求解函數(shù)零點問題的三種途徑

師斌

函數(shù)的零點是指函數(shù)值為 0 時 x 的取值.若函數(shù)y = f （x） 的零點為 x0 ，則 f （x0） =0，且 x0 為 y = f （x） 圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo).函數(shù)零點問題的命題形式主要有判斷在定義域內(nèi)函數(shù)零點的個數(shù)、求函數(shù)零點的大小或取值范圍.本文主要介紹三種求解函數(shù)零點問題的途徑.

一、利用零點存在性定理

零點存在性定理為：如果函數(shù) y = f （x） 在區(qū)間[ a ，b ]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f （a）·f （b）<0，那么函數(shù) y = f （x） 在區(qū)間 （a，b） 內(nèi)有零點，即存在 c ∈（a，b） ，使得 f （c）=0 ，這個 c 也就是方程 f （x）=0 的根.在運用函數(shù)的零點存在性定理解題時，需先根據(jù)題意判斷函數(shù)的連續(xù)性，然后求得區(qū)間 [a，b] 端點處的函數(shù)值，由 f （a）·f （b）< 0 判斷出函數(shù)在 [a，b] 上是否存在零點.運用函數(shù)的零點存在性定理判斷出函數(shù)存在零點后，便可根據(jù)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性以及圖象的變化趨勢，討論函數(shù)零點的個數(shù).

例 1. 函數(shù) f （x） = ex + 4x - 3 的零點所在的區(qū)間為（ ）.

A.

B.

C.

D.

解：由 y = ex與 y = 4x - 3 的單調(diào)性可知函數(shù) f （x）在 R 上單調(diào)遞增.

而

則，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點.故本題選 C 選項.

對于一些不易求得零點的函數(shù)問題，運用零點存在性定理可快速判斷出函數(shù)在定義域上是否存在零點.函數(shù)的零點存在性定理是解答函數(shù)零點問題的重要工具，尤其是在判斷函數(shù)在定義域上是否有零點時非常有效.

二、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是解答函數(shù)問題的重要途徑.在解答函數(shù)零點問題時，我們可根據(jù)函數(shù)的解析式或者性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖象，這樣能快速明確函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的圖象求得函數(shù)零點的位置、取值范圍.

例 2 .已知 x0 是函數(shù) f （x） = 2x + 11 - x 的一個零點，若 x1 ∈（1，x0） ， x2 ∈（x0，+∞） ，則（ ）.

A.f （x1）< 0 ， f （x2）< 0 B.f （x1）< 0 ， f （x2）> 0

C.f （x1）>0 ， f （x2）< 0 D.f （x1）> 0 ， f （x2）> 0

解 ：由可 得 2x= 1x - 1 ，設(shè)g（x） = 2x與 h（x） = 1x - 1 ，則兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為 x0 ，由圖象可知：h（x1）> g（x1） ，即 f （x1） = 2x1- 1x1 - 1< 0 .同理可得：h（x2） < g（x2） ，即 f （x2） = 2x2- 1x2 - 1 > 0 . 故本題的答案為 B .

函數(shù) f （x） = g（x） - h（x） 的零點 ? 函數(shù) y = f （x） 與y = h（x） 圖象交點的橫坐標(biāo).因此，可分別畫出 y = f （x）與 y = h（x） 的圖象，結(jié)合圖形討論兩個函數(shù)圖象的交點，便可判斷出 f （x1） 、f （x2） 的符號.

三、利用函數(shù)的周期性

在解答有關(guān)周期函數(shù)的零點問題時，通常需運用函數(shù)的周期性.首先在函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間上判斷出函數(shù)的單調(diào)性、零點的大小、取值范圍、個數(shù)等，然后根據(jù)函數(shù)周期的定義求得函數(shù)的周期，最后根據(jù)函數(shù)的周期性，討論在多個周期上函數(shù)零點的大小、取值范圍、個數(shù)等.

例 3 . 已 知 函 數(shù) f （x） 滿 足 f （2 - x） = f （2 + x） ，f （7 - x） = f （7 + x） ，且 f （1） = f （3） = 0 .求函數(shù)在 [-2013，2013] 上零點的個數(shù).

解：∵ f （2 - x） = f （2 + x） ，f （7 - x） = f （7 + x） ，

∴ x = 2，x = 7 為函數(shù) f （x） 的對稱軸.

由f （2 - x） = f （2 + x），f （7 - x） = f （7 + x）可得f （-x） =f （4 + x） = f （14 + x） .

∴ f （x） = f （x + 10） .

∴函數(shù) y = f （x） 的周期為 T = 10 .

∵ f （1） = f （3） = 0 ，

∴ f （-9） = f （-7） = f （11） = f （13） = 0 ，

∴函數(shù)在 [0，2013] 上有 404 個零點，在 [-2013，0]上有 402 個零點，

∴函數(shù) y = f （x） 在 [-2013，2013] 上有 806 個零點.

我們根據(jù)已知函數(shù)關(guān)系式明確函數(shù)的對稱軸以及周期，再根據(jù)已知的零點值和函數(shù)的周期，討論函數(shù)在 [0，2013] 和 [-2013，0] 上零點的個數(shù)，從而求得問題的答案.

總之，解答函數(shù)的零點問題，需將函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象上的交點關(guān)聯(lián)起來，并靈活地進行轉(zhuǎn)化，巧妙運用零點存在性定理、函數(shù)的周期性，通過數(shù)形結(jié)合求得問題的答案.

（作者單位：新疆哈密市第十五中學(xué)）