中國巨災保險基金規(guī)模測算研究

楊 亮,孟生旺,徐婷婷

(1.西南財經大學 金融學院,四川 成都 611130;2.中國人民大學 統(tǒng)計學院,北京 100872;3.西安財經大學 經濟學院,陜西 西安 710100)

一、引言

巨災保險是世界性難題,中國巨災保險雖歷經多年探索與實踐但仍發(fā)展緩慢。近年來,自然災害頻發(fā),一次次為我們敲響警鐘:面對災害,我們缺乏的不僅僅是減災救災的自然科學知識,更缺乏防災減損的經濟學意識尤其是巨災保險意識。以“5.12”汶川特大地震為例:地震造成直接經濟損失8 500億元,但保險賠償金額僅20億元,占比約0.25%。據(jù)瑞士再保險的統(tǒng)計,2015年全球保險理賠占自然災害損失的平均比例是35%,發(fā)達國家這一比例甚至超過80%。這意味著中國保險的社會治理職能尤其是防災減損職能未充分發(fā)揮,巨災保險職能缺位問題突顯。近年來,中共中央和各部委多次出臺決定或意見,落實推動中國巨災保險制度的建立與完善:2013年《中共中央關于全面深化改革若干重大問題的決定》明確提出“完善保險經濟補償機制,建立巨災保險制度”;2014年《國務院關于加快發(fā)展現(xiàn)代保險服務業(yè)的若干意見》(保險業(yè)“新國十條”)中提出“建立巨災保險制度。研究建立巨災保險基金、巨災再保險等制度,逐步形成財政支持下的多層次巨災風險分散機制”;2016年《中國保險業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃綱要》中提出“研究建立地震巨災保險基金,研究建立覆蓋洪水、臺風等多災因巨災保險制度”;2016年《建立城鄉(xiāng)居民住宅地震巨災保險制度實施方案》中提出建立“地震巨災保險專項準備金”。目前,中國已逐步建立起了以黨中央為主導、以地方政府為支撐的多層次巨災風險分散機制。各級政府以地震巨災保險為契機,積極推動中國巨災保險體系構建,相繼開展了省級財政支持的巨災保險試點。如四川省住宅地震巨災保險試點、云南省政策性地震指數(shù)保險等。

巨災保險基金是巨災風險管理體系的核心與基礎。將傳統(tǒng)的中央政府災害救濟基金轉變?yōu)榫逓谋ｋU基金,可以緩解財政壓力,提高災害救濟效率[1]。巨災保險基金的核心問題是基金規(guī)模測算[2-3]。研究如何改進中國巨災保險基金規(guī)模測算方法,提高基金規(guī)模測算精度,更好地發(fā)揮巨災保險的風險分散及損失補償作用,具有重要的理論與現(xiàn)實意義。

二、文獻綜述

中國對建立巨災保險基金的探討始于20世紀80年代,工作核心是建立巨災保險基金的必要性及其籌資模式、運營機制等問題。受到精算技術、巨災保險意識、國民經濟和社會發(fā)展等現(xiàn)實條件的制約,早期對巨災保險及巨災保險基金的研究主要集中于巨災保險制度構建、多層次巨災保險體系構建、巨災風險分散機制以及巨災保險產品定價等方面[4-7]。2008年后,由于“5·12”汶川特大地震給國民經濟帶來了巨大損失,巨災保險尤其是地震巨災保險得到了充分重視,學界對建立巨災保險基金的探討不斷深入,總結起來,主要包括三個方面。(1)巨災保險基金在巨災保險制度中的作用和地位。巨災風險具有可保性,對其進行保費補貼、再保險以及通過資本市場和公共部門進行融資有助于擴大巨災風險的可保性[2,8]。建立巨災保險基金無疑是擴大巨災風險可保性的有效方法之一。(2)巨災保險基金的運作模式研究。中國巨災保險基金的運作,是政府主導與市場輔助相結合的模式。其中,巨災證券化研究是巨災保險基金運作模式的新動向[9]。(3)巨災保險基金規(guī)模測算。對巨災保險基金規(guī)模進行測算是巨災保險基金研究的核心問題,如地震巨災保險基金規(guī)模的測算研究等[2-3,10]。

