整數(shù)，K、D互素且K

1 不定方程x2-Dy2=M2解的參數(shù)形式

定理1對不定方程x2-Dy2=M2,設(shè)D=ab(0≤a

證明設(shè)D=ab(0≤a≤b≤D),x>0,y>0,不定方程x2-Dy2=M2可變形為x2-M2=Dy2，有:

x2-M2=(x-M)(x+M)=Dy2=aby2≥0,

則x-M與x+M同號.

因a≤b，所以下面考慮3種情況：a|(x-M),b|(x+M);ab|(x-M);ab|(x+M).

(2)當(dāng)ab|(x-M)時，存在p∈Z，使得x-M=abp=Dp,x+M=Dp+2M.由

x2-M2=(x-M)(x+M)=Dy2，

(3)當(dāng)ab|(x+M)時，由于x≥M≥0,則存在q∈Z，使得x+M=abq=Dq,x-M=Dq-2M≥0.由

x2-M2=(x-M)(x+M)=Dy2，

例1求不定方程x2-42y2=12的解.

解因D=42=1×42=2×21=3×14=6×7,M=1.

是不定方程x2-42y2=12的解，有3372-42×522=12.

是不定方程x2-42y2=12的解.

是不定方程x2-42y2=12的解，有132-42×22=12.

是不定方程x2-42y2=12的解.

(2)因D=42，取p=8，使得p(Dp+2M)=8×(42×8+2×1)=522是平方數(shù).則

是不定方程x2-42y2=12的解.

(3)因D=42，取q=-8，使得q(Dq-2M)=(-8)×[42×(-8)-2×1]=522是平方數(shù).則

是不定方程x2-42y2=12的解.

例2求不定方程x2-34y2=332的解.

解因D=34=1×34=2×17.

是不定方程x2-34y2=332的解，有352-34×22=332.

是不定方程x2-34y2=332的解，有8172-34×1402=332.

(2)因D=34，取p=1，使得p(Dp+2M)=1×(34×1+2×33)=100是平方數(shù).則

是不定方程x2-34y2=332的解，有672-34×102=332.

取p=8，使得p(Dp+2M)=8×(34×8+2×33)=522.則

是不定方程x2-34y2=332的解，有3052-34×522=332.

取p=33，使得p(Dp+2M)=33×(34×33+2×33)=1982,則

是不定方程x2-34y2=332的解，有1 1552-34×1982=332.

取p=128，使得p(Dp+2M)=128×(34×128+2×33)=7522.則

是不定方程x2-34y2=332的解，有4 3852-34×7522=332.

(3)因D=34，取q=49，使得q(Dq-2M)=49×(34×49-2×33)=2802.則

是不定方程x2-34y2=332的解，有1 6332-34×2802=332.

2 不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的求解公式

引理4個連續(xù)非負整數(shù)的乘積加1是平方數(shù).

證明對任意非負整數(shù)n,有：

n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n2+3n)(n2+3n+2)= [(n2+3n+1)-1][(n2+3n+1)+1]=(n2+3n+1)2-1，

所以，

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.

定理2設(shè)K、D是非負整數(shù)且K0,y>0)，如果不定方程w2=DKh2+(D-K)2有整數(shù)解(w,h)，則滿足

的非負整數(shù)組(x,y)是不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

證明由引理知，x(x+1)(x+2)(x+3)+1和y(y+1)(y+2)(y+3)+1都是平方數(shù)，所以設(shè)

u2=x(x+1)(x+2)(x+3)+1，v2=y(y+1)(y+2)(y+3)+1，

則不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)可轉(zhuǎn)化為不定方程Ku2+(D-K)=Dv2.

設(shè)u=v+h(u,v,h∈Z),有:

Ku2+(D-K)=K(v+h)2+(D-k)=Dv2,

得:

(D-K)v2-2Khv-[Kh2+(D-K)]=0.

則

設(shè)w2=DKh2+(D-K)2,當(dāng)不定方程w2=DKh2+(D-K)2有解(w,h)時，可得:

因u2=x(x+1)(x+2)(x+3)+1和v2=y(y+1)(y+2)(y+3)+1，所以可得:

即

從而得：

例3求不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0) 的解.

定理3設(shè)K、D是互素非負整數(shù)且K0,y>0)，如果不定方程Ku2+(D-K)=Dv2有整數(shù)解(u,v)，則滿足

的非負整數(shù)組(x,y)是不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

證明由引理知，x(x+1)(x+2)(x+3)+1和y(y+1)(y+2)(y+3)+1是平方數(shù).設(shè)u2=x(x+1)(x+2)(x+3)+1和v2=y(y+1)(y+2)(y+3)+1，則不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)可轉(zhuǎn)化為不定方程Ku2+(D-K)=Dv2.當(dāng)不定方程Ku2+(D-K)=Dv2有整數(shù)解(u,v)時，由

得：

從而得：

例4求不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=34y(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0) 的解.

解設(shè)D=34，w2=34h2+332.由例2知，不定方程w2-34h2=332的整數(shù)解(w,h)為:

再根據(jù)定理2，將(w,h)代入公式：

例5求不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=3y(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0) 的解.

將(u,v)代入公式：

3 不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)的求解公式

推論1設(shè)D是非負整數(shù)，對不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)，如不定方程w2-Dh2=(D-1)2有整數(shù)解(w,h)，則滿足

的非負整數(shù)組(x,y)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

證明設(shè)K=1.由定理2得，如不定方程w2-Dh2=(D-1)2有整數(shù)解(w,h)，則滿足

的非負整數(shù)組(x,y)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的解.

4不定方程Kx(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(x>0,y>0)的求解結(jié)果

設(shè)x、y是非負整數(shù).

(1) (7,4)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(2) (8,3)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=22y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(3) (7,2)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=42y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(4) (5,1)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=70y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(5) (6,1)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=126y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(6) (7,4)是不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(7) (5,3)是不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=14y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(8) (7,6)是不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)的解；

(9) 對非負整數(shù)D，當(dāng)D>4時,(D-3,D-4)是不定方程(D-4)x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)的解.