同構(gòu)法在高中數(shù)學(xué)題解析中的應(yīng)用策略

秦波華,王勇強(qiáng),吳利敏

(1.湖州市濱湖高級(jí)中學(xué)，浙江 湖州 313000；2.湖州市教育科學(xué)研究中心，浙江 湖州 313000； 3.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

數(shù)學(xué)中的同構(gòu)不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與和諧美，而且運(yùn)用同構(gòu)法解題能夠培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維能力.同構(gòu)法是一種重要的思想方法和思維方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著非常重要的地位.但在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，同構(gòu)法的應(yīng)用仍處于困境，因此有必要對(duì)其進(jìn)行研究.本文在闡述同構(gòu)的概念和同構(gòu)法解題優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，探討同構(gòu)法在求解方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等方面的應(yīng)用策略.

1 同構(gòu)的概念與同構(gòu)法的解題優(yōu)勢(shì)

在高中數(shù)學(xué)中，同構(gòu)可定義為相同的結(jié)構(gòu).就表達(dá)式來說，可以定義為同構(gòu)式，即除變量不同外，其余均相同的表達(dá)式；就方程來說，可以定義為同構(gòu)方程，即除變量不同外，其余均相同的方程；就圖像來說，可以定義為同構(gòu)圖像，即兩個(gè)或兩個(gè)以上的圖形組合在一起共同構(gòu)成一個(gè)新圖形，這個(gè)新圖形不是原圖形的簡(jiǎn)單相加，而是一種對(duì)原圖形的超越和突變.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，很多問題都可通過尋找相同結(jié)構(gòu)的表達(dá)式、方程和圖形等來解決.如在恒成立求參數(shù)取值范圍、證明不等式的過程中，同構(gòu)法的運(yùn)用不僅能夠使學(xué)生理解和處理對(duì)象結(jié)構(gòu)變得容易，還能使學(xué)者們對(duì)該領(lǐng)域有更深刻的理解[1].

2 同構(gòu)法在高中數(shù)學(xué)題解析中的應(yīng)用策略

2.1 集合中的“同構(gòu)”定集合關(guān)系策略

例集合M={u|u=12m+8n+4l,m,n,l∈Z}與N={u|u=12p+16q+12r,p,q,r∈Z}的關(guān)系為____________.

應(yīng)用策略本題是一道結(jié)構(gòu)構(gòu)造問題，可采用同構(gòu)法構(gòu)造20()+16()+12()與12()+8()+4()，只要()內(nèi)是整數(shù)即可.

解決方案

u=12m+8n+4l= 12m+20l+20n-16l-12n= 20(n+l)+16(-l)+12(m-n),

其中，p=n+l、q=-l、r=m-n都是整數(shù).同理,N?M.所以,M=N.

2.2 方程中的“同構(gòu)”定參數(shù)值策略

例已知實(shí)數(shù)α、β分別滿足α3-2α2+5α-17=0,β3-3β2+5β+11=0,求α+β的值.

應(yīng)用策略兩個(gè)方程都是3次方程，因此可采用同構(gòu)法構(gòu)造出f(x)=x3+2x-14，再證明函數(shù)在R上單調(diào)，且必與X軸相交，從而說明方程有唯一根.

解決方案由題意得(α3-3α2+3α-1)+2α-16=0，即得(α-1)3+2(α-1)-14=0,同理(β-1)3+2(β-1)-14=0,所以α-1、β-1都滿足方程x3+2x-14=0.由f′(x)=3x2+2>0知f(x)=x3+2x-14單調(diào)遞增，又f(0)=-14<0,f(3)=19>0,所以f(x)=0在R上只有一個(gè)實(shí)根(實(shí)質(zhì)在區(qū)間(0,3)內(nèi)有根)，因此α-1=β-1，即α+β=2.

2.3 值域中的“同構(gòu)”定參數(shù)范圍策略

例若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b]，滿足f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b]，則稱函數(shù)f(x)為“優(yōu)美函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=x2+k在(0,+∞)上為“優(yōu)美函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.

應(yīng)用策略如果方程f(a)=0與f(b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則a、b可視為方程f(x)=0的兩個(gè)根.

2.4 不等式中的“同構(gòu)”定最值策略

應(yīng)用策略本題是解函數(shù)不等式，若采用直接代解析式，難度較大.此時(shí)常用的策略為：構(gòu)造一個(gè)具有某些函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)的函數(shù)，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.但此題還存在一個(gè)難點(diǎn)，即構(gòu)造哪個(gè)函數(shù).因此，應(yīng)學(xué)會(huì)利用配湊或待定系數(shù)法去探求.

解決方案由已知得f(x+1-x2)-(x+1-x2)+f(x+2)-(x+2)<0，f(x+1-x2)-(x+1-x2)<-[f(x+2)-(x+2)].構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-x,則F(x+1-x2)<-F(x+2).因此，可證明F(x)是奇函數(shù).所以F(x+1-x2)-x-2,得解集為{x|-1

2.5 向量共線的“同構(gòu)”兩方面策略

解決方案延長(zhǎng)OG，交邊AB于M,則M為AB的中點(diǎn).

(1)

(2)

2.6 數(shù)列中的“同構(gòu)”遞推依序策略

應(yīng)用策略將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于(an,n)與(an-1,n-1)的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列，以便于求解.

解決方案[3]由原式變形得：

記

則

(3)

2.7 解析幾何中的“同構(gòu)”簡(jiǎn)化計(jì)算策略

例已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)的一點(diǎn)，在拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A、B，且滿足PA、PB的中點(diǎn)均在C上.設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明PM垂直于y軸.

應(yīng)用策略為滿足方程f(x1,y1)=0與方程f(x2,y2)=0，可構(gòu)造同構(gòu)方程f(x,y)=0，從而得出A(x1,y1)和B(x2,y2)都在曲線Ω：f(x,y)=0上.當(dāng)方程f(x,y)=0是關(guān)于x、y的二元一次方程時(shí)，曲線Ω就是直線AB.

2.8 導(dǎo)數(shù)中的指對(duì)跨階“同構(gòu)”策略

例已知函數(shù)f(x)=x2e3x.若x>0,恒有f(x)≥(k+3)x+2lnx+1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

3 結(jié) 語

同構(gòu)是數(shù)學(xué)解題中的一項(xiàng)重要方法，它是數(shù)學(xué)本質(zhì)最直接的體現(xiàn).代數(shù)的根本在于運(yùn)算和運(yùn)算律，幾何的根本在于空間的基本結(jié)構(gòu)和基本性質(zhì).對(duì)核心問題的解析，唯有從構(gòu)造入手，特別是從同構(gòu)入手，才能真正揭示問題的核心[6].基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是精簡(jiǎn)樸實(shí)的，其根源是自然直觀的.在數(shù)學(xué)中，很多問題從表面看是紛繁蕪雜的，但利用同構(gòu)法可使它們變得簡(jiǎn)約明了.