保險基金規(guī)模的測算是巨災保險體系構建的重要環(huán)節(jié),也是學界研究的熱點和重點問題。按照保障范圍的不同,巨災保險基金可以被劃分為專項巨災保險基金和綜合性巨災保險基金兩類。對于專項巨災風險基金規(guī)模測算的研究文獻有:采用VaR方法對中國地震保險基金規(guī)模進行測算,結果表明:地震保險基金規(guī)模與風險容忍度和再保險附加費率相關,基金規(guī)模從8.56億元到216億元不等[10];采用CVaR方法再次對中國地震巨災保險基金規(guī)模進行測算,結果表明:基于CVaR方法測算的基金規(guī)模高于VaR方法下的基金規(guī)模,且CVaR對超大規(guī)模的地震損失更敏感[11];探討Mixed Erlang-Pareto組合分布在VaR、TVaR和地震巨災保險定價等方面的具體應用,對中國1990—2018年4.5級以上地震所造成的直接經濟損失數(shù)據(jù)進行組合分布建模[12];注重巨災損失后尾特征的研究,研究發(fā)現(xiàn):在償付能力為0.99水平下,地震死亡保險基金規(guī)模為77億元至206億元不等[3]。綜合性巨災保險基金通過對所有的巨災風險建立一個基金,并按照一定規(guī)則進行統(tǒng)一測算。譬如,以地震和洪水兩種巨災為研究對象,發(fā)現(xiàn)在相同風險容忍度下,聯(lián)合巨災保險基金的規(guī)模不大于分別建立巨災保險基金的規(guī)模之和[2]。

國外對巨災保險基金規(guī)模的測算,主要集中于最大承保能力的研究,譬如,以市場容量和破產理論為基礎,基于大數(shù)法則測算保險公司的承保能力[13]。建立最優(yōu)分保比例模型,提出當每一個再保險人持有的風險與其市場占有率相對應時,再保險市場風險配置將達到均衡狀態(tài)[14]。結合期貨合約和衍生工具的估值理論,并將其應用于巨災保險領域,采用Markov模型對巨災保險進行定價[15]。在賠付支出最大化和賠付不足最小化的限制條件下構建函數(shù),進行數(shù)學推導并測算巨災保險基金規(guī)模[16]。以美國的192起巨災損失為研究對象,發(fā)現(xiàn)其中75%的巨災發(fā)生后會產生“需求激增”效應,因此保險人在對巨災保險進行定價時應當考慮風險溢價和經濟成本[17]。計算美國巨災超賠再保險價格,研究表明:在巨災損失服從對數(shù)正態(tài)分布條件下,起賠點為250億美元、保額為500億美元的超賠再保險價格為3.7億美元;若巨災保險基金的作用是提供再保險,則每年需要籌集3.7億美元的資金以應對巨災風險損失[18]。

巨災保險基金規(guī)模的測算結果與使用的風險度量工具和保費準則密切相關,在不同的風險度量工具或保費準則下探討最優(yōu)再保險策略的文獻可以參考Chi等人的研究[19-21]。巨災保險基金規(guī)模是指在一定的風險容忍度下,能夠維持巨災保險市場穩(wěn)定運行且能覆蓋巨災損失賠償?shù)淖钚』鹨?guī)模?，F(xiàn)有文獻將巨災保險基金定位于再保險性質,根據(jù)優(yōu)化目標的不同,選擇VaR、CVaR等指標作為風險度量工具,考慮不同的再保險策略,實現(xiàn)對巨災保險基金規(guī)模的測算?，F(xiàn)有文獻大多只討論了再保險策略的選擇問題,忽略了保費準則在基金測算過程中的作用,比如保費函數(shù)中參數(shù)的人為設定問題,使得測算結果可能存在偏差。為此,本文同時考慮再保險策略和保費準則的影響,在風險度量最小化目標下尋找最優(yōu)分保函數(shù),進一步提高基金規(guī)模的測算精度。

