一類擬線性方程弱解的存在性

陳文文，沈自飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

擬線性薛定諤方程因在等離子物理、流體力學(xué)、超流體、量子論等方面的廣泛應(yīng)用而受到了學(xué)者們的高度關(guān)注.文獻[1]得到了具有非線性凹凸性項的有界區(qū)域半線性橢圓問題：

-Δu=λ|u|q-2u+g(x,u),

(1)

并對參數(shù)λ的范圍進行分類討論，得到了不同類型的解.文獻[2]利用上下解及分歧理論證明了當(dāng)q=2和g(x,u)=-b(x)|u|p-1(p>1)時，方程(1)正解的存在性、不存在性和唯一性.文獻[3]考慮了方程(1)在q>0和g≡0時解的問題，并證明了解的存在性和唯一性.文獻[4]利用邊界層校正項構(gòu)造問題，并用微分不等式原理討論了二階擬線性奇攝動方程解的存在性.在文獻[5]的啟發(fā)下，本文主要研究擬線性橢圓方程弱解的存在性：

(2)

其中,Ω?RN是N>3的光滑有界區(qū)域，10是一個實參數(shù).通過觀察發(fā)現(xiàn)，方程(2)有非齊次項uΔu2，對有些空間是不能直接應(yīng)用到相應(yīng)能量泛函上的.本文將引入文獻[6]的變量替換u=f(w)，把原問題轉(zhuǎn)換到合適空間并進行討論.

1 預(yù)備知識

引理1假設(shè)函數(shù)f是常微分方程初值問題的解：

令f(-t)=-f(t),t≤0，使得函數(shù)f具有以下性質(zhì)[7]：

(Ⅰ) 當(dāng)t>0時，f″(t)=-2f(t)(f′(t))4；

(Ⅱ)f是唯一可逆的C∞函數(shù)；

(Ⅲ) 對任意的t∈R,0

由此可得方程(2)對應(yīng)的能量泛函為：

利用引理1對上式進行變量替換，u=f(w)，可得：

函數(shù)Iλ與下述方程有關(guān)：

(3)

利用這種新結(jié)構(gòu)證明關(guān)于上下解的引理2，其中f:(0,∞)→(0,∞)的連續(xù)非線性函數(shù)為：

由于g是非增的非負函數(shù)，由上述引理1中的(I)和f(w)的單調(diào)性：

t→g(f(t))f′(t),t>0,

可知函數(shù)g(f(t))f′(t)是單調(diào)遞減的.其理由是：由引理1知f′(w)>0,那么f(w)是單調(diào)遞增的；因為u>v,所以f(u)>f(v)；因為g(s)是非增的非負函數(shù)，所以g(f(u))f′(u)

所以，

但這是不可能的，因此Ω0=?.

2 主要結(jié)論證明

本文主要結(jié)論如下：

定理1當(dāng)1

證明事實上，存在r0>0和δ0>0.令λ0>0且充分小，使得

Iλ0|?Br0≥δ0>0.

同樣可得:

所以,

又由

和上述不等式可得：

c0=Iλ0(wj)+o(1)，

即Iλ0(w0)=c0<0.

下面證明w0是方程(3)的弱解.首先，在Ω上w0>0的前提下，證明-Δw0≥0.

由引理1可知：

的測試函數(shù)，當(dāng)ε→0時，有：

用-ψ替代上式不等式中的ψ，即可證明方程(3)存在弱解.

證畢.

3 結(jié) 語

本文研究了一類擬線性薛定諤方程弱解的存在性.利用變量替換將擬線性問題轉(zhuǎn)換到在零點處是奇異的和在無窮遠處是超線性的半線性問題，并利用上下解和比較原理的方法證明擬線性方程弱解的存在性.本文只在1