本文的主要貢獻如下:第一,突破單一再保險策略的限制,在廣義再保險策略下,探討最優(yōu)再保險策略的求解問題,在全局最優(yōu)意義下選擇最優(yōu)再保險策略;第二,克服人為設定保費準則參數(shù)的弊端,基于再保險費最小化目標實現(xiàn)對保費準則參數(shù)的求解,為進一步的巨災保險基金規(guī)模測算奠定基礎;第三,給出經驗期及未來年份巨災保險基金規(guī)模理論表達式,并基于1980—2020年中國自然災害巨災損失數(shù)據(jù)進行實證研究,驗證了理論結果的合理性;第四,基于該基金規(guī)模的測算結果,進一步探究保險公司的風險容忍度對再保險價格以及分出額函數(shù)的影響,為保險公司在風險轉移過程中選擇最優(yōu)再保策略提供理論支撐。

三、扭曲測度下的最優(yōu)再保險策略

再保險也稱“分?！?是原保險人在原保險合同的基礎上,通過簽訂分保合同,將其承保的部分風險和責任轉移給其他保險公司的行為。再保險通過將風險控制在一定范圍內的同時,尋找損失賠付額和再保險費之間的平衡點,實現(xiàn)公司經營目標的最大化。

(一)保費準則與再保險策略

在購買再保險時,需要根據(jù)一定的準則計算再保險保費,該準則即為保費準則。設Y為原保險人承保的巨災責任風險;f(x)為分出額函數(shù),即原保險人轉移給再保險人的風險;If(x)為原保險人自留風險額函數(shù),則:

If(Y)=Y-f(Y)

(1)

此時,巨災保險的再保險費可以表示為:

(2)

其中,r(x|θ)為在給定參數(shù)θ條件下的保費函數(shù),是一個有界的左連續(xù)增函數(shù),且滿足r(0|θ)=0以及r(x|θ)>0,x>0[22]。再保險費是原保險人向再保險人轉移風險時繳納的成本。常見的保費準則及其函數(shù)形式如表1所示。基于式(1)與式(2),原保險公司的總支出可以表示為自留損失和再保險費之和:

表1 常見的保費準則

Tf(Y)=If(Y)+ur[f(Y)|θ]

(3)

再保險通過對分出額函數(shù)f(x)設置不同的限制,形成不同的再保險策略。在一定限制條件下,確定分出額函數(shù)f(x)的方法就是再保險策略。譬如,成數(shù)再保險策略就是通過合同約定的比例確定分出額和自留額,并按照該比例分配保費、攤付賠款。表2為常見的再保險策略及其函數(shù)形式。

表2 常見的再保險策略

(二)扭曲風險度量

扭曲概率從最早思想的提出,到隨后首次將扭曲概率應用于保險精算領域,通過定義扭曲函數(shù)改變原有的概率分布,并采用變換后的概率分布來度量風險,這種方法稱作扭曲風險度量(Distortion Risk Measure)方法[23-24]。對于非負的損失隨機變量X,扭曲風險度量的一般表達式如下:

(4)

在式(4)中,g(x)為扭曲函數(shù),是定義在[0,1]上且滿足g(0)=0和g(1)=1的增函數(shù);S(x)=Pr(X>x),為隨機變量X的生存函數(shù)。

表3是常見扭曲風險度量及其對應的扭曲函數(shù)?？梢宰C明,在式(4)中,當且僅當扭曲函數(shù)g(x)為凹函數(shù)時,即g′(x)≥0且g″(x)≤0,扭曲風險度量ρg(X)具有次可加性。

表3 常見的扭曲風險度量及其扭曲函數(shù)

對于非負隨機變量X,經過扭曲變換之后的隨機變量記為X*,則有如下關系:

fX*(x)=g′[1-FX(x)]fX(x)

(5)

式(5)表明,經過扭曲變換之后的隨機變量X*的密度函數(shù),是在原有隨機變量X密度函數(shù)基礎上進行了加權變換,由于g′[1-FX(x)]關于x為單調遞增函數(shù),使得扭曲變換后的隨機變量X*的右尾被賦予了較大的權重。該特征能較好地捕捉巨災損失分布所包含的信息,因此在巨災風險度量方面具有廣闊的應用空間。

(三)無保費約束時的最優(yōu)再保險策略

在再保險實務中,根據(jù)是否對再保險費進行限制,再保險問題可以分為有保費約束的最優(yōu)再保險和無保費約束的最優(yōu)再保險。本文只討論無約束的最優(yōu)再保險策略問題。為了有效地避免道德風險,假設分出額函數(shù)f(x)和自留函數(shù)If(x)均為單調遞增函數(shù),即原保險人的自留額If(x)與再保險人的承保額f(x)都隨著實際損失X的增大而增加。因此,對于式(3)中原保險人的總賠付額Tf(x),在扭曲風險度量ρg(x)下,無保費約束的最優(yōu)再保險問題可以表示為:

(6)

其中,F為f(x)的可行函數(shù)域,F中所有的f(x)均滿足0≤f(x)≤x,且f(x)與If(x)都是單調增函數(shù)。根據(jù)已有研究結果[22],式(6)可以進一步表示為:

(7)

其中,SX(t)=Pr(X>t)表示隨機變量X的生存函數(shù);r(x)為式(2)中的保費函數(shù);g(x)為式(4)中的扭曲函數(shù)。在原保險人的風險度量值最小化的條件下,根據(jù)式(7)可求出最優(yōu)分出額函數(shù)f*(x)。

(四)求解保費準則參數(shù)

原保險人將風險轉移給再保險人時,需要繳納一定數(shù)額的再保險費。在原保險人承擔的風險最小化的條件下,為使得原保險人繳納的再保險費達到最低,應滿足如下方程組:

(8)

其中,θ為參數(shù)θ的可行域。利用方程(8)求解保費函數(shù)r(x|θ)中的參數(shù)θ,擺脫人為給定保費準則的主觀影響,提高再保險費的準確性,從而為巨災保險基金規(guī)模測算奠定基礎。

(9)

這里,不妨假設巨災損失X服從對數(shù)正態(tài)分布,其分布函數(shù)可以表示為:

其中,μ和σ分別為對數(shù)正態(tài)分布的位置和尺度參數(shù)。令

則有:

故有:

(10)

將式(10)中的α替換為1/(1+β),可得:

(11)

將式(10)、(11)帶入到式(9),可得:

(12)

其中,

將式(12)帶入到方程(8),則有:

(13)

方程(13)中,分位數(shù)水平α可根據(jù)原保險人對風險的厭惡程度來選擇。根據(jù)方程(13),應用數(shù)值算法求得保險費準則參數(shù)β。將參數(shù)α和β,以及式(12)帶入式(3),即可得到在最優(yōu)再保險策略下保險公司的總賠付額,即:

(14)

(五)巨災保險基金規(guī)模測算

巨災保險基金規(guī)模是指在可接受的風險控制范圍內,能夠維持巨災保險市場正常運行所需的最小規(guī)模的損失賠償金額。由式(7)可以求出最優(yōu)分出額函數(shù)f*(x),使得原保險人承擔的風險最小;將最優(yōu)分出額函數(shù)f*(x)帶入式(4)可得巨災保險基金規(guī)模(Scale of the Catastrophe Insurance Fund,SCIF)為[2]:

(15)

以下考慮VaR風險度量和期望保費準則,基于最優(yōu)分出額函數(shù)式(7),分別采用精算中的個體風險模型(Individual Risk Model)和聚合風險模型(Collective Risk Model),測算經驗期巨災保險基金的總規(guī)模,以及未來各個年份巨災保險基金的年規(guī)模。

在經驗期,假設第i次災害的損失金額為隨機變量Zi,各個巨災損失之間相互獨立。在給定風險度量方法、保費準則以及最優(yōu)再保險策略條件下,進一步假設保險公司對每次巨災的總賠付金額相互獨立,則保險公司在經驗期的巨災賠付金額可以表示為:

(16)

將式(16)帶入式(15),則基于VaR風險度量條件下經驗期的巨災風險PMLα可表示為:

(17)

式(17)中,n表示經驗期內災害的總次數(shù);q為分位數(shù)水平,表示對風險的容忍最高限度,即實際損失超過巨災保險基金的概率不會超過q。q與α類似,兩者均表示對風險的容忍程度。與α不同的是,q是原保險人對所有業(yè)務線的總風險控制水平,α則是原保險人對單個業(yè)務線的風險控制水平。為了區(qū)別q與α之間整體和部分的關系,這里我們將q表述為風險閾值,α為風險容忍度。

將未來某一年的巨災保險基金規(guī)模視為一個整體,Zi表示該年份發(fā)生的第i次巨災損失額,N表示該年份發(fā)生的巨災總次數(shù)。假設Zi、N均為隨機變量,Z1,Z2,…,ZN之間獨立同分布,且獨立于隨機變量N。在給定風險度量工具、保費準則以及最優(yōu)再保險策略條件下,進一步假設保險公司對每次巨災的賠付金額相互獨立,則未來某一年份的巨災損失額可以表示為:

(18)

類比式(17),基于VaR風險度量,可得到未來一個年份的巨災風險PMLα:

(19)

其中,

C·[1-F(A+C)]

最終,將式(17)與(19)帶入式(15),可得到經驗期和未來某一年的巨災保險基金規(guī)模。

四、實證研究

本文數(shù)據(jù)來源于緊急災難數(shù)據(jù)庫(Emergency Events Database,EM-DAT),該數(shù)據(jù)庫于1988年由世界衛(wèi)生組織與比利時災后流行病災害研究中心(Centre for Research on the Epidemiology of Disasters,CRED)共同創(chuàng)建,是全球范圍內災害數(shù)據(jù)權威數(shù)據(jù)庫之一。EM-DAT災害數(shù)據(jù)庫可以查詢到1900年至今的已發(fā)生災害數(shù)據(jù),考慮到數(shù)據(jù)庫1980年之前數(shù)據(jù)質量不高的問題,最終選取了中國1980—2020年發(fā)生的自然災害損失數(shù)據(jù)進行建模,計算無保費約束條件下的最優(yōu)再保險策略,同時測算巨災保險基金的規(guī)模。這里,自然災害類型及其包括的具體類型詳見EM-DAT數(shù)據(jù)庫。

(一)數(shù)據(jù)描述

中國1980—2020年期間發(fā)生且有損失記錄的自然災害總共548起。為了讓數(shù)據(jù)更具有可比性且兼具巨災損失的特點,本文對數(shù)據(jù)進行了如下預處理。首先,根據(jù)災害發(fā)生年份美元對人民幣匯率,將損失金額統(tǒng)一折算成以人民幣為單位;其次,考慮到不同年份通貨膨脹的影響,利用災害發(fā)生年份當年的CPI指數(shù),將損失金額統(tǒng)一折算成以2020年為對比基期的購買力;最后,考慮到巨災破壞力強的特點,選取折算后損失金額大于等于1 000萬元人民幣的自然災害記錄,總計530條,其最大值、最小值、均值、標準差、偏度以及峰度分別為:71 530.01、1.06、978.88、4 081.68、12.10以及183.63,損失金額的計量單位為千萬元。

圖1是根據(jù)530條損失金額數(shù)據(jù)及其對數(shù)變換繪制的直方圖與經驗密度函數(shù),可以看出,巨災損失金額數(shù)據(jù)具有典型的尖峰厚尾特征,但經過對數(shù)變換以后,損失金額的經驗密度函數(shù)呈現(xiàn)出對稱的“鐘形”結構,因此可以初步判斷這組巨災損失數(shù)據(jù)適合用對數(shù)正態(tài)分布進行描述。

圖1 損失金額及其對數(shù)變換的直方圖與經驗密度函數(shù)

(二)巨災損失分布的擬合

應用各種常見的損失分布模型對前述巨災損失數(shù)據(jù)進行擬合,結果如表4所示。其中,對數(shù)正態(tài)分布的偏差、AIC和BIC統(tǒng)計量都小于其他分布模型,說明對數(shù)正態(tài)分布模型的擬合效果最好,這個結論與圖1吻合。

表4 巨災損失金額數(shù)據(jù)的擬合結果比較

圖2 對數(shù)正態(tài)分布擬合的殘差

(三)巨災保險基金規(guī)模測算

表5 不同承保比例及風險容忍度下經驗期巨災保險基金的總規(guī)模 單位:萬億元

為了實現(xiàn)對未來某年份巨災發(fā)生次數(shù)的預測,對式(19)中隨機變量N建立泊松回歸模型,并引入三次樣條對巨災發(fā)生年份變量進行平滑處理。泊松回歸模型結果表明,隨著時間推移未來幾年巨災發(fā)生次數(shù)存在下降趨勢。表6給出了不同承保比例條件下2021—2025年各年份的基金規(guī)模。譬如,當風險容忍度為5%、巨災保險的承保比例為20%時,2021年中國巨災保險基金規(guī)模為0.012萬億元。表6結果表明,相同年份條件下隨著風險容忍度的增大,巨災保險基金的規(guī)模會逐漸減小;相同承保比例條件下隨著時間推移未來幾年巨災保險基金規(guī)模存在下降趨勢。

表6 不同承保比例及固定風險容忍度下未來五年巨災保險基金規(guī)模 單位:萬億元

表7給出了不同承保比例及風險容忍度下2021年巨災保險基金的規(guī)模。結果表明,隨著承保比例的增大和風險容忍度的減小,2021年巨災保險基金的總規(guī)模不斷擴大。

表7 不同承保比例及風險容忍度下2021年巨災保險基金的規(guī)模 單位:萬億元

五、進一步討論:風險容忍度的影響

(一)風險容忍度對分出額函數(shù)的影響

圖3 分出額函數(shù)的變化趨勢

(20)

(二)風險容忍度對附加保費因子的影響

圖4為式(13)中再保險費最小時,原保險人風險容忍度α與再保險定價過程中的風險附加因子β之間的關系,即圖4中的實線部分?？梢钥闯?風險附加因子β隨著風險容忍度α的增加先增后減。以α與β分別為橫坐標和縱坐標,以β=1/α-1為分界線,可以將第一象限劃分為兩個區(qū)域,分界線右上側的點使得分出額函數(shù)中C的取值為0(圖4中灰色區(qū)域),此時分出額為0,即原保險人停止再保險行為;同理,在分界線左下側(圖4中非灰色區(qū)域),表示原保險人會選擇再保險行為。

圖4 風險容忍度對附加保費因子的影響

綜上所述,圖4中實線右側遞減部分落在灰色區(qū)域內,該部分曲線上的點沒有發(fā)生實際再保險行為;曲線的左側遞增部分,一方面滿足了再保險費的最小化,同時原保險人也實際發(fā)生了再保險行為。

(三)風險容忍度對再保險費的影響

風險容忍度α是再保險費的重要影響因素。從圖5可看出,隨著原保險人實際風險容忍度的提高,其所能接受繳納的總再保險費金額在逐漸下降,隨著風險容忍度的不斷提高該下降速度在逐漸加快,當?shù)竭_某個臨界值時,原保險人最終選擇終止所有再保險行為,此時總再保險費為零。

圖5 風險容忍度與再保險費之間的關系

六、結論與展望

基于風險度量和再保險定價準則,本文構建了一般意義下的最優(yōu)再保險策略,可以在一定程度上提高巨災保險基金規(guī)模測算的精度。通過理論推導與實證研究,得出如下結論:

第一,在放寬再保險策略的常規(guī)性限制以及對保費準則的約束后,可以避免以往研究中人為設定參數(shù)的弊端,防止最優(yōu)再保險陷入“局部最優(yōu)”之中,從而可以實現(xiàn)全局最優(yōu)下的再保險策略選擇。

第二,以中國1980—2020年間的災害損失數(shù)據(jù)為例,采用VaR—期望保費原理得出中國巨災保險的最優(yōu)再保險策略為有上限的止損策略。

第三,將巨災保險基金視為再保險性質,基于不同的風險容忍度和承保比例,測算了中國巨災保險所需的基金規(guī)模。

最后,深入探討了風險容忍度對分出額函數(shù)、附加保費因子和再保險費的影響。

最優(yōu)再保險策略的選擇和巨災保險基金規(guī)模的測算具有重要的理論和現(xiàn)實意義,在實際應用中會受到各種因素的影響,譬如,在未來的研究中,有必要進一步考慮自然災害類型之間的差異性、相依關系以及風險分散作